多角度破解圓錐曲線非對稱問題

于 洋

(江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 210003)

在解決高中數(shù)學(xué)圓錐曲線問題的過程中，學(xué)生經(jīng)常會遇到一類問題，將問題表征為數(shù)學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)式之后，利用韋達(dá)定理不能直接代入，從而導(dǎo)致學(xué)生無法解決此問題.本文以下面問題為例，總結(jié)了五種解決圓錐曲線非對稱問題的策略.

一、問題呈現(xiàn)

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P(0,1)，A,B為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過A作斜率為k1的直線交橢圓于點(diǎn)E，連接EP并延長交橢圓于點(diǎn)F，記直線BF的斜率為k2，若k1=3k2，求直線EF的方程.

二、問題聚焦

又因?yàn)閥1=kx1+1，y2=kx2+1,

所以(kx1+1)(x2-2)=3(kx2+1)(x1+2).

化簡,得2kx1x2+(2k+3)x1+(6k-1)x2+8=0.

①

此時(shí)，許多同學(xué)面對①式束手無策，因?yàn)橛身f達(dá)定理得到x1+x2，x1x2無法直接代入①式.如果x1前面的系數(shù)和x2前面的系數(shù)相等，則能夠順利代入韋達(dá)定理，問題迎刃而解，所以我們把這類x1前面的系數(shù)和x2前面的系數(shù)不相等的情況稱之為圓錐曲線的“非對稱問題”.

三、多角度解決問題

角度1 借助求根公式，突破運(yùn)算障礙.

所以直線EF的方程為y=x+1.

角度2 發(fā)掘?qū)ο箨P(guān)系，降低運(yùn)算難度.

角度3 結(jié)合二級結(jié)論，構(gòu)造對稱結(jié)構(gòu).

即6(kx1+1)(kx2+1)=-(x1-2)(x2-2).

化簡,得(6k2+1)x1x2+(6k-2)(x1+x2)+10=0.

角度4 利用曲線方程，突破思維定式.

②

因?yàn)镋(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)在橢圓上，

③

所以直線EF的方程為y=x+1.

反思在解決直線與橢圓的位置關(guān)系中，我們往往借助直線方程進(jìn)行消元，忽視了橢圓方程也可以起到消元的作用.通過化簡發(fā)現(xiàn)這種方法也實(shí)現(xiàn)了將非對稱結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為對稱結(jié)構(gòu)，從而能夠使用韋達(dá)定理快速求解，突破了學(xué)生固有的解題認(rèn)知.

角度5 算思深度融合，做實(shí)解題過程.

在問題的解決過程中，我們要重視學(xué)生的思路，順勢而為，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)幫助學(xué)生進(jìn)一步思考與運(yùn)算，破解圓錐曲線的非對稱問題.