橢圓中的斜率定值問題研究

謝賢祖

(華南師大附中汕尾學(xué)校 516600)

圓錐曲線題型多樣，結(jié)論眾多，下面筆者先提供常見結(jié)論1和結(jié)論2，再設(shè)計(jì)一系列題組，通過例題的分析與變式，總結(jié)解決問題的通性通法，希望對高三復(fù)習(xí)備考有所幫助.限于篇幅，對于一些比較容易的例題，只提供思路，留給讀者自己研究，詳細(xì)解答略.

一、證明斜率之積(比)為定值

①

總結(jié)通過以上例題可以發(fā)現(xiàn)，只要已知條件符合結(jié)論1和結(jié)論2的使用前提，我們便可以利用這兩個(gè)結(jié)論為我們解題“探路”，但并不是所有的斜率定值題型都可以套用結(jié)論，下面看難度更大的例4.

二、由斜率之積(和)為定值，證直線過定點(diǎn)

(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0

由AM⊥AN，得kAM·kAN=-1.

代入坐標(biāo)，整理,得(k2+1)x1x2+(km-k+2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.

借助韋達(dá)定理，得(2k+m-1)(2k+3m+1)=0.

①

總結(jié)(1)對于例7，由于先發(fā)現(xiàn)kBD·kBC為定值，所以根據(jù)結(jié)論2，可以預(yù)測直線CD過定點(diǎn)，再用通性通法寫過程，則輕松很多；(2)通過以上例題可以發(fā)現(xiàn)，對于橢圓的內(nèi)接三角形，只要有兩邊的斜率之積或者斜率之和為定值，則第三邊所在直線會(huì)過定點(diǎn).

總結(jié)(1)例8的題設(shè)條件與例4完全相同，解題思想一樣.對于無法借助斜率之積或斜率之和為定值來解決的難題，如例8，唯有利用通性通法硬算破解；(2)可以總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)：只要點(diǎn)E和F是x軸上的定點(diǎn)，直線MN必會(huì)過定點(diǎn).

通過以上8道例題的分析可以發(fā)現(xiàn)，斜率之積(和)為定值和直線過定點(diǎn)經(jīng)常具有等價(jià)性，有時(shí)彼此之間可以互相推導(dǎo)，但不是絕對.我們可以粗略地總結(jié)如下經(jīng)驗(yàn)：直線過定點(diǎn)，斜率之積(或和)為定值；斜率之積(或和)為定值，則直線過定點(diǎn).這樣可以幫助我們預(yù)判解題之路.而對于像例4和例8這樣的無結(jié)論可直接套用的題目，唯有通性通法是“王道”.最后提供兩個(gè)變式題供讀者選用.