正確理解概念 輕松避免錯(cuò)誤

文／王怡蘊(yùn)

了解數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度，可以幫助我們從不同的角度認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)，掌握處理數(shù)據(jù)的方法，并做出合理的推斷和預(yù)測(cè)。同學(xué)們只有明確概念、理解各數(shù)意義，才能輕松地避免錯(cuò)誤。

例1 一次數(shù)學(xué)考試中，九年級(jí)（1）班和（2）班的學(xué)生人數(shù)分別為52、48，平均成績(jī)分別為85 分、80 分，則這兩個(gè)班的平均成績(jī)?yōu)?。

【錯(cuò)因剖析】平均數(shù)是刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)時(shí)一個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量，在日常生活中應(yīng)用較為廣泛。同學(xué)們比較熟悉的是算術(shù)平均數(shù)。而平均數(shù)的大小不僅受一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)值大小的影響，而且與各個(gè)數(shù)值在一組數(shù)據(jù)中的“重要程度”有關(guān)，也就是與“權(quán)”有關(guān)。

例2 在光明中學(xué)組織的全校師生迎“五四”詩(shī)詞大賽中，來(lái)自不同年級(jí)的25名參賽同學(xué)的得分情況如圖所示。這些成績(jī)的中位數(shù)是 。

【錯(cuò)解】97。

【錯(cuò)因剖析】將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，那么處于中間位置的數(shù)叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么處于中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。錯(cuò)解中未將所有數(shù)據(jù)按大小順序排列，只算了100、98、96、94 這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)。

【正解】共有25個(gè)數(shù)，最中間的數(shù)為第13 個(gè)數(shù)，是96，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為96分。

例3 若數(shù)據(jù)8，9，7，8，x，3 的平均數(shù)是7，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________。

【錯(cuò)解】8。

【錯(cuò)因剖析】一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。特別注意，眾數(shù)可能不止一個(gè)。錯(cuò)解未根據(jù)概念先算出x，只根據(jù)表面數(shù)據(jù)就判斷眾數(shù)。

【正解】由平均數(shù)為7，得8+9+7+8+x+3=7×6，

解得x=7。

∵這組數(shù)據(jù)中7和8出現(xiàn)次數(shù)最多，

∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7和8。

例4 若一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的方差為5，則另一組數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，…，2xn+3的方差為________。

【錯(cuò)解】2×5+3=13。

【錯(cuò)因剖析】當(dāng)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)數(shù)（或減去一個(gè)數(shù)）時(shí)，平均數(shù)也加或減這個(gè)數(shù)，方差不變，即數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況不變；當(dāng)數(shù)據(jù)都乘一個(gè)數(shù)（或除以一個(gè)不為0 的數(shù)）時(shí)，平均數(shù)也乘或除以這個(gè)數(shù)，方差變?yōu)檫@個(gè)數(shù)的平方倍。

【正解】∵x1，x2，…，xn的方差是5，

∴數(shù)據(jù)2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差是4×5=20，

∴數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，…，2xn+3的方差是20。