分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程的一種新型有限差分方法

王 靜,張曉平

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 武漢 430072)

1 引言

擴(kuò)散過程是自然界中一種常見的現(xiàn)象.早在1785年,Jan Ingenhousz就描述過煤塵在酒精表面的擴(kuò)散現(xiàn)象,后來羅伯特布朗稱這種現(xiàn)象為布朗運(yùn)動(dòng),傅里葉在《熱的解析理論》一文中實(shí)現(xiàn)了對(duì)熱量擴(kuò)散過程的數(shù)學(xué)刻畫.之后,經(jīng)典擴(kuò)散過程的數(shù)學(xué)模型成為了分析許多自然現(xiàn)象的有利工具.例如,菲克利用二階擴(kuò)散方程用來描述營養(yǎng)物質(zhì)在細(xì)胞膜內(nèi)的傳輸過程;愛因斯坦從第一原理出發(fā)間接證明了分子和原子的存在;巴舍里結(jié)合隨機(jī)分析將二階擴(kuò)散方程成功運(yùn)用到了股票和期權(quán)市場.這些模型都有一個(gè)共同的假設(shè):隨機(jī)過程都滿足經(jīng)典的高斯分布.

然而,自然界中有許多復(fù)雜的擴(kuò)散現(xiàn)象并不滿足上述假設(shè).大量的實(shí)驗(yàn)和研究表明,許多復(fù)雜系統(tǒng)的擴(kuò)散過程不再具有高斯統(tǒng)計(jì)性.例如,生物學(xué)家觀察到在某些海島如西西里島中每只海鳥的運(yùn)動(dòng)軌跡就無法用布朗運(yùn)動(dòng)模型來描述[1],這樣的擴(kuò)散現(xiàn)象通常被稱為反常擴(kuò)散[2].反常擴(kuò)散廣泛存在于多孔介質(zhì)[3],圖像分析[4],固體表面擴(kuò)散[5],非菲克擴(kuò)散湍流[6-8]等領(lǐng)域中.對(duì)于這些反常擴(kuò)散過程,通?？梢杂梅?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程來進(jìn)行數(shù)學(xué)刻畫.因此,研究分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程具有重要的物理意義和現(xiàn)實(shí)意義:一方面,可以更加深刻地理解反常擴(kuò)散中L′evy飛行[1,9]等物理現(xiàn)象;另一方面,還可以為實(shí)際工程應(yīng)用提供決策依據(jù).其中分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子?(?Δ)α/2,α∈(0,2)作為模擬反常擴(kuò)散過程的原型算子[10-12],近年來逐漸成為理論和工程領(lǐng)域中研究的熱點(diǎn).

在實(shí)際應(yīng)用上,微分方程一般都很難求出解析解,分?jǐn)?shù)階微分方程也是一樣.即使是線性分?jǐn)?shù)階微分方程,其解也大多也都含有特殊函數(shù),但計(jì)算這些函數(shù)往往非常困難;而對(duì)大部分的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程,其解析解完全不可給出.正因如此,如何有效地對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分方程進(jìn)行數(shù)值模擬逐漸成為相關(guān)領(lǐng)域研究的前沿問題.目前,針對(duì)n維分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子,文獻(xiàn)[13]討論了Dirichlet齊次分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程基于積分形式的標(biāo)準(zhǔn)線性有限元方法,得到了擬均勻網(wǎng)格和漸變網(wǎng)格下該方法的最優(yōu)收斂階,最后給出了一些數(shù)值算例來證明其理論結(jié)果;文獻(xiàn)[14]在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出了二維情形的一種簡潔的Matalb代碼實(shí)現(xiàn);文獻(xiàn)[15]則主要研究分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程的Caputo型發(fā)展方程,結(jié)合延拓技巧將非局部的問題局部化后利用有限元方法進(jìn)行數(shù)值逼近,其時(shí)間離散采用Diethelm方法,并且證明了時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與其有限部分積分的等價(jià)性,還研究了在長時(shí)間積分下分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的某些性質(zhì);基于?(?Δ)α/2的奇異積分形式,文獻(xiàn)[16]首先將分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子分為奇異部分和正則部分，然后用數(shù)值積分公式分別對(duì)其進(jìn)行離散，最后構(gòu)造出一種有限差分公式，類似地，文獻(xiàn)[17]通過將分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子表示為弱奇異函數(shù)的加權(quán)積分,然后利用加權(quán)的梯形公式對(duì)其進(jìn)行近似,從而提出了一種新穎的有限差分方法.本文主要針對(duì)一維分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子構(gòu)造一種新型的數(shù)值離散格式,并在此基礎(chǔ)上提出分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程的一種新型有限差分格式.本文的算法思想類似于文獻(xiàn)[16],但分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的離散方式略有不同,本文深入分析了數(shù)值積分公式的誤差展開式,從而構(gòu)造了更高階的數(shù)值格式.相比于文獻(xiàn)[16]的O(h3?α)和文獻(xiàn)[17]的O(h2)，我們所提出的有限差分格式的精度可達(dá)到O(h4?α).

本文的組織如下:第二節(jié)提出分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的數(shù)值積分公式，討論其誤差展開式并給出了最優(yōu)的誤差估計(jì);第三節(jié)基于該數(shù)值積分公式構(gòu)造分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程的一種新型有限差分格式，并討論其誤差分析;第四節(jié)通過一些數(shù)值實(shí)驗(yàn)以驗(yàn)證有限差分格式的有效性和理論分析的正確性;最后給出對(duì)全文的總結(jié)和對(duì)未來工作的展望。

2 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的數(shù)值積分公式及其誤差估計(jì)

2.1 奇異部分QS的離散及誤差估計(jì)

2.2 正則部分QRu(x)的求積公式及誤差估計(jì)

2.3 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的數(shù)值求積公式

3 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程的有限差分格式及其誤差分析

本節(jié)將基于分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子(2.2)的數(shù)值求積公式(2.27),來構(gòu)造如下分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程Dirichlet邊值問題的有限差分格式:

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

4.1 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的數(shù)值求積公式

表1 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子(?Δh)α/2u(0)的數(shù)值求積公式(2.27)的誤差結(jié)果(α=1.8,L=50)

4.2 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程的有限差分格式

本節(jié)考慮一類具有齊次邊界條件(g≡0)的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程(3.1).若取右端項(xiàng)f≡1,則其精確解為

我們使用有限差分格式(3.2)求解該問題,其數(shù)值結(jié)果見表2.由該表的結(jié)果可知,當(dāng)α取為1.8時(shí),有限差分格式(3.2)的收斂階接近O(h2.2),這與定理3.2中的結(jié)論是吻合的.

表2 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程(3.1)的有限差分格式(3.2)的誤差結(jié)果(α=1.8)

5 總結(jié)與展望

本文主要討論了一維分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的數(shù)值積分公式,并基于此構(gòu)造了相應(yīng)分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程的一種新型有限差分格式。相應(yīng)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，相應(yīng)的誤差估計(jì)皆為最優(yōu)。我們的下一步工作將把該方法推廣到二維分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子和方程，即借助雙線性插值在矩形網(wǎng)格上構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)值積分公式和有限差分格式。