一維光子晶體中的幾率密度和拓?fù)湎?/h1>
2021-11-26 07:49:04任明麗劉曉靜吳向堯
吉林大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版) 2021年6期
任明麗, 韓 夢, 劉曉靜, 吳向堯
(吉林師范大學(xué) 物理學(xué)院, 吉林 四平 136000)
隨著量子Hall效應(yīng)(QHE)在凝聚態(tài)物理中的深入研究, 一類具有非平庸特性的新型材料----拓?fù)浣^緣體已引起人們廣泛關(guān)注[1-7], 如用拓?fù)洳蛔兞縖5]解釋量子Hall效應(yīng)[6-7]. 近年來, 隨著人工超材料[8-10]的發(fā)展, 凝聚態(tài)中的拓?fù)浣^緣體為類似光學(xué)[11-12]和聲學(xué)[13]的拓?fù)浣^緣體發(fā)展奠定了基礎(chǔ). 拓?fù)浣^緣體的概念已擴(kuò)展到光子學(xué)[14]中, 一維光子晶體(PCs)的拓?fù)涮卣魇荶ak相[15], 計算結(jié)果表明, Zak相與PCs表面阻抗是相關(guān)的[16], 并且一個孤立帶的Zak相位與具有完美透射特征的奇點(diǎn)有關(guān)[17-18]. 在二維空間中, 具有Faraday效應(yīng)的PCs與手性邊緣模式的量子Hall效應(yīng)系統(tǒng)相似[19-20], 在傳統(tǒng)的蜂窩晶格中也可實現(xiàn)自旋Hall效應(yīng)和谷Hall效應(yīng)[21-22]. 文獻(xiàn)[23]用量子理論方法計算了一維光子晶體的量子色散關(guān)系、量子透射率和反射率. 本文在此基礎(chǔ)上計算一維光子晶體中光子的幾率密度和幾率流密度, 并用該量子理論方法研究帶的Zak相.
1 一維光子晶體中光子的幾率密度和幾率流密度
當(dāng)0
(1)
由方程(1)和(2)可計算一維光子晶體中光子的幾率密度, 第一個周期介質(zhì)層A的幾率密度為
當(dāng)a
(4)
第一個周期介質(zhì)層B的幾率密度為
在第N個周期介質(zhì)層A的光子波函數(shù)為
第N個周期介質(zhì)層A的幾率密度為
在第N個周期介質(zhì)層B的光子波函數(shù)為
第N個周期介質(zhì)層B的幾率密度為
其中Na+(N-1)b由文獻(xiàn)[19]中的方程(9)可得光子在各介質(zhì)層的幾率流密度.
當(dāng)0當(dāng)a在第N個周期介質(zhì)層A的幾率流密度為
其中(N-1)(a+b)在第N個周期介質(zhì)層B的幾率流密度為
其中Na+(N-1)b
(17)
和
(18)
其中
p=1+C1/C2,q=1-C1/C2,g1=(1+C2/C3)eiK0C2·a,g2=(1-C2/C3)e-iK0C2·a,g3=(1-C2/C3)×eiK0C2·a,g4=(1+C2/C3)e-iK0C2·a,h1=(1+C3/C2)eiK0C3·b,h2=(1-C3/C2)e-iK0C3·b,h3=(1-C3/C2)eiK0C3·b,h4=(1+C3/C2)e-iK0C3·b.
2 數(shù)值結(jié)果
當(dāng)介質(zhì)A和B的折射率分別為na=2.68和nb=1.68, 厚度分別為a=200 nm和b=300 nm, 周期數(shù)N=10, 中心頻率ω0=171 THz時, 計算結(jié)構(gòu)為(AB)N的一維光子晶體的量子透射率、幾率密度和幾率流密度. 在數(shù)值計算中, 比較量子透射率和經(jīng)典透射率的結(jié)果, 并進(jìn)一步研究一維光子晶體不同參數(shù)對幾率密度、幾率流密度、帶隙結(jié)構(gòu)和Zak相的影響.
由文獻(xiàn)[19]中的方程(88)可得一維光子晶體的量子透射率, 結(jié)果如圖1所示, 其中圖1(A)為經(jīng)典透射率, 圖1(B)為量子透射率. 由圖1可見, 量子透射率與經(jīng)典透射率的結(jié)果相同. 入射角θ對幾率密度和幾率流密度的影響分別如圖2和圖3所示. 由圖2和圖3可見： 幾率密度和幾率流密度均隨光在光子晶體中的傳播距離x呈近似周期性變化； 隨著入射角θ的減小, 幾率密度和幾率流密度的波幅增大. 周期數(shù)N對概率密度的影響如圖4所示. 由圖4可見, 幾率密度的波幅隨周期數(shù)N的增加而增大. 一維光子晶體(AB)10對不同ω的幾率密度如圖5所示. 由圖5(A)可見, 當(dāng)取透射率T=100%對應(yīng)的入射光子頻率時, 幾率密度的波幅值最大； 由圖5(B)可見, 當(dāng)取入射光子頻率對應(yīng)的透射率T=80%時, 幾率密度波幅值減?。?由圖5(C)可見, 當(dāng)取入射光子頻率對應(yīng)的透射率T=0時, 光子的禁帶頻率和幾率密度的幅值迅速衰減為零, 表明光子晶體禁帶中的光子存在量子隧道效應(yīng).
圖1 一維光子晶體(AB)10的透射率Fig.1 Transmissivity of one-dimensional photonic crystals (AB)10
圖2 一維光子晶體(AB)10對不同入射角θ的幾率密度Fig.2 Probability density of one-dimensional photonic crystals (AB)10 for different incident angle θ
圖3 一維光子晶體(AB)10對不同入射角θ的幾率流密度Fig.3 Probability current density of one-dimensional photonic crystals (AB)10 for different incident angle θ
圖4 一維光子晶體(AB)10對不同周期數(shù)N的幾率密度Fig.4 Probability density of one-dimensional photonic crystals (AB)10 for different periodic number N
由文獻(xiàn)[22]可知光子的量子幾率密度分布, 當(dāng)Kd=0和Kd=π時, 若同一條帶上ρn(x=0)和(x=π)均為0或均不為0時, 則這條帶的Zak相為0； 否則Zak相為π. 當(dāng)幾率密度ρ≤10-3時, 可將其視為零.
圖5 一維光子晶體(AB)10對不同ω的幾率密度Fig.5 Probability density of one-dimensional photonic crystals (AB)10 for different ω
圖6 一維光子晶體的色散關(guān)系Fig.6 Dispersion relation of one-dimensional photonic crystals
一維光子晶體的色散關(guān)系如圖6所示, 其中介質(zhì)B的折射率為nb=1.12, 點(diǎn)A,B,C,D,E,F為帶邊態(tài), 其量子幾率密度分布分別如圖7(A)～(F)所示. 根據(jù)光子在光子晶體中的量子幾率密度分布可確定帶Zak相位. 對于AB帶,ρA(x=0)=0.214 1≠0,ρB(x=0)=0.42≠0, 則AB帶的Zak相位為0; 對于CD帶,ρC(x=0)=0.003 618≈0和ρD(x=0)=0.017 68≠0, 則CD帶的Zak相為π； 對于EF帶,ρE(x=0)=0.003 419≈0和ρF(x=0)=0.000 442 4≈0, 則EF帶的Zak相位為0.
圖7 量子幾率密度分布Fig.7 Distribution of quantum probability density
綜上, 本文用光子量子理論給出了一維光子晶體中光子的幾率密度、幾率流密度和拓?fù)湎? 通過MATLAB軟件進(jìn)行計算畫圖. 結(jié)果表明: 當(dāng)入射角θ和周期數(shù)N改變時, 幾率密度和幾率流密度近似為周期變化, 其振幅隨入射角θ和周期數(shù)N的增加而增大； 當(dāng)入射光子的頻率與透射率T=100%相對應(yīng)時, 幾率密度振幅最大, 當(dāng)入射光子的頻率與透射率T=0相對應(yīng)時, 幾率密度不為零, 但幾率密度的振幅迅速衰減到零, 即光子晶體中存在光子的量子隧道效應(yīng). 此外, 用量子方法給出了帶的Zak相, 該量子理論方法可進(jìn)一步研究光的量子Hall效應(yīng), 為光子晶體器件的設(shè)計提供數(shù)據(jù)信息.
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隨著量子Hall效應(yīng)(QHE)在凝聚態(tài)物理中的深入研究, 一類具有非平庸特性的新型材料----拓?fù)浣^緣體已引起人們廣泛關(guān)注[1-7], 如用拓?fù)洳蛔兞縖5]解釋量子Hall效應(yīng)[6-7]. 近年來, 隨著人工超材料[8-10]的發(fā)展, 凝聚態(tài)中的拓?fù)浣^緣體為類似光學(xué)[11-12]和聲學(xué)[13]的拓?fù)浣^緣體發(fā)展奠定了基礎(chǔ). 拓?fù)浣^緣體的概念已擴(kuò)展到光子學(xué)[14]中, 一維光子晶體(PCs)的拓?fù)涮卣魇荶ak相[15], 計算結(jié)果表明, Zak相與PCs表面阻抗是相關(guān)的[16], 并且一個孤立帶的Zak相位與具有完美透射特征的奇點(diǎn)有關(guān)[17-18]. 在二維空間中, 具有Faraday效應(yīng)的PCs與手性邊緣模式的量子Hall效應(yīng)系統(tǒng)相似[19-20], 在傳統(tǒng)的蜂窩晶格中也可實現(xiàn)自旋Hall效應(yīng)和谷Hall效應(yīng)[21-22]. 文獻(xiàn)[23]用量子理論方法計算了一維光子晶體的量子色散關(guān)系、量子透射率和反射率. 本文在此基礎(chǔ)上計算一維光子晶體中光子的幾率密度和幾率流密度, 并用該量子理論方法研究帶的Zak相.
1 一維光子晶體中光子的幾率密度和幾率流密度
當(dāng)0 (1) 由方程(1)和(2)可計算一維光子晶體中光子的幾率密度, 第一個周期介質(zhì)層A的幾率密度為 當(dāng)a (4) 第一個周期介質(zhì)層B的幾率密度為 在第N個周期介質(zhì)層A的光子波函數(shù)為 第N個周期介質(zhì)層A的幾率密度為 在第N個周期介質(zhì)層B的光子波函數(shù)為 第N個周期介質(zhì)層B的幾率密度為 其中Na+(N-1)b 由文獻(xiàn)[19]中的方程(9)可得光子在各介質(zhì)層的幾率流密度. 當(dāng)0 當(dāng)a 在第N個周期介質(zhì)層A的幾率流密度為 其中(N-1)(a+b) 在第N個周期介質(zhì)層B的幾率流密度為 其中Na+(N-1)b (17) 和 (18) 其中 p=1+C1/C2,q=1-C1/C2,g1=(1+C2/C3)eiK0C2·a,g2=(1-C2/C3)e-iK0C2·a,g3=(1-C2/C3)×eiK0C2·a,g4=(1+C2/C3)e-iK0C2·a,h1=(1+C3/C2)eiK0C3·b,h2=(1-C3/C2)e-iK0C3·b,h3=(1-C3/C2)eiK0C3·b,h4=(1+C3/C2)e-iK0C3·b. 當(dāng)介質(zhì)A和B的折射率分別為na=2.68和nb=1.68, 厚度分別為a=200 nm和b=300 nm, 周期數(shù)N=10, 中心頻率ω0=171 THz時, 計算結(jié)構(gòu)為(AB)N的一維光子晶體的量子透射率、幾率密度和幾率流密度. 在數(shù)值計算中, 比較量子透射率和經(jīng)典透射率的結(jié)果, 并進(jìn)一步研究一維光子晶體不同參數(shù)對幾率密度、幾率流密度、帶隙結(jié)構(gòu)和Zak相的影響. 由文獻(xiàn)[19]中的方程(88)可得一維光子晶體的量子透射率, 結(jié)果如圖1所示, 其中圖1(A)為經(jīng)典透射率, 圖1(B)為量子透射率. 由圖1可見, 量子透射率與經(jīng)典透射率的結(jié)果相同. 入射角θ對幾率密度和幾率流密度的影響分別如圖2和圖3所示. 由圖2和圖3可見： 幾率密度和幾率流密度均隨光在光子晶體中的傳播距離x呈近似周期性變化； 隨著入射角θ的減小, 幾率密度和幾率流密度的波幅增大. 周期數(shù)N對概率密度的影響如圖4所示. 由圖4可見, 幾率密度的波幅隨周期數(shù)N的增加而增大. 一維光子晶體(AB)10對不同ω的幾率密度如圖5所示. 由圖5(A)可見, 當(dāng)取透射率T=100%對應(yīng)的入射光子頻率時, 幾率密度的波幅值最大； 由圖5(B)可見, 當(dāng)取入射光子頻率對應(yīng)的透射率T=80%時, 幾率密度波幅值減?。?由圖5(C)可見, 當(dāng)取入射光子頻率對應(yīng)的透射率T=0時, 光子的禁帶頻率和幾率密度的幅值迅速衰減為零, 表明光子晶體禁帶中的光子存在量子隧道效應(yīng). 圖1 一維光子晶體(AB)10的透射率Fig.1 Transmissivity of one-dimensional photonic crystals (AB)10 圖2 一維光子晶體(AB)10對不同入射角θ的幾率密度Fig.2 Probability density of one-dimensional photonic crystals (AB)10 for different incident angle θ 圖3 一維光子晶體(AB)10對不同入射角θ的幾率流密度Fig.3 Probability current density of one-dimensional photonic crystals (AB)10 for different incident angle θ 圖4 一維光子晶體(AB)10對不同周期數(shù)N的幾率密度Fig.4 Probability density of one-dimensional photonic crystals (AB)10 for different periodic number N 由文獻(xiàn)[22]可知光子的量子幾率密度分布, 當(dāng)Kd=0和Kd=π時, 若同一條帶上ρn(x=0)和(x=π)均為0或均不為0時, 則這條帶的Zak相為0； 否則Zak相為π. 當(dāng)幾率密度ρ≤10-3時, 可將其視為零. 圖5 一維光子晶體(AB)10對不同ω的幾率密度Fig.5 Probability density of one-dimensional photonic crystals (AB)10 for different ω 圖6 一維光子晶體的色散關(guān)系Fig.6 Dispersion relation of one-dimensional photonic crystals 一維光子晶體的色散關(guān)系如圖6所示, 其中介質(zhì)B的折射率為nb=1.12, 點(diǎn)A,B,C,D,E,F為帶邊態(tài), 其量子幾率密度分布分別如圖7(A)～(F)所示. 根據(jù)光子在光子晶體中的量子幾率密度分布可確定帶Zak相位. 對于AB帶,ρA(x=0)=0.214 1≠0,ρB(x=0)=0.42≠0, 則AB帶的Zak相位為0; 對于CD帶,ρC(x=0)=0.003 618≈0和ρD(x=0)=0.017 68≠0, 則CD帶的Zak相為π； 對于EF帶,ρE(x=0)=0.003 419≈0和ρF(x=0)=0.000 442 4≈0, 則EF帶的Zak相位為0. 圖7 量子幾率密度分布Fig.7 Distribution of quantum probability density 綜上, 本文用光子量子理論給出了一維光子晶體中光子的幾率密度、幾率流密度和拓?fù)湎? 通過MATLAB軟件進(jìn)行計算畫圖. 結(jié)果表明: 當(dāng)入射角θ和周期數(shù)N改變時, 幾率密度和幾率流密度近似為周期變化, 其振幅隨入射角θ和周期數(shù)N的增加而增大； 當(dāng)入射光子的頻率與透射率T=100%相對應(yīng)時, 幾率密度振幅最大, 當(dāng)入射光子的頻率與透射率T=0相對應(yīng)時, 幾率密度不為零, 但幾率密度的振幅迅速衰減到零, 即光子晶體中存在光子的量子隧道效應(yīng). 此外, 用量子方法給出了帶的Zak相, 該量子理論方法可進(jìn)一步研究光的量子Hall效應(yīng), 為光子晶體器件的設(shè)計提供數(shù)據(jù)信息.2 數(shù)值結(jié)果
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