2020年全國(guó)Ⅰ卷理科解析幾何第20題的剖析與探究

楊偉達(dá)

(廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 510800)

一、題目再現(xiàn)

(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

考點(diǎn)分析試題分為兩問(wèn)，第(1)問(wèn)注重基礎(chǔ)，以向量的數(shù)量積為工具，結(jié)合橢圓性質(zhì)求橢圓方程，難度較??；第(2)問(wèn)考查直線與橢圓位置關(guān)系、一元二次方程、韋達(dá)定理、直線方程，突出對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.從思想方法和數(shù)學(xué)素養(yǎng)層面看，本題考查了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理及處理復(fù)雜表達(dá)式的運(yùn)算求解等.

二、思路探究及解答過(guò)程

1.思路探究

(1)嘗試用自己的語(yǔ)言表述題目的已知條件、結(jié)論、未知量是什么

(2)常見(jiàn)相關(guān)類型題目及解題思路

有關(guān)直線與圓錐曲線相交問(wèn)題常見(jiàn)的方法是聯(lián)立方程組，利用方程組求解.

(3)思維障礙

本題涉及三條直線，與橢圓相交需要聯(lián)立方程組，消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程，方法簡(jiǎn)單自然，但涉及運(yùn)算量較大，不少學(xué)生渴望而不可求.

(4)思路分析

第(1)問(wèn)：b=1，由橢圓的性質(zhì)及向量數(shù)量積可列方程求出a的值；第(2)問(wèn)：設(shè)直線AP和直線BP分別與橢圓相交，求出CD的直線方程，從而判斷直線CD恒過(guò)定點(diǎn).

2.解答過(guò)程

解法1 (聯(lián)立方程組+韋達(dá)定理)

綜合比對(duì)，求解方法一樣，只是將橢圓問(wèn)題變成圓的問(wèn)題，圖形變得簡(jiǎn)單，運(yùn)算量也變小，但是要進(jìn)行伸縮轉(zhuǎn)換，還原求值，僅供參考.

三、解題后反思

1.不變的通性通法，突顯核心素養(yǎng)

首先，全方位考查直線方程.不管是從點(diǎn)到線還是從線到點(diǎn)，離不開(kāi)直線與橢圓相交,在涉及過(guò)點(diǎn)M求直線方程時(shí)常?！叭笔裁丛O(shè)什么”.即缺少斜率，在斜率存在時(shí)不妨設(shè)斜率為k，所以直線方程為y-y0=k(x-x0).

再次，直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題常常聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程、判別式、韋達(dá)定理等.這種“獨(dú)木橋”式的通性通法在高考中屢見(jiàn)不鮮.特別是消元和運(yùn)算求解方面要求更高.總之，考查學(xué)生運(yùn)算求解素養(yǎng)依然是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查的素養(yǎng)之一，也是高考突顯選拔、分層功能的重要體現(xiàn).

2.變更條件、編寫(xiě)題組

變式2 已知A,B分別為圓E：x2+y2=1與x軸的左、右交點(diǎn)，點(diǎn)P為直線x=m(m>1)上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).