高中數(shù)學(xué)解題中整體思想的應(yīng)用

楊則平

(安徽省桐城市第八中學(xué) 231400)

高中數(shù)學(xué)涉及很多思想，其中整體思想有著廣泛的應(yīng)用，用于解題能有效降低計(jì)算復(fù)雜度，提高解題效率，有助于學(xué)生更好地樹(shù)立解題的自信.教學(xué)中應(yīng)做好相關(guān)習(xí)題類型的匯總以及展示，使學(xué)生在以后學(xué)習(xí)中遇到類似問(wèn)題能夠迅速破題.

一、用于解答向量習(xí)題

解答有關(guān)向量的最值問(wèn)題時(shí)既要注重通解通法，使用向量的幾何與坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行解題，又要避免思維定勢(shì)的干擾，認(rèn)真觀察題干中給出的已知條件，積極聯(lián)系所學(xué)的不等式知識(shí)，通過(guò)對(duì)已知條件的整體處理，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算順利解題的目的.

例1 已知平面向量a，b滿足：1≤|a|≤2，1≤|a+b|≤3，1≤a·b≤2，則|b|的最大值為( ).

分析該題較為特殊，采用常規(guī)思路難以有效破題，而使用整體思想進(jìn)行分析，可達(dá)事半功倍的效果.

因?yàn)?≤|a|≤2，兩邊平方得到1≤|a|2≤4，

即-4≤-|a|2≤-1.

①

又因?yàn)?≤a·b≤2，兩邊同乘以-2，則

-4≤-2a·b≤-2.

②

又因?yàn)?≤|a+b|≤3，兩邊平方，得到

1≤|a|2+2a·b+|b|2≤9.

③

二、用于解答不等式習(xí)題

高中不等式類型的習(xí)題，有時(shí)很難一眼看出解題思路，需要對(duì)給出的條件進(jìn)行適當(dāng)整理，而后尋找其共同的部分，通過(guò)將其中的一部分看成一個(gè)整體，使用一個(gè)字母替代，參數(shù)之間的關(guān)系便一目了然.當(dāng)然運(yùn)用整體思想解題時(shí)還應(yīng)注重考慮整體部分的取值范圍.

又因?yàn)閦≤3x，所以xy+2y2≤3x(2y-x).

①

三、用于解答數(shù)列習(xí)題

高中數(shù)列習(xí)題與函數(shù)結(jié)合起來(lái)要求數(shù)列的通項(xiàng)公式，難度較大，解題時(shí)既要注重運(yùn)用整體思想化陌生為熟悉，又要注重靈活運(yùn)用函數(shù)、數(shù)列性質(zhì)，尤其應(yīng)注重整體思想的應(yīng)用，并根據(jù)題干情境，聯(lián)系所學(xué)求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，如倒序相加法，便可順利解題.

A.an=n+1 B.an=3n+1

C.an=3n+3 D.an=n2-2n+3

兩式相加得到2an=2+2+…+2=2(n+1).

所以an=n+1.故選A.

四、用于解答圓錐曲線習(xí)題

高中圓錐曲線習(xí)題解題思路較為簡(jiǎn)單，但實(shí)際動(dòng)筆作答時(shí)若不注重整體思想的應(yīng)用，計(jì)算非常繁瑣，很容易無(wú)功而返.教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行觀察與思考，把握相關(guān)方程的規(guī)律，將相關(guān)方程看成一個(gè)整體進(jìn)行處理，以避免過(guò)多的計(jì)算.

例4 已知拋物線y2=2px上有三點(diǎn)A(2，2)，B，C，其中直線AB，AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

分析將點(diǎn)A(2，2)代入y2=2px中易得y2=2x.

①

因?yàn)閳A的方程為(x-2)2+y2=1，則r=1，設(shè)圓心為O，畫(huà)出拋物線和圓的圖象，如圖1所示.

②

③

如采用常規(guī)方法，將直線和拋物線聯(lián)立求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，難度較大，而采用整體法可大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為使學(xué)生掌握利用整體思想解答不同題型的思路與技巧，既要做好對(duì)經(jīng)典例題的深入剖析，使學(xué)生明白考查的知識(shí)點(diǎn)，把握何時(shí)應(yīng)用整體思想，怎樣應(yīng)用整體思想，又要組織學(xué)生多進(jìn)行整體思想在解題中的應(yīng)用訓(xùn)練，并鼓勵(lì)學(xué)生做好訓(xùn)練的反思與總結(jié).