運(yùn)用換元法解題的三種路徑

劉莉 葛艷

在解答比較復(fù)雜的代數(shù)問題時(shí)，我們通常會(huì)采用換元法來解題.引入一個(gè)輔助元，通過等量代換將題目簡(jiǎn)化，以實(shí)現(xiàn)化難為易、化繁為簡(jiǎn).換元的方法有很多種，本文重點(diǎn)介紹三角換元、整體換元、均值換元三種換元方法.

一、三角換元

通過三角換元可把二元代數(shù)式轉(zhuǎn)化成為三角函數(shù)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象來解題.一般地，可設(shè) x =a +r cos α、y =b +r sin α，借助重要三角函數(shù)式可將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式.

例 1.

我們根據(jù)已知關(guān)系式，令 x = cos θ，y =1 + sin θ，通過三角換元，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，根據(jù)輔助公式和正弦函數(shù)的有界性求得的最大值，進(jìn)而確定c 的取值范圍.

二、整體換元

有些代數(shù)式較為復(fù)雜，此時(shí)我們不妨運(yùn)用整體換元法來解題，將代數(shù)式中某一部分或全部用一個(gè)新的元替換，再根據(jù)題意求出新元的取值范圍，通過合理運(yùn)算、推理求得問題的答案.

例2.

一般地，對(duì)于的問題，我們一般通過整體換元，將ωx +φ用新的元替換，再根據(jù)正弦或余弦函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行求解.

三、均值換元

對(duì)于 x +y =S 二元代數(shù)問題，我們一般運(yùn)用均值換元來解題，令，將其代入目標(biāo)式中進(jìn)行求解.這樣就可以達(dá)到減元的目的.在運(yùn)用均值換元法解題時(shí)，要保證換元前后變量的取值范圍是等價(jià)轉(zhuǎn)化的.

例3.

解：

本題采用常規(guī)方法求解較為復(fù)雜，這里采用均值換元法求解，十分便捷.首先引入?yún)?shù)α，令 A =60°+ α，C =60°- α，并求出α 的取值范圍，然后將其代入已知關(guān)系式中，根據(jù)二倍角公式、兩角和差公式進(jìn)行運(yùn)算、推理，求得 cos α的和的值.

換元法是解答數(shù)學(xué)問題的常用方法之一.在解題的過程中，我們首先要仔細(xì)觀察已知代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，合理選擇換元的式子，通過三角換元、整體換元、均值換元，將代數(shù)式簡(jiǎn)化，從而求得問題的答案.運(yùn)用換元法解題，能有效地提高解題效率，優(yōu)化解題的方案.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)公道中學(xué)）