巧用變更主元法解答不等式恒成立問題

楊紅生

不等式恒成立問題的命題形式多變，且綜合性強(qiáng)，是讓很多同學(xué)感覺“頭疼”的問題.此類題型側(cè)重于考查同學(xué)們的運(yùn)算能力與轉(zhuǎn)化問題的能力.在解題的過程中，巧用變更主元法，能達(dá)到快速解題的目的.

變更主元法一般適用于解答含有參數(shù)的不等式恒成立問題.如果已知條件中給出了參數(shù)的取值范圍，可采用變更主元法，根據(jù)參數(shù)的取值范圍求出主元的取值范圍.在解題時(shí)，我們需將參數(shù)視為主元、自變量視為參數(shù)，將不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，?gòu)造出關(guān)于參數(shù)的函數(shù)模型，然后根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)建立新的關(guān)系式，根據(jù)參數(shù)的取值范圍確定問題的答案.

解答本題主要采用變更主元法.將參數(shù)變更為主元，構(gòu)造關(guān)于參數(shù) m 的一次函數(shù)，借助一次函數(shù)的單調(diào)性建立關(guān)于 x 的新不等式，通過解不等式求得 x 的取值范圍.

若主元的取值范圍是未知的，那么在某個(gè)區(qū)間上關(guān)于主元的函數(shù)值是根本無法確定的，然而參數(shù)的取值范圍是已知的，我們就可以將參數(shù)視為主元，根據(jù)參數(shù)的取值范圍來求得主元的取值范圍.

在解答本題時(shí)，我們將目標(biāo)不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造出關(guān)于 b 的一元二次函數(shù)，采用變更主元法來解題.將b視為主元，通過探究函數(shù) Q（ b ）在 [-1，1]上根的分布情況，從而建立關(guān)于 m 的不等式，進(jìn)而求得 m 的取值范圍.

通過上述分析我們不難發(fā)現(xiàn)，變更主元法主要適用于解答已知參數(shù)的取值范圍，求主元的取值范圍的不等式恒成立問題.在解題時(shí)，我們需首先明確主元和參數(shù)，將主元進(jìn)行變更，然后建立函數(shù)模型，根據(jù)參數(shù)的取值范圍來求主元的取值范圍.同時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來解題.

（作者單位：江蘇省啟東中學(xué)）