動(dòng)能定理是否有單方向的“分解式”

孫永茂

(贛州市第三中學(xué) 江西 贛州 341000)

1 問題引出

中學(xué)階段有三大觀點(diǎn)可以解決力與運(yùn)動(dòng)的相關(guān)問題，分別是力的觀點(diǎn)、動(dòng)量觀點(diǎn)和能量觀點(diǎn)，對(duì)于牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律，都可以分方向進(jìn)行運(yùn)用.對(duì)于動(dòng)能定理，表述的是功與能的關(guān)系，功和能都是標(biāo)量，可以分方向運(yùn)用動(dòng)能定理嗎？也就是說，動(dòng)能定理是否有單方向的“分解式”？我們從一道力學(xué)題入手進(jìn)行分析.

【例1】如圖1所示，一質(zhì)量為m,電荷量為q的正電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，A和B為其運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn).已知該粒子在A點(diǎn)的速度大小為v0，方向與電場(chǎng)方向的夾角為60°,它運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度方向與電場(chǎng)方向的夾角為30°.不計(jì)重力，求A，B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差.

圖1 例1題圖

在教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生有以下兩種解法.

解法1：帶電粒子只受電場(chǎng)力，粒子沿電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，垂直電場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有

vBsin 30°=v0sin 60°

(1)

粒子從A到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理

(2)

聯(lián)立式(1)、(2)得

解法2：帶電粒子只受電場(chǎng)力，所以粒子速度的改變是由電場(chǎng)力決定的，電場(chǎng)力僅改變粒子沿電場(chǎng)方向的速度大小，在沿電場(chǎng)方向使用動(dòng)能定理

(3)

物體在垂直電場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有

vBsin 30°=v0sin 60°

(4)

聯(lián)立式(3)、(4)得

【分析】對(duì)比兩種解法，計(jì)算結(jié)果相同，對(duì)于解法1，教師和學(xué)生都非常認(rèn)同.但對(duì)于解法2，咨詢多位教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的物理老師，發(fā)現(xiàn)此解法存在非常大的爭(zhēng)議，教師之間存在兩種不同的觀點(diǎn)：

觀點(diǎn)1：解法2錯(cuò)誤，因?yàn)閯?dòng)能定理是標(biāo)量式，不能進(jìn)行矢量分解，故不可以單方向運(yùn)用動(dòng)能定理，解法2的計(jì)算結(jié)果與解法1相同只是計(jì)算的巧合，不能當(dāng)做規(guī)律進(jìn)行推廣.

觀點(diǎn)2：解法2正確，動(dòng)能定理是標(biāo)量式是毋庸置疑的，但標(biāo)量也可以分解，如總功就可以分解為各個(gè)力做功之代數(shù)和.同理，對(duì)于動(dòng)能的總變化量可以為各方向的動(dòng)能變化量的代數(shù)和[1,2].本題中，在沿電場(chǎng)方向和垂直電場(chǎng)方向建立直角坐標(biāo)系，再分別求解各方向的動(dòng)能的變化量，則有

F合s=ΔEkx+ΔEky

又因物體僅受水平方向的電場(chǎng)力，則ΔEky=0，所以有F合s=ΔEkx，即解法2是正確的.

以上兩種觀點(diǎn)哪個(gè)是正確的？此帶電粒子的合力為水平方向，即解法2在水平方向使用了動(dòng)能定理，而持觀點(diǎn)1 的教師不認(rèn)同此解法.兩種觀點(diǎn)的爭(zhēng)論點(diǎn)圍繞于是否存在單方向的動(dòng)能定理“分解式”.接下來進(jìn)行理論分析，論證是否存在動(dòng)能定理的單方向“分解式”.

2 理論分析

動(dòng)能的大小和速度有關(guān)，而速度是矢量，故建立三維直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖2所示，各方向的單位分矢量為i,j和k，合力為F，位移為s，初速度為v1，末速度為v2，由矢量的標(biāo)積，可以計(jì)算以下物理量.

圖2 三維直角坐標(biāo)系

合力做的功為

W=F·s=

(Fxi+Fyj+Fzk)·(sxi+syj+szk)=

Fxi·sxi+Fxi·syj+Fxi·szk+Fyj·

sxi+Fyj·syj+Fyj·szk+Fzk·

sxi+Fzk·syj+Fzk·szk=

Fxsx+Fysy+Fzsz

動(dòng)能的變化量

由動(dòng)能定理：W=ΔEk，即

據(jù)力和運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，在x方向上

得

即ΔWx=ΔEkx

在y和z方向，同理可得

即

ΔWy=ΔEkyΔWz=ΔEkz；

將3方向關(guān)系式累加也可得

Fxsx+Fysy+Fzsz=

3 適用條件

通過理論分析，證明了動(dòng)能定理存在類似于“分量形式”的單方向“分解式”，那此規(guī)律存在條件嗎?我們以一道例題入手進(jìn)行分析.

【例2】質(zhì)量為m的物體靜止于地面上，現(xiàn)有兩個(gè)大小相等且互成60°的力F同時(shí)作用于物體，經(jīng)時(shí)間t后，物體的速度為v，求其中一個(gè)力做的功.

常規(guī)解法：物體做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理

(5)

兩個(gè)力大小和沿力方向上的分位移大小相同(s1=s2)，如圖3所示，故兩力所做功相同，則每個(gè)力做的功

圖3 位移分解

(6)

由式(5)和(6)得

錯(cuò)解：將v沿兩分力方向分解為v1和v2，由圖4所示，可知

圖4 速度分解

由動(dòng)能定理的“分解式”，一個(gè)力做的功為

分析:在錯(cuò)解中，似乎運(yùn)用了動(dòng)能定理單方向的“分解式”，但發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果是錯(cuò)誤的，說明動(dòng)能定理單方向的“分解式”在運(yùn)用的時(shí)候存在條件.到底是什么條件？不難發(fā)現(xiàn)，之前推導(dǎo)單方向的動(dòng)能定理“分解式”是建立在直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上的，如果不是直角坐標(biāo)系下的分解，而是斜角坐標(biāo)系下的分解，是否還有相同的結(jié)果？我們運(yùn)用向量的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析.

情境創(chuàng)設(shè):物體在合外力為恒力F的作用下以初速度v0開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t后，位移為s，末速度為v.

分析:建立斜角坐標(biāo)系xOy，如圖5所示，其中x軸和y軸的夾角為θ，之后將力F和位移s和速度v0,v按平行四邊形定則分解到x軸和y軸.

圖5 力、位移和速度分解

對(duì)于總功，運(yùn)用向量求解總功為

W=F·s=(F1+F2)·(x+y)=

F1·x+F1·y+F2·x+F2·y=

F1x+F1ycosθ+F2xcosθ+F2y

由此可見，“總功”和“分力的功”也不是簡(jiǎn)單的標(biāo)量相加.

對(duì)于動(dòng)能，與速度有關(guān)，速度又是矢量，先對(duì)速度進(jìn)行矢量分解，再用向量求解，有

由此可見，“合動(dòng)能”和類似于分解式的“分動(dòng)能”并不是簡(jiǎn)單的標(biāo)量相加，其運(yùn)算規(guī)則更加的復(fù)雜.綜上所述，功和動(dòng)能的分解規(guī)則不是簡(jiǎn)單的標(biāo)量合成，且兩者的運(yùn)算規(guī)則相同.

由動(dòng)能定理

當(dāng)時(shí)θ=90°時(shí)，有

此時(shí)單方向動(dòng)能定理的“分解式”才能使用，即需建立直角坐標(biāo)系，將力和速度分解到坐標(biāo)軸上.

再回顧例題2，以其中一個(gè)力F的所在方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系，如圖6所示，其中F1,s1,v1分別是力F,位移s,速度v在x軸上的分量，在x軸上運(yùn)用動(dòng)量定理的“分解式”，有

圖6 力、位移和速度分解

又

F1=Fcos 60°s1=scos 30°v1=vcos 30°

4 案例運(yùn)用

利用動(dòng)能定理單方向的“分解式”可以快速解決一些相對(duì)復(fù)雜的問題，接下來看到以下例題.

【例3】在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，如圖7所示，場(chǎng)強(qiáng)為3 V/m，一電荷量為2 C的小球從A點(diǎn)豎直向上拋出.如圖7所示，運(yùn)動(dòng)軌跡中的A,B兩點(diǎn)在同一水平線上，M為軌跡的最高點(diǎn).小球拋出時(shí)的動(dòng)能為8 J，在M點(diǎn)的動(dòng)能為6 J，不計(jì)空氣的阻力.求：

圖7 例3題圖

(1)小球水平位移x1與x2的比值；

(2)小球落到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能EkB；

(3)小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中最小動(dòng)能Ekmin.

解：(1)沿水平和豎直方向建立直角坐標(biāo)系，如圖8所示.在豎直方向，小球受重力，做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，又A,B兩點(diǎn)等高，所以A→M和M→B所用時(shí)間相同.在水平方向上，小球僅受電場(chǎng)力，做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由初速度為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得x1∶x2=1∶3.

圖8 運(yùn)動(dòng)分解

(2)小球從A→M，M點(diǎn)為最高點(diǎn)，則M點(diǎn)的速度水平，在水平方向上運(yùn)用動(dòng)能定理的“分解式”為

WAM電=EkMx-EkAx

其中

EkMx=6 JEkAx=0 J

得WAM電=6 J.

又x1∶x2=1∶3，則

A→B,WAB電=4WAM電=24 J

小球從A→B，由動(dòng)能定理，得

WAB電=EkB-EkA

又EkA=8 J，得EkB=32 J.

(3)物體從A→M，設(shè)小球所受的電場(chǎng)力為F,在水平和豎直方向分別運(yùn)用動(dòng)能定理的“分解式”，有

Fx1=EkMx-EkAx

(7)

-Gh=EkMy-EkAy

(8)

其中EkAx=0，EkMy=0，得

Fx1=6 JGh=8 J

又

(9)

(10)

由式(7)～(10)得

由圖9可知

設(shè)電場(chǎng)力和重力的合力為

F合=mg′=G′

式中G′為等效重力，以G′所在方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系，如圖9所示.

圖9 等效重力場(chǎng)

在小球從A到B的過程中，將速度分解至坐標(biāo)軸上，當(dāng)小球在沿G′方向的分速度減為零時(shí)，具最小速度為

vmin=v0sinθ

又

且

得