淺析立體幾何中的軌跡問題

賈增福

(廣東省佛山市順德區(qū)華僑中學(xué) 528333)

一、試題呈現(xiàn)

A.當(dāng)λ=1時，△AB1P的周長為定值

B.當(dāng)μ=1時，三棱錐P-A1BC的體積為定值

解析取特殊點(diǎn)判斷.

評注本題也可以用建系的方法解決.本題以正三棱柱為載體，考查了空間中的動點(diǎn)軌跡與線面位置關(guān)系，學(xué)生通過取特殊值判斷或是通過常規(guī)方法建立坐標(biāo)系，可以將問題很好地進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

二、立體幾何中簡單的軌跡問題探究

1.探究空間中動點(diǎn)軌跡的長度

圖1

評注本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征、直線與平面垂直的判定、扇形中的弧長公式等，以此來考查學(xué)生的能力.

圖2

2.探究與動點(diǎn)軌跡相關(guān)的最值問題

例2 如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，且AP∥平面EFDB，則tan∠APA1的最大值是( ).

圖3

評注本題考查空間中直線與直線之間的夾角等.由題意畫出圖形，可得點(diǎn)P的軌跡，從而實(shí)現(xiàn)了問題的解決，考查了學(xué)生的空間想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理等能力.

變式如圖4，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AA1=4，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點(diǎn)，且AP⊥BD1，記AP與平面BCC1B所成的角為θ，則tanθ的最大值為( ).

圖4 圖5

評注本題通過空間直角坐標(biāo)系，探究了空間中的動點(diǎn)軌跡，體現(xiàn)了空間向量在立體幾何中的工具性作用，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，同時體現(xiàn)了函數(shù)與方程及轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.

本文通過具體實(shí)例，簡單探究了立體幾何中常見的動點(diǎn)問題，并對相關(guān)的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行了簡單分析，旨在通過此類問題的探究，可以更好地引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對立體幾何的學(xué)習(xí)，并讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中，學(xué)會歸納、總結(jié)，提高綜合素質(zhì).