星模擬器光學(xué)系統(tǒng)視場(chǎng)拼接方法的研究

付景怡，秦天翔，黃蘊(yùn)涵，劉智穎

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022）

1 引言

星模擬器是重要的地面標(biāo)定設(shè)備[1]，可在地面模擬星體的排布、姿態(tài)，標(biāo)定并檢測(cè)星敏感器的探測(cè)能力[2-3]。近年來，星模擬器要求視場(chǎng)更大、精度更高[4-7]。為了增大視場(chǎng)，獲得更廣的視野范圍，陳啟夢(mèng)等人通過拼接硅基液晶顯示器件(Liquid Crystal on Silicon, LCoS)顯示器件的方式，解決了大視場(chǎng)下星圖顯示器件分辨率不足的問題，將準(zhǔn)直系統(tǒng)的視場(chǎng)增大到22°[8]；劉歡等人提出了一種算法，能夠很好地校正畸變，減少了像差對(duì)視場(chǎng)的約束，并且采用特殊的光學(xué)材料來優(yōu)化光學(xué)系統(tǒng)，使光學(xué)系統(tǒng)的視場(chǎng)達(dá)到20°[9]；代雨等人利用二次成像方法，設(shè)計(jì)了一款雙光組結(jié)合的投影系統(tǒng)，并使用DMD芯片作為星圖顯示器件，使視場(chǎng)達(dá)到28.6°[10-11]。

單一星模擬器受到自身像質(zhì)和顯示芯片大小的限制，繼續(xù)增大視場(chǎng)的實(shí)現(xiàn)度和性價(jià)比都很低，而且光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)會(huì)變得異常復(fù)雜與困難。

本文提出一種通過拼接視場(chǎng)增大星模擬器視場(chǎng)的方法。為了在增大視場(chǎng)的同時(shí)降低重量、簡(jiǎn)化組合方式、降低成本，本文根據(jù)平面幾何關(guān)系得到不同拼接方式，計(jì)算并分析了各方式下的視場(chǎng)利用率，利用編程軟件計(jì)算了每個(gè)單一視場(chǎng)中心坐標(biāo)和相鄰視場(chǎng)交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定了所需的精準(zhǔn)拼接數(shù)目。對(duì)比視場(chǎng)利用率與拼接數(shù)目，得到了最佳拼接方式，實(shí)現(xiàn)了視場(chǎng)的增大。

2 視場(chǎng)拼接原理

在視場(chǎng)拼接中，用一個(gè)圓錐體來模擬單一小視場(chǎng)的范圍，張角的中心軸模擬小視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)的光軸，圓錐體的頂角就是光學(xué)系統(tǒng)視場(chǎng)的張角。相同的視場(chǎng)要用相同大小的圓錐體表示；視場(chǎng)大小不同，圓錐體的底面積大小則不同。將處在不同角度、相同大小的小圓錐體拼接起來，可以近似形成更大的圓錐體。通過這樣的原理將在不同方位的單一小視場(chǎng)拼接起來，從而形成更大的視場(chǎng)[12]。如圖1所示，ω 為單一視場(chǎng)角，W為拼接后形成的視場(chǎng)角。

圖1 拼接前后視場(chǎng)角對(duì)比圖Fig.1 Contrast of the FOV angle before and after splicing

能否實(shí)現(xiàn)視場(chǎng)完全拼接，則取決于單一視場(chǎng)間的軸間夾角 θA，即兩個(gè)小圓錐軸線的夾角(見圖2)。當(dāng)軸間夾角小于圓錐錐角時(shí)，相鄰的兩個(gè)單一小視場(chǎng)范圍之間有重疊，才能保證視場(chǎng)信息不丟失。若軸間夾角大于視場(chǎng)角，則兩個(gè)單一小視場(chǎng)之間會(huì)出現(xiàn)間隙，從而導(dǎo)致得到的視場(chǎng)不連續(xù)。拼接完成后，顯示部分將通過算法處理重疊問題，利用算法對(duì)每個(gè)單一星模擬器的星圖進(jìn)行修剪，剪裁掉多余的重復(fù)像素，再拼接成一個(gè)完整的星圖。

圖2 圓錐軸間夾角示意圖Fig.2 Schematic diagram of the angle between shafts

3 平面拼接簡(jiǎn)化模型

針對(duì)小視場(chǎng)系統(tǒng)難以繼續(xù)擴(kuò)大視場(chǎng)的局限性，為了簡(jiǎn)化大視場(chǎng)模型并實(shí)現(xiàn)無縫拼接，提出了一種基于平面的拼接方式。以單一的小視場(chǎng)為主體，當(dāng)單一視場(chǎng)投影圓的內(nèi)接正多邊形能夠無縫銜接起來時(shí)，就可以使各個(gè)小圓無空隙地拼接在一個(gè)面上，從而完成無縫拼接。以平面為模型的無縫拼接的前提是若平面產(chǎn)生微小弧度變化，相鄰兩單一視場(chǎng)間仍能保證沒有空隙；而若平面拼接時(shí)有重疊部分，則拼接后的視場(chǎng)角度越大，重疊比例就越大。并且，這種拼接方式在拼接過程中對(duì)軸間夾角角度無特殊要求，適用于視場(chǎng)為任何大小的光學(xué)系統(tǒng)拼接。

若想使內(nèi)接正多邊形在平面上無縫拼接，則要滿足以下條件：

其中，n為 正多邊形的邊數(shù)，N為使用的多邊形個(gè)數(shù)。

計(jì)算得到n分別為3，4，6。也就是說，在平面上只有相同的正三角形、正四邊形或正六邊形能夠不重疊地?zé)o縫拼接成一個(gè)平面，如圖3所示。

圖3 無縫拼接示意圖Fig.3 Schematic diagram of three types of seamless splicings

由此得到3種視場(chǎng)拼接方式，分別為正三角形、正四邊形和正六邊形拼接，示意圖如圖4所示。

圖4 3種拼接方式拼接效果Fig.4 Splicing effects of three splicing methods

平面簡(jiǎn)化模型是為了更直觀地獲得視場(chǎng)拼接后的效果。但在實(shí)際應(yīng)用中，各單一星模擬器分布在一個(gè)球面上。因此要通過后期算法實(shí)現(xiàn)平面向三維立體結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化。通過單一視場(chǎng)間的軸間夾角 θA能夠確定相鄰星模擬器之間的固有關(guān)系，從而對(duì)圖像進(jìn)行剪切和拼接，使圖像映射在球面上[13]。

4 視場(chǎng)利用率的計(jì)算方法

相鄰的單一小視場(chǎng)之間要有一定的重疊部分，這樣可以避免視場(chǎng)信息丟失，重疊區(qū)域大小直接影響可利用的視場(chǎng)大小。因此借鑒填充率概念[14]提出了視場(chǎng)利用率的概念。視場(chǎng)利用率是指除去重疊部分，拼接后大視場(chǎng)覆蓋的范圍和拼接過程中使用的所有單一小視場(chǎng)覆蓋范圍的比值。根據(jù)各拼接方式下的幾何關(guān)系，能夠近似確定重疊部分。視場(chǎng)利用率為ηn的計(jì)算方式為：

重疊部分所占比例kn為

其中，Nn為正n邊 形拼接方式下所需的n邊形個(gè)數(shù)；SL為 拼接后大視場(chǎng)覆蓋面積；SS為單一小視場(chǎng)覆蓋面積。

根據(jù)平面幾何關(guān)系，得到視場(chǎng)利用率與重疊部分的關(guān)系為

5 拼接數(shù)目的計(jì)算模型

5.1 軸間夾角計(jì)算

軸間夾角是兩個(gè)單一小視場(chǎng)中心軸線的夾角，也可以說是單一視場(chǎng)之間的夾角。前文提到，當(dāng)軸間夾角小于單一視場(chǎng)角時(shí)，相鄰的兩個(gè)單一小視場(chǎng)之間才會(huì)發(fā)生重疊，保證視場(chǎng)信息不丟失。通過單一小視場(chǎng)的軸間夾角能夠計(jì)算出各個(gè)小視場(chǎng)的準(zhǔn)確位置，進(jìn)而精準(zhǔn)地確定拼接數(shù)目，因此軸間夾角的數(shù)值在拼接過程中具有重要作用。3種拼接方式的軸間夾角如圖5所示。

圖5 3種拼接方式的軸間夾角Fig.5 The angle between the axes of the three splicing methods

圖5展示出軸間夾角大小和單一小視場(chǎng)之間存在一定的幾何關(guān)系，得到以下關(guān)系式：

其中θAn為 正n邊形拼接的軸間夾角。

5.2 拼接數(shù)目計(jì)算

在平面拼接中，3種方式拼接后大視場(chǎng)的投影圖如圖6所示，可以明顯看到3種方式都是以環(huán)形陣列的方式向外排布，最終形成的視場(chǎng)形狀也不是圓形，而是正多邊形，因此利用該模型求出的解只能大致計(jì)算出每種方式的拼接數(shù)目。圖6中展示了3種拼接方式下拼接兩圈之后各自與圓形視場(chǎng)投影的關(guān)系。

圖6 3種拼接方式下視場(chǎng)投影情況Fig.6 Field of view projection results in three splicing modes

5.2.1 拼接圈數(shù)C

對(duì)于拼接后大視場(chǎng)投影形成的圓形來說，拼接的圈數(shù)位置定義在圓形的直徑位置，而對(duì)于拼接后形成的正多邊形視場(chǎng)來說，拼接圈數(shù)位置是正多邊形的穿過重心平行底邊的直線位置，因此要在拼接過程中使兩個(gè)位置統(tǒng)一。除正三角形拼接方式以外的其他兩種方式單一視場(chǎng)的圓心都在同一直線上，而正三角形拼接方式不同，因此正三角形拼接方式要進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算。定義除中心視場(chǎng)外，向外排布的第一環(huán)為第一圈，以此類推，如圖7所示。

圖7 正三角形拼接方式夾角計(jì)算示意圖Fig.7 Schematic diagram of the calculation of the included angle of the regular triangle splicing method

正四邊形拼接圈數(shù)與正六邊形拼接圈數(shù)C的計(jì)算方式相同，即：

取整，其中n= 4或6。

對(duì)于正三角形拼接法，設(shè)在水平方向相鄰兩圈的夾角為β，則有

則得到三角形拼接圈數(shù)C3為

5.2.2 拼接數(shù)目Sn

在計(jì)算了3種拼接方式的圈數(shù)后，就要對(duì)整體拼接數(shù)目進(jìn)行求解，由圖4可以看出每種方式的排布都是有規(guī)律的，找到每一圈排布個(gè)數(shù)的規(guī)律就能確定整體的排布個(gè)數(shù)。以6圈為例，就足以推導(dǎo)出3種方式的拼接數(shù)目。

5.2.2.1 正三角形拼接方式

對(duì)于正三角形拼接方式，其每一圈的個(gè)數(shù)如表1所示。

表1 正三角形拼接方式的圈數(shù)與個(gè)數(shù)關(guān)系Tab.1 Relationship between the number of circles and the number of regular triangle splicing method

由表1能夠推導(dǎo)出每一圈的個(gè)數(shù)公式為

則得到三角形拼接方式所需拼接數(shù)目為

5.2.2.2 正四邊形拼接方式

正四邊形拼接方式，其每一圈的個(gè)數(shù)如表2所示。

表2 正四邊形拼接方式的圈數(shù)與個(gè)數(shù)關(guān)系Tab.2 Relationship between the number of circles and the number of square splicing method

由表2推導(dǎo)出每一圈的個(gè)數(shù)公式為

得到正四邊形拼接方式所需拼接數(shù)目為

5.2.2.3 正六邊形拼接方式

正六邊形拼接方式，是以6的倍數(shù)向外排列，其每一圈的個(gè)數(shù)如表3所示。

表3 正六邊形拼接方式的圈數(shù)與個(gè)數(shù)關(guān)系Tab.3 Relationship between the number of circles and the number of regular hexagon splicing method

由表3推導(dǎo)出每一圈的個(gè)數(shù)公式為

最終推導(dǎo)出正六邊形拼接方式所需的拼接數(shù)目為

以上能夠得到3種拼接方式大致的拼接數(shù)目，但是由于拼接的實(shí)質(zhì)是圓形小視場(chǎng)的內(nèi)接正多邊形無縫銜接，因此拼接過程中肯定會(huì)有視場(chǎng)部分缺失或冗余的情況，由圖6也可以看出。要解決這個(gè)問題則需要計(jì)算每個(gè)視場(chǎng)所在的準(zhǔn)確位置。

6 拼接數(shù)目的計(jì)算與分析

在大致了解各拼接方式需要的單一小視場(chǎng)數(shù)目之后，就要對(duì)單一小視場(chǎng)進(jìn)行更精準(zhǔn)的定位和詳細(xì)計(jì)算，以確定各個(gè)方式所需要的準(zhǔn)確拼接數(shù)目，從而決定采用哪種拼接方式。確定坐標(biāo)時(shí)，選擇將所有的坐標(biāo)做歸一化處理，以保證坐標(biāo)位置只和單一視場(chǎng)角的大小有關(guān)。以正六邊形拼接方式為例，建立坐標(biāo)系如圖8(彩圖見期刊電子版)所示。

圖8 坐標(biāo)系的建立Fig.8 Establishment of the coordinate system

計(jì)算坐標(biāo)時(shí)，要找到各點(diǎn)間能夠成立的幾何關(guān)系。而不同位置的求解方法不同，需要求解的點(diǎn)分為3類：內(nèi)部單一小視場(chǎng)中心坐標(biāo)、對(duì)角線位置單一小視場(chǎng)中心坐標(biāo)和相鄰小視場(chǎng)交點(diǎn)坐標(biāo)。

內(nèi)部單一視場(chǎng)的中心坐標(biāo)如圖9中O1?1、O1?2、O1?3、O1?4、O1?5、O1?6所示，這6個(gè)位 置與O的夾角都相等，均為軸間夾角，放到圖9下點(diǎn)O1?1與 點(diǎn)A1、A2的角度和直線距離都相等，得到式（15），并據(jù)此得到其坐標(biāo)位置。坐標(biāo)邊界位置計(jì)算示意圖如圖10所示。

圖9 中心坐標(biāo)與交點(diǎn)坐標(biāo)位置排列Fig.9 Arrangement of the center coordinates and intersection coordinates

圖10 坐標(biāo)邊界位置計(jì)算示意圖Fig.10 Schematic diagram of calculation of the coordinate boundary position

對(duì)于相鄰單一視場(chǎng)之間的交點(diǎn)坐標(biāo)B、C等，根據(jù)B1與O1?1、O1?6的夾角都是單一小視場(chǎng)的半視場(chǎng)角，有如下等式：

對(duì) 角 線 位 置 單 一 視 場(chǎng)中 心 坐 標(biāo)O2?2、O2?4、O2?6、O2?8、O2?10、O2?12等，O2?2與O1?1的夾角為軸間夾角，其到點(diǎn)O2?1、 點(diǎn)O2?3的直線距離相同，得到式(17)。而O2?1、O2?3皆可由式(15)求得。

根據(jù)式(17)，利用編程軟件編寫程序可得到每個(gè)單一視場(chǎng)中心坐標(biāo)與交點(diǎn)坐標(biāo)。

根據(jù)式(5)能夠計(jì)算出各個(gè)方式下的軸間夾角大小，在編程軟件中即可以得到每個(gè)單一視場(chǎng)中心坐標(biāo)與交點(diǎn)坐標(biāo)位置。為了確定精準(zhǔn)的拼接數(shù)目，需計(jì)算出拼接到所需大視場(chǎng)的邊界坐標(biāo)位置，也就是最外圈所在的坐標(biāo)位置，將邊界坐標(biāo)點(diǎn)與編程軟件中得出的坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，在該邊界坐標(biāo)點(diǎn)以外的點(diǎn)都不在需求范圍內(nèi)。由于坐標(biāo)是環(huán)狀分布，則無法給定x、y軸的邊界位置，但z軸方向的高度邊界位置可求，即

其中，z0為邊界位置的坐標(biāo)高度。

7 3種拼接方式對(duì)比分析

針對(duì)以上3種拼接方式，為了對(duì)他們的視場(chǎng)利用率以及相同視場(chǎng)所需要的單一小視場(chǎng)數(shù)目分別進(jìn)行討論，以 ω=5°的單一視場(chǎng)向外拼接成為W=90°、W=120°、W=150°、W=180°為例，對(duì)3種方式進(jìn)行對(duì)比分析。

7.1 視場(chǎng)利用率對(duì)比

根據(jù)式(2)～式(4)可知，視場(chǎng)利用率只與單一小視場(chǎng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)有關(guān)，即與拼接方式有關(guān)，因此3種拼接方式下的視場(chǎng)利用率為定值。而根據(jù)式(5)，各拼接方式下的軸間夾角的大小與單一小視場(chǎng)的視場(chǎng)角有關(guān)，當(dāng)給定單一小視場(chǎng)為 ω=5°時(shí)，則可計(jì)算3種方式下的軸間夾角，分別將n= 3、4、6與ω =5°代入相應(yīng)公式。得到結(jié)果 如表4所示。

表4 3種方式的視場(chǎng)利用率對(duì)比Tab.4 Comparison of FOV utilization of three methods

對(duì)比結(jié)果顯示：正六邊形拼接方式的視場(chǎng)利用率是3種方式中最大的，重復(fù)部分最少。

7.2 拼接數(shù)目對(duì)比

由式(6)～式(14)能夠得到，拼接數(shù)目與單一小視場(chǎng)角和拼接后的大視場(chǎng)角都有關(guān)，拼接成不同的大視場(chǎng)，所需的精確拼接數(shù)目會(huì)有所變化，因此要討論拼接成不同大視場(chǎng)的情況并做對(duì)比。用編程軟件計(jì)算由 ω=5°的單一小視場(chǎng)拼接成W=90°、W=120°、W=150°、W=180°情況下的拼接數(shù)目，見表5。

表5 3種方式的拼接數(shù)目對(duì)比Tab.5 Comparison of the number of splices for three methods

由圖11可以看出：正三角形拼接的增長(zhǎng)率很大，拼接的視場(chǎng)越大，增加的拼接數(shù)目越多；而正四邊形與正六邊形拼接變化相對(duì)平緩，并且無論拼接為任何數(shù)值的大視場(chǎng)，正六邊形拼接的拼接數(shù)目始終最少。

圖11 3種方式的拼接數(shù)目趨勢(shì)圖Fig.11 Trends in the number of splices in three ways

8 結(jié)論

本文針對(duì)星模擬器光學(xué)系統(tǒng)視場(chǎng)難以增大的問題，提出了對(duì)星模擬器單一小視場(chǎng)進(jìn)行拼接的方法，以此達(dá)到增大視場(chǎng)的目的。以平面拼接模型為基礎(chǔ)，得到有效的拼接方式，為正三角形、正四邊形與正六邊形3種，并計(jì)算了各種方式的視場(chǎng)利用率。利用編程軟件確定3種拼接方式的單一小視場(chǎng)坐標(biāo)位置，從而得到3種方式下的拼接數(shù)目。結(jié)果表明，正六邊形拼接方式的視場(chǎng)利用率最高，可達(dá)到三角形拼接方式的1.4倍，并且其拼接數(shù)目最少，可以減少系統(tǒng)重量、降低成本。本次研究結(jié)果不僅可以應(yīng)用在星模擬器準(zhǔn)直光學(xué)系統(tǒng)視場(chǎng)增大中，還可以應(yīng)用于其他光學(xué)系統(tǒng)的視場(chǎng)增大，對(duì)今后光學(xué)設(shè)計(jì)中模擬大視場(chǎng)具有一定意義。