進(jìn)行三角恒等變換的三個(gè)技巧

周海靜

在解答三角函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)常需對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行三角恒等變換，這就要求同學(xué)們熟練掌握一些進(jìn)行三角恒等變換的技巧，以便能順利化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、求出三角函數(shù)式的值.那么怎樣合理進(jìn)行三角恒等變換呢？可以從以下三個(gè)方面進(jìn)行.

一、變換角

當(dāng)進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，首先要仔細(xì)觀察已知角和所求角之間的差別，并建立兩角之間的聯(lián)系，如互余、互補(bǔ)、半角、倍角等，然后利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角的和差公式等求解.在進(jìn)行角的變換時(shí)，還可將已知角、所求角與特殊角，如等建立聯(lián)系，然后利用這些特殊角的函數(shù)值進(jìn)行求解.

例1.

分析：

解：

二、變換函數(shù)名稱

有些三角函數(shù)式中的函數(shù)名稱并不相同，此時(shí)，我們需變換函數(shù)的名稱，如將正切、余切轉(zhuǎn)化為正弦、余弦，將正弦化為余弦，將余弦化為正弦，等等，以達(dá)到統(tǒng)一函數(shù)名稱的目的.在變換函數(shù)名稱的過程中，常用到的公式有誘導(dǎo)公式，重要關(guān)系式、輔助角公式等.

例2.

分析：這個(gè)式子中既含有正切函數(shù)也有正弦、余弦函數(shù)，我們第一步就是要想辦法將正切函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎液瘮?shù).觀察式子中角的特點(diǎn)，可發(fā)現(xiàn)根據(jù)角的特征，可以利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)式轉(zhuǎn)化成函數(shù)名稱一致的式子.

解：

三、變換冪的次數(shù)

有些三角函數(shù)式中冪的次數(shù)不相同，此時(shí)，我們要對(duì)其作升冪或者降冪處理，以便使函數(shù)式中的次數(shù)相同.“升冪”可以通過二倍角公式來實(shí)現(xiàn)，“降冪”可以通過二倍角公式 sin2α= 2 sin α cos α及變形式來達(dá)到目的.

例3.

分析：由于已知，目標(biāo)式中含有正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，且含有二次式，可以先利用二倍角公式把2α轉(zhuǎn)變?yōu)棣?，使冪的次數(shù)統(tǒng)一，即將所求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于 sin α、cos α的齊次式，然后依據(jù)，將目標(biāo)式中的分子、分母同時(shí)除以，得到只含有tan α的分式，將代入求解即可得到答案.

解：原式

總而言之，在進(jìn)行三角恒等變換時(shí)最重要的就是要做到“變異為同”，靈活使用各種三角函數(shù)公式，將角、函數(shù)名稱、冪的次數(shù)不同的式子轉(zhuǎn)化為角、函數(shù)名稱、次數(shù)相同的式子.在解題的過程中，同學(xué)們要熟記各種三角函數(shù)公式，并靈活使用，根據(jù)角、函數(shù)名稱、冪的特點(diǎn)合理進(jìn)行變換，以實(shí)現(xiàn)“變異為同”.

（作者單位：山東省聊城第一中學(xué)）