李景貴，靳伍銀

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州 730050)

0 引言

傳統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法主要有相關(guān)檢測(cè)方法、電子學(xué)檢測(cè)方法、高階統(tǒng)計(jì)量法、自適應(yīng)噪聲抵消法等[1]，這些方法主要從噪聲的角度分析信號(hào)的特點(diǎn)和噪聲的規(guī)律，通過(guò)噪聲和信號(hào)的不同提取出微弱信號(hào)，但所檢測(cè)的最低信噪比有限。而以混沌理論為核心的非線性科學(xué)的發(fā)展為微弱信號(hào)檢測(cè)提供了新的思路[2-4]。自1992年Birx等提出運(yùn)用混沌振子對(duì)微弱信號(hào)檢測(cè)以來(lái)，混沌振子檢測(cè)微弱信號(hào)得到了不斷的改進(jìn)和發(fā)展。王夢(mèng)蛟等基于受控Chen’s系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了淹沒(méi)在強(qiáng)噪聲背景中的微弱諧波信號(hào)檢測(cè)[5]。賴志慧等分析了級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)Duffing系統(tǒng)的隨機(jī)共振特性，證明了級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)Duffing系統(tǒng)有更好的隨機(jī)共振輸出，可以實(shí)現(xiàn)含噪方波信號(hào)的恢復(fù)[6]。王曉東等利用Duffing振子和Van der Pol振子耦合，提出一種Duffing振子阻尼力耦合方法[7]。李國(guó)正等結(jié)合遺傳算法求解系統(tǒng)輸出方差的極值得到待測(cè)信號(hào)頻率[8]。黃繼堯等的研究實(shí)現(xiàn)了提取未知多頻率微弱信號(hào)各信號(hào)分量的頻率參數(shù)[9]。行鴻彥等結(jié)合互補(bǔ)集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法和變尺度Duffing振子，提出了一種新的微弱信號(hào)檢測(cè)方法[10]。但是混沌理論的大部分研究處于實(shí)驗(yàn)仿真階段，提高檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)噪聲的免疫力還有待進(jìn)一步研究[11-12]。

本文通過(guò)改變常規(guī)Duffing振子的非線性項(xiàng)和耦合系數(shù)，提出了一種新的混沌振子檢測(cè)模型，研究了基于改進(jìn)型雙耦合Duffing振子系統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法。利用雙耦合Duffing混沌振子對(duì)微弱信號(hào)的敏感性和對(duì)強(qiáng)噪聲信號(hào)的免疫力，以及2個(gè)振子之間相互控制的過(guò)程，提高系統(tǒng)臨界閾值的準(zhǔn)確性，為微弱信號(hào)檢測(cè)提供一種新的途徑。通過(guò)對(duì)雙耦合Duffing振子系統(tǒng)的建模、動(dòng)力學(xué)分析以及微弱信號(hào)檢測(cè)研究，同時(shí)結(jié)合EEMD分解方法對(duì)待測(cè)信號(hào)分解，仿真結(jié)果表明在檢測(cè)淹沒(méi)在強(qiáng)噪聲背景下的微弱信號(hào)時(shí)可以避免相位變化不穩(wěn)定問(wèn)題，解決了檢測(cè)多周期分量的含噪聲微弱信號(hào)時(shí)出現(xiàn)的混頻問(wèn)題。 最后對(duì)建立的模型和提出的方法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)和比較。

1 集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EEMD)方法

研究表明雖然Duffing系統(tǒng)對(duì)噪聲具有良好的免疫性，但是只有在噪聲功率比較低的情況下檢測(cè)微弱信號(hào)才有較好的效果，并且檢測(cè)范圍受到信噪比門(mén)限的限制，因此利用Duffing系統(tǒng)檢測(cè)強(qiáng)噪聲背景下的微弱信號(hào)時(shí)性能比較差。同時(shí)Duffing系統(tǒng)僅能檢測(cè)單一同頻的周期信號(hào)，而實(shí)際工程信號(hào)通常含有多個(gè)周期成分[13-14]，將含噪聲信號(hào)輸入Duffing系統(tǒng)前，對(duì)信號(hào)進(jìn)行EEMD分解處理，將含噪聲信號(hào)分成多個(gè)周期的IMF分量，再經(jīng)過(guò)Duffing系統(tǒng)將其檢測(cè)出來(lái)。研究發(fā)現(xiàn)EEMD分解可以規(guī)避模態(tài)混疊問(wèn)題。

1.1 EEMD分解的原理

EEMD方法是對(duì)EMD方法的改進(jìn)，解決了EMD方法模態(tài)混疊和誤差大問(wèn)題。在EEMD分解中，由于輔助白噪聲和集合平均次數(shù)是影響EEMD分解的2個(gè)重要參數(shù)，則對(duì)添加白噪聲方法改進(jìn)得到新的EEMD方法，其主要思路是：在s(t)中加入絕對(duì)值相等的正負(fù)2組白噪聲+k·σx·n(t)和-k·σx·n(t)構(gòu)成如下信噪混合體S1(t)和S2(t)，其表達(dá)式分別為：

S1(t)=s(t)+k·σx·n(t)

(1)

S2(t)=s(t)-k·σx·n(t)

(2)

式中：n(t)為歸一化白噪聲；σx為信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差；k為比例系數(shù)；s(t)為待測(cè)信號(hào)。

將S1(t)和S2(t)進(jìn)行EMD分解成IMF組合，并每次加入不同的白噪聲得到：

(3)

(4)

式中：S1,i(t)和S2,i(t)為加不同白噪聲后經(jīng)EMD分解后的信號(hào)組合；c1,i,j和c2,i,j為加入不同白噪聲后經(jīng)EMD分解的IMF分量；r1,i,m和r2,i,m為分解后的殘余分量。

對(duì)式(3)和式(4)進(jìn)行N次迭代后，各IMF和殘余分量的平均值為

(5)

式中：cj為IMF分量平均值

(6)

式中：rm為殘余分量平均值。

最后分解結(jié)果為

(7)

由于白噪聲的零均值特性，將這些多次分解的結(jié)果取平均值后，噪聲最終被最大限度的抵消而達(dá)到消除的效果，總體平均值可以作為真實(shí)信號(hào)。

1.2 EEMD與EMD方法檢測(cè)性能的對(duì)比分析

EMD分解是建立在傅里葉變換之上，由于其高效自適應(yīng)分解非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的能力，EMD降噪方法得到廣泛的應(yīng)用。但是，由于EMD分解存在模態(tài)混疊和誤差較大等問(wèn)題，嚴(yán)重影響檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此本文利用其改進(jìn)型EEMD方法進(jìn)行弱信號(hào)檢測(cè)，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)將EEMD與EMD方法檢測(cè)性能進(jìn)行對(duì)比分析。取待測(cè)信號(hào)如下

s(t)=sin(0.2πt)+0.5sin(0.4πt)+0.15sin(0.8πt)+sin(πt)+n(t)

(8)

對(duì)待測(cè)信號(hào)s(t)進(jìn)行EMD分解如圖1(a)所示，其中第一個(gè)信號(hào)Signal為待測(cè)信號(hào)s(t)時(shí)域圖；對(duì)待測(cè)信號(hào)s(t)進(jìn)行EEMD分解，如圖1(b)所示。由圖1(a)可以發(fā)現(xiàn)，第二個(gè)低頻正弦分量IMF2受到IMF1影響，在IMF2分量中出現(xiàn)IMF1分量，2個(gè)IMF分量出現(xiàn)模態(tài)混頻現(xiàn)象，IMF1和IMF2不能代表相應(yīng)的檢測(cè)信號(hào)分量，凸顯EMD分解方法的不足。

圖1(b)中，EEMD分解方法克服了EMD分解方法的不足，將含噪聲的s(t)的4個(gè)分量成功分解出來(lái)，保持了原信號(hào)的真實(shí)性，為之后的Duffing振子微弱信號(hào)檢測(cè)做好降噪和信號(hào)分解準(zhǔn)備。

2 Duffing振子檢測(cè)原理

由于Duffing系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特征，如振蕩、同宿軌道、分岔、混沌等，本文利用Duffing振子中非線性恢復(fù)力對(duì)振子動(dòng)力學(xué)特性的影響，改變常規(guī)Duffing振子的非線性恢復(fù)力項(xiàng)的次數(shù)構(gòu)造出改進(jìn)的方程，其數(shù)學(xué)模型如下

(9)

式中：k為阻尼系數(shù)；ax3+bx7為非線性恢復(fù)力,a和b為非線性恢復(fù)力系數(shù)；fcos(wt+θ)為周期策動(dòng)力，f為周期策動(dòng)力幅值，w為周期策動(dòng)力頻率，θ為初始相位。

(a)EMD分解結(jié)果

(b)EEMD分解結(jié)果圖1 EEMD與EMD分解結(jié)果對(duì)比

(10)

對(duì)改進(jìn)的Duffing振子進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，取k=0.5，a=1，b=1，w=1，θ=0，f是可變參數(shù)，隨著它的取值從小到大的變化，系統(tǒng)經(jīng)歷不同的狀態(tài)。當(dāng)f=0，系統(tǒng)的相平面鞍點(diǎn)為(0，0)，焦點(diǎn)為(1，0)和(-1，0)，相軌跡最后停在兩焦點(diǎn)之一。當(dāng)f≠0，由于策動(dòng)力的擾動(dòng)，系統(tǒng)具有了復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算和仿真結(jié)果表明，當(dāng)f取不同的數(shù)值，Duffing系統(tǒng)出現(xiàn)周期振蕩、同宿軌道、倍周期分岔、混沌狀態(tài)、臨界狀態(tài)和大尺度周期狀態(tài)。由Melnikov函數(shù)可計(jì)算出系統(tǒng)由混沌狀態(tài)變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài)的臨界閾值為fd，當(dāng)f逐漸增大接近閾值fd時(shí)，系統(tǒng)臨近大尺度周期狀態(tài)，ffd時(shí)，系統(tǒng)立刻由混沌狀態(tài)進(jìn)入大尺度周期狀態(tài)，相軌跡如圖3所示。

圖2 混沌狀態(tài)相軌跡

圖3 大尺度周期狀態(tài)相軌跡

當(dāng)向Duffing系統(tǒng)中加入外界擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)，混沌檢測(cè)系統(tǒng)為

(11)

式中：s(t)為待測(cè)信號(hào)s(t)=rcos(w1t)+n(t)；n(t)為高斯白噪聲。

設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)f≤fd，此時(shí)系統(tǒng)剛好處于臨界閾值狀態(tài)，當(dāng)加入與系統(tǒng)周期策動(dòng)力同頻率同相位的微弱周期信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)總周期策動(dòng)力幅值fd+r將大于閾值fd，系統(tǒng)將轉(zhuǎn)化為大尺度周期狀態(tài)，從而檢測(cè)出微弱信號(hào)。當(dāng)待測(cè)信號(hào)不存在與系統(tǒng)同頻同相的信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)依然為混沌狀態(tài)。從而，通過(guò)判斷系統(tǒng)是否轉(zhuǎn)化為大尺度周期狀態(tài)就可以判斷待測(cè)信號(hào)中是否存在微弱周期信號(hào)。

3 雙耦合Duffing振子

3.1 模型構(gòu)建

單Duffing振子在檢測(cè)淹沒(méi)在強(qiáng)噪聲背景下的微弱信號(hào)時(shí)，常會(huì)發(fā)生相軌跡變化不穩(wěn)定、噪聲影響檢測(cè)結(jié)果等問(wèn)題，導(dǎo)致過(guò)小的信號(hào)不能準(zhǔn)確的檢測(cè)出來(lái)。為了避免單Duffing振子的不足，本文提出了一種改進(jìn)型雙耦合Duffing振子檢測(cè)模型來(lái)提高檢測(cè)含噪聲微弱信號(hào)的準(zhǔn)確性。

對(duì)Duffing混沌振子檢測(cè)系統(tǒng)(11)采用阻尼項(xiàng)進(jìn)行耦合，建立如下的數(shù)學(xué)模型

(12)

式中：ax3-bx7與au3+bu7為非線性恢復(fù)力，a和b為非線性恢復(fù)力系數(shù),通常取值為1；c(x-u)與c(u-x)為耦合振子的線性耦合項(xiàng)，c為耦合系數(shù)；fcos(wt)為周期策動(dòng)力；s(t)=rcos(w1t)+n(t)為待測(cè)信號(hào),n(t)為噪聲信號(hào)。

實(shí)際工程信號(hào)檢測(cè)中，要將某一頻率成分的信號(hào)檢測(cè)出來(lái)，就要將策動(dòng)力頻率w設(shè)置為待測(cè)信號(hào)的頻率w1，但待測(cè)信號(hào)頻率w1值往往很難確定。為了滿足工程需要和減少計(jì)算量，對(duì)時(shí)間t進(jìn)行尺度變換，假設(shè)t=wτ，則有

(13)

(14)

同理有

(15)

代入方程(12)整理得

(16)

此時(shí)，方程(16)的檢測(cè)特性和方程(12)是一致的，但是系統(tǒng)的策動(dòng)力頻率由1 rad/s擴(kuò)展到wrad/s，適應(yīng)了外界不同頻率的周期信號(hào)，實(shí)現(xiàn)雙耦合Duffing系統(tǒng)自適應(yīng)對(duì)工程中不同頻率微弱信號(hào)的檢測(cè)。

3.2 模型分析

雙耦合Duffing振子系統(tǒng)中的耦合系數(shù)c值越大，說(shuō)明系統(tǒng)的耦合度越高，不同振子間的同步性越強(qiáng)。當(dāng)c=0時(shí)，雙振子間的耦合作用消失，雙Duffing振子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為與單Duffing振子系統(tǒng)的完全相同。當(dāng)c≠0時(shí)，系統(tǒng)的變量將在耦合作用的影響下隨時(shí)間逐步達(dá)到同步。為進(jìn)一步說(shuō)明耦合系數(shù)對(duì)雙耦合Duffing振子系統(tǒng)抗噪性及穩(wěn)定性的影響，研究中引入標(biāo)準(zhǔn)差概念(如式(17))來(lái)計(jì)算不同噪聲背景下的不同條件下的標(biāo)準(zhǔn)差，如表1所示。

(17)

表1 雙耦合Duffing振子系統(tǒng)在不同噪聲 下不同c對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差δ

由表1可知，隨著噪聲強(qiáng)度σ2的增大，不同耦合系數(shù)c下的系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)差δ也逐漸變大，則表明對(duì)于雙耦合Duffing振子系統(tǒng)，標(biāo)準(zhǔn)差越小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越強(qiáng)。從表1研究中可知，在耦合系數(shù)(c=2)時(shí)雙耦合檢測(cè)系統(tǒng)的性能最優(yōu)。

3.3 仿真實(shí)驗(yàn)研究

為驗(yàn)證結(jié)合EEMD方法的雙耦合Duffing振子系統(tǒng)的檢測(cè)性能，選擇待測(cè)信號(hào)s(t)為

s(t)=0.000 1cos(5t+0.1π)+0.000 3 cos(40t+0.2π)+

0.000 6 cos(100t+1.5π)+n(t)

(18)

由于實(shí)際工程中信號(hào)的復(fù)雜性，因此在輸入信號(hào)s(t)中加入功率為0.1的高斯白噪聲。對(duì)混合多頻信號(hào)s(t)進(jìn)行EEMD分解后得到8個(gè)固有模態(tài)函數(shù)，除去噪聲分量和殘余分量得到3個(gè)具有實(shí)際意義的IMF分量，如圖4所示。從圖4中看出，IMF1～I(xiàn)MF3分別是從高頻到低頻排列的3個(gè)正弦信號(hào)。經(jīng)EEMD分解后，混合信號(hào)s(t)分解為尺度不同的信號(hào)，雖然EEMD分解規(guī)避了模態(tài)混疊和去除了一定的噪聲，但是從圖中發(fā)現(xiàn)IMF分量中仍含有混雜噪聲，分解信號(hào)IMF1～I(xiàn)MF3的信號(hào)參數(shù)很難確定，則將IMF1～I(xiàn)MF3分別輸入到Duffing振子檢測(cè)系統(tǒng)中，通過(guò)混沌檢測(cè)方法檢測(cè)出各IMF分量參數(shù)。

圖4 EEMD分解的信號(hào)

設(shè)置式(12)中的雙耦合Duffing系統(tǒng)參數(shù)，阻尼比k=0.5，初始條件為x(0)=u(0)=0,f=0.677,高斯白噪聲功率為0.1，使用四階Runge-Kutta法進(jìn)行求解，將IMF1～I(xiàn)MF3分別作為外部激勵(lì)信號(hào)輸入到雙耦合Duffing振子系統(tǒng)中，得到如圖5所示的相軌跡圖。

(a)IMF1輸入系統(tǒng)后相軌跡圖

(b)IMF2輸入系統(tǒng)后相軌跡圖

(c)IMF3輸入系統(tǒng)后相軌跡圖圖5 各IMF分量分別輸入系統(tǒng)后的相軌跡圖

由圖5可知，分別輸入IMF1～I(xiàn)MF3后雙耦合系統(tǒng)發(fā)生了轉(zhuǎn)變，證明了微弱周期信號(hào)的存在。由Melnikov函數(shù)可計(jì)算出輸入IMF1～I(xiàn)MF3后分別對(duì)應(yīng)的臨界閾值fd為0.676 4、0.676 7、0.676 9，而不加入待測(cè)信號(hào)時(shí)的臨界閾值fd=0.677，從而根據(jù)Duffing系統(tǒng)的檢測(cè)原理可知待測(cè)信號(hào)的幅值為閾值之差，計(jì)算得到IMF1幅值為0.006，IMF2幅值為0.000 3，IMF3幅值為0.000 1。仿真實(shí)驗(yàn)表明，檢測(cè)結(jié)果和實(shí)際的輸入信號(hào)一致，驗(yàn)證了結(jié)合EEMD分解和改進(jìn)雙耦合Duffing振子微弱信號(hào)檢測(cè)方法的可行性及系統(tǒng)的抗噪性。

4 結(jié)論

本文提出了一種將EEMD和變尺度雙耦合Duffing振子結(jié)合的微弱信號(hào)檢測(cè)方法。利用EEMD將淹沒(méi)在噪聲背景下的多周期待測(cè)信號(hào)分解為多個(gè)不同的固有模態(tài)函數(shù),通過(guò)時(shí)間尺度變換和耦合同步構(gòu)建了雙耦合Duffing振子，實(shí)現(xiàn)了對(duì)復(fù)雜未知頻率信號(hào)的檢測(cè)。結(jié)果表明，該方法檢測(cè)微弱信號(hào)時(shí)抗噪性強(qiáng)、檢測(cè)靈敏，克服了常規(guī)Duffing振子僅能檢測(cè)低噪聲背景信號(hào)的缺點(diǎn)，對(duì)實(shí)現(xiàn)實(shí)際工程中的微弱信號(hào)檢測(cè)提供新的方法。