加強(qiáng)審題　培養(yǎng)素養(yǎng)

摘要：新課程強(qiáng)調(diào)關(guān)注核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，注重思維的培養(yǎng)與提升.針對數(shù)學(xué)問題的審題和分析是培養(yǎng)良好思維品質(zhì)，提升思維能力和提升核心素養(yǎng)的必要過程和優(yōu)良載體.本文結(jié)合具體數(shù)學(xué)問題，介紹八種常用的審題方向.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念;公式;法則;性質(zhì);特點(diǎn);原理

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0068-05

審題是解題的基礎(chǔ)，是解題的必備工作.審得清楚，才不會犯不必要的失誤或誤入歧途.審得深入，才能把握問題的實(shí)質(zhì)，挖掘隱含的條件;才能理清條件與結(jié)論的關(guān)系，準(zhǔn)確找到解決的切入點(diǎn).審得認(rèn)真，才能記憶深刻，形成以后解題的借鑒，形成能力.加強(qiáng)審題教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升思維品質(zhì)，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高解題能力.下面介紹幾種常用的審題方法與方向.

一、往概念上審

分析要解決球的問題，肯定是解決球心和球的半徑.尋找球心，必須考慮球的概念：球心到球面上任一點(diǎn)的距離都等于球的半徑.本題由已知條件易得ΔABP是以AB為斜邊的直角三角形，AB中點(diǎn)D是ΔABP的外心，則過D作平面PAB的垂線l，可得l上任一點(diǎn)到P、A、B的距離相等，同理過正ΔABC的外心作平面ABC的垂線l，可得l上任一點(diǎn)到A、B、C的距離相等，則三棱錐P-ABC的外接球的球心是l與l的交點(diǎn).

分析本題三棱錐P-ABC的外接球球心O不容易利用已知條件直接找出，可以考慮利用長方體和正方體的特性：它們的對角線的中點(diǎn)到各個(gè)頂多距離相等，對角線就是其外接球的直徑.通過補(bǔ)形解決.

評注1. 概念是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，外接球問題首先要想到的是球心到球面上點(diǎn)的距離都等于半徑.然后再考慮是直接找到球心，求出半徑;還是補(bǔ)形求出半徑，還是通過建立空間直角坐標(biāo)系，算出球心坐標(biāo)，求出半徑.

二、往基本模型審

分析題中已知條件含有平面平行，線線垂直，線面角和線線角的大小，然后求異面直線角的大小.如果單純作平面和直線圖形，不容易理清線面和線線的位置關(guān)系，但如果利用已知條件，以熟悉的多面體或旋轉(zhuǎn)體模型為載體幫助分析，問題將變得直觀明了.

解答因?yàn)锳B與α所成的角為π4，所以當(dāng)點(diǎn)B固定時(shí)，點(diǎn)A在平面α的軌跡是圓圖4錐的底面.作如圖4，其中圓柱的高與底面半徑相同，圓柱的兩個(gè)底面分別在平面α，β上，點(diǎn)B，O1分別為圓柱的上下底面圓心，點(diǎn)A在下底面的圓上.由m⊥AB得：m⊥AO1，設(shè)點(diǎn)C在下底面的圓上，且CO1⊥AO1，則直線CO1與直線m平行或重合.連接CA，可得ΔABC是正三角形，所以AC與AB所成的角為π3，又由α∥β，n與AB所成的角為π3，得直線AC與直線n平行或重合.顯然∠ACO1=π4，所以m與n所成的角為π4.

點(diǎn)評培養(yǎng)空間想像能力是立體幾何的主要任務(wù)，把抽象知識或已知條件轉(zhuǎn)變成具體圖形，本身就是對空間想像能力的培養(yǎng)和體現(xiàn)，因此新課程強(qiáng)調(diào)運(yùn)用幾何體的模型理解、掌握和運(yùn)用知識.教材中體現(xiàn)比較多的是多面體模型，平時(shí)的解題還需關(guān)注和重視旋轉(zhuǎn)體模型的應(yīng)用，提高想像和化歸能力.

點(diǎn)評運(yùn)用基本不等式和絕對值的三角形不等式求最值，或者證明不等式，是高考常見的命題模式.也是考查的熱點(diǎn)知識.考試時(shí)不一定會那么直接，需要認(rèn)真審題，大膽設(shè)想，準(zhǔn)確變形，才能達(dá)到目的.

四、往基本原理審

分析 看到含兩個(gè)參數(shù)的最小值問題，很容易想到運(yùn)用基本不等式解決，但本題并不能夠構(gòu)造出符合一正二定三相等的條件，所以需要另辟蹊徑，回歸到最基本的原理，利用條件，化兩個(gè)變量為單個(gè)變量去探尋.

點(diǎn)評關(guān)于含有兩個(gè)正數(shù)的代數(shù)式最值問題，通常會想到運(yùn)用基本不等式，但有些問題不容易變形出符合求最值的條件，或者不能運(yùn)用這種方法，這時(shí)的解決策略需要回歸到基本原理，利用條件化兩變量為單變量，然后考慮運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決.本題的解決還需要觀察分析能力，運(yùn)算與變形能力，換元思想，函數(shù)思想.

五、往條件和結(jié)論的特點(diǎn)審

點(diǎn)評本題是常見題型，條件中含有向量共線的表達(dá)形式，一定要認(rèn)真審題，恰當(dāng)引入?yún)?shù)和選擇直線方程的形式，以便在方程聯(lián)立消元時(shí)能使向量共線以簡潔的坐標(biāo)關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理.因?yàn)橹本€方程上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)是一一對應(yīng)關(guān)系，選橫坐標(biāo)和選縱坐標(biāo)體現(xiàn)是等價(jià)的.求解本題的易錯(cuò)點(diǎn)：①漏掉直線MN的斜率不存在的情況;②忽視直線與圓錐曲線相交，判別式大于零.

六、往基本法則審

分析本題第二問牽涉直線與圓錐曲線交點(diǎn)和斜率的差的比值，運(yùn)算量肯定不小，如何減少運(yùn)算量，除了考慮幾何性質(zhì)的挖掘利用外，還需要考慮利用條件和結(jié)論的特點(diǎn)，巧設(shè)參數(shù)，快速找到未知數(shù)量的關(guān)系.題中點(diǎn)C和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，因此引進(jìn)直線l的斜率作為參數(shù)，還是引進(jìn)斜率的倒數(shù)作為參數(shù)，將對問題求解的復(fù)雜度有所影響.

七、往幾何性質(zhì)審

分析關(guān)于圓的弦中點(diǎn)的軌跡問題，如果按純代數(shù)運(yùn)算的方法，運(yùn)算量不小;第（2）小問因?yàn)闋可娴饺齻€(gè)變量，不僅運(yùn)算量很大，而且會很復(fù)雜，不容易求出，但如果運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，問題的解決可能會變得簡單很多.

圖7

點(diǎn)評數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想和方法，它對問題的解決有極大的幫助，有時(shí)是捷徑，有時(shí)是必需.幾何性質(zhì)的應(yīng)用，是數(shù)形結(jié)合后解決幾何問題的捷徑.遇到有關(guān)圓的問題，一定要關(guān)注圓的相關(guān)性質(zhì)：垂徑分弦定理，弧所對的圓周角是圓心角的一半，直徑所對的圓周角是直角等.

八、往題型特點(diǎn)審

分析本題函數(shù)式中含有絕對值和超越函數(shù)，運(yùn)用分段去絕對號不容易求出正確結(jié)論.作為選擇題，依據(jù)題型特點(diǎn)，可以運(yùn)用選擇題的結(jié)果驗(yàn)證和排除，從而得到正確選擇.在驗(yàn)證排查時(shí)還要注意衡量，選哪些端點(diǎn)值會比較快.

點(diǎn)評不同的題型有不同的考查功能，相應(yīng)地有不同的解題方法和解題策略.對一些高難度的選擇題，應(yīng)考慮它的題型特性，運(yùn)用排除法、特殊值法、數(shù)形結(jié)合等非常規(guī)方法，避免小題大做，培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性，優(yōu)化思維品質(zhì).

“萬丈高樓平地起”.學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)化與能力提升，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，不可一蹴而就，也不可拔苗助長，只能遵循教育規(guī)律，腳踏實(shí)地，循序漸進(jìn)，充分挖掘每個(gè)知識點(diǎn)，每個(gè)例習(xí)題的培養(yǎng)價(jià)值.加強(qiáng)審題教學(xué)，是達(dá)成教育目標(biāo)的有效途徑.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李璟]

作者簡介：許銀伙（1963.9-），男，福建省惠安人，本科，中學(xué)高級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.