單擺細(xì)線拉力隨時(shí)間變化的圖像辨析

唐保東

(南京市雨花臺(tái)中學(xué) 江蘇 南京 210012)

1 提出問題

在今年2月份南京和鹽城兩市高三聯(lián)合一?？荚囍?，有這樣一道試題：

【試題】如圖1(a)所示，O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，t=0時(shí)刻擺球從A點(diǎn)開始釋放，擺球?qū)⒃谪Q直面內(nèi)的AC之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其中B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置，用力的傳感器測(cè)得細(xì)線對(duì)擺球拉力F的大小隨時(shí)間t變化的曲線如圖1(b)所示，F(xiàn)m,Fn,t0均已知，重力加速度為g，求：

圖1 試題題圖

(1)單擺的擺長(zhǎng)L；

(2)擺球的質(zhì)量m.

這是一道比較常規(guī)的單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律與力學(xué)相結(jié)合的題目，題干呈現(xiàn)的圖像看起來(lái)很像y=|cosx|+k的函數(shù)圖像，并且在nt0時(shí)刻突變，這與我們常見的單擺拉力隨時(shí)間變化圖像似乎有點(diǎn)不一樣[1,2]，到底哪個(gè)圖像才是正確的呢？

2 討論問題

首先,我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)手段來(lái)證明，如圖2所示，設(shè)A點(diǎn)細(xì)線偏角為θ0(即此單擺的最大擺角).

圖2 單擺受力分析

可知t時(shí)刻小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)瞬時(shí)偏角

θ=θ0cosωt

(1)

解得

(2)

故小球位于P點(diǎn)時(shí)細(xì)線拉力

(3)

將式(1)代入式(3)，可得

F=3mgcos (θ0cosωt)-2mgcosθ0

這個(gè)函數(shù)的圖像是怎樣的呢？我們可以賦予一定的值，例如假定L=1 m,g=10 m/s2,θ=5°,m=0.1 kg.利用GeoGebra軟件繪圖，設(shè)置橫縱坐標(biāo)為10∶1，可得圖像如圖3所示.

圖3 細(xì)繩拉力隨時(shí)間變化圖像

對(duì)比可見，圖3與題目所給圖像相差較大，為慎重起見，我們進(jìn)一步思考：對(duì)函數(shù)

F=3mgcos(θ0cosωt)-2mgcosθ0

求導(dǎo)可得

F′=3mgωθ0sinωtsin(θ0cosωt)

圖4 導(dǎo)函數(shù)隨時(shí)間變化圖像

3 明確結(jié)論

根據(jù)之前求解的結(jié)論，單擺拉力

F=3mgcosθ-2mgcosθ0

其隨擺角變化的圖像是余弦函數(shù)與一項(xiàng)定值之差決定的，而θ=θ0cosωt，t=0時(shí)，θ=θ0，F(xiàn)=Fn=mgcosθ0為最小值，以后隨時(shí)間周期性變化,正確的圖像應(yīng)該如圖5所示.

圖5 拉力隨時(shí)間變化正確圖像

4 拓展延伸

我們還可以用高等代數(shù)來(lái)證明單擺的周期公式及繩拉力隨時(shí)間變化的圖像.

單擺切向受力情況為-mgsinθ=ma,其中a為切向加速度，左邊取負(fù)號(hào)是考慮到回復(fù)力的方向與速度度方向總是相反.再根據(jù)切向加速度和角加速度的關(guān)系a=αr可得

進(jìn)一步整理該式可得

(1)

如何處理這個(gè)式子呢？有兩個(gè)方法：

(1)根據(jù)泰勒展開式

當(dāng)θ很小時(shí)sinθ≈θ，此時(shí)式(1)可變形為

(2)

這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次微分方程，形如

y″+py′+qy=0

存在通用解法，其特征方程為

解得

對(duì)照復(fù)數(shù)

Z=α+βi

可知

式(2)的通解為

y=eax(C1cosβx+C2sinβx)

即

(2)利用微分換元法則

故式(1)可變形為

兩邊同時(shí)取積分

可得

再整理可得

(3)

這時(shí)可換一個(gè)方法求解單擺擺動(dòng)過程中細(xì)線拉力

F=mgcosθ+mω2l=mgcosθ+m(θ′)2l

(4)

將式(3)代入式(4)同樣可得

F=3mgcosθ-2mgcosθ0

這里很多知識(shí)顯然已經(jīng)超出了高考的要求，但是作為物理教師把這些問題思考清楚還是十分必要的，一來(lái)教學(xué)上必須以己昭昭方可使人昭昭，二來(lái)在出試卷時(shí)避免出現(xiàn)一些科學(xué)性錯(cuò)誤.