丁 聰，丁根宏

(河海大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南京 211100)

0 引言

本文主要研究5維三次-五次非線性薛定諤方程：

iut+Δu=|u|2u+ε|u|4u

(1)

其中u:R5×R→C,ε=1.非線性薛定諤方程是量子力學(xué)和非線性光學(xué)中的重要模型，主要用于模擬波色-愛(ài)因斯坦凝聚和電磁波在非線性介質(zhì)中的傳播.方程(1)有兩個(gè)重要的守恒量.

質(zhì)量為:

(2)

能量為:

(3)

過(guò)去三十年中，人們從理論和數(shù)值上對(duì)非線性薛定諤方程的解做了大量的研究工作.其中理論上，主要研究工作圍繞非線性薛定諤方程的長(zhǎng)時(shí)間行為，其中包括J.Bourgain[1]，J.Colliander[2]，C.E.Kenig 和 F.Merle[3,4]等.另一方面，在非線性薛定諤方程的數(shù)值模擬上，很多專(zhuān)家做了重要的研究工作，例如Q S Chang等[5]對(duì)于三種非線性薛定諤方程模型，給出了八種差分格式并比較了它們的優(yōu)缺點(diǎn)，T R Taha等[6]采用有限差分法和有限傅里葉變化法近似非線性薛定諤方程，比較了各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，為后續(xù)研究非線性薛定諤方程解的行為提供了參考.繼差分法后，有限元法和譜方法也相繼被用于薛定諤方程解的行為分析中[7,8]，但這些方法無(wú)法運(yùn)用于高維非徑向方程解的行為分析中.近年來(lái)，采用深度學(xué)習(xí)的方法求解偏微分方程的解，尤其對(duì)于高維偏微分方程求解的應(yīng)用引起廣泛關(guān)注[9].

本文主要采用有限差分等數(shù)值方法研究5維三次-五次非線性薛定諤方程(1)在徑向情形下解的Sobolev范數(shù)H2的有界性.此方程是2維三次-五次非線性薛定諤方程在高維的非聚焦形式，參看Cheng X[10]關(guān)于2維情形的重要研究工作.對(duì)于有界臨界范數(shù)假設(shè)，在3維三次散焦非線性薛定諤方程情形下，解的Sobolev范數(shù)H1/2有界性已有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撟C明[7]，但對(duì)于5維三次-五次散焦非線性薛定諤方程情形下解的Sobolev范數(shù)H2有界性假設(shè)的理論證明還未解決.

本文借鑒文獻(xiàn)[11]，嘗試采用數(shù)值的方法研究其解的行為.通過(guò)對(duì)幾個(gè)重要的初始函數(shù)：高斯型函數(shù)、環(huán)型函數(shù)、振蕩高斯型函數(shù)進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用有限差分方法，參考文獻(xiàn)[12],觀察方程解的‖Δu‖L2和‖Δu‖L14范數(shù)值，結(jié)合數(shù)值模擬的結(jié)果，根據(jù)逼近原理，得到解的H2范數(shù)隨著時(shí)間的推移而增加，但是在一定時(shí)間后解的H2范數(shù)值趨于穩(wěn)定，這個(gè)值高于t=0時(shí)解的H2范數(shù)值.

1 數(shù)值方法

1.1 時(shí)間離散

本文研究方程(1)的徑向?qū)ΨQ(chēng)形式:

(4)

此情況下H2受控制于‖Δu‖L2.本文取r∈(0,Rmax)，邊界條件是：

ur|r=0=0,u(r=Rmax)=0

(5)

空間離散形式，其中h=Rmax/J：

0=r0<…

(6)

時(shí)間離散形式，其中τ=T/N：

0=t0<…

(7)

對(duì)于式(4)本文采用如下的差分形式：

(8)

其中：

離散邊界條件：

u-1=u1,u-2=u2

uJ+1=0,uJ+2=0

對(duì)于兩個(gè)守恒量，其離散形式如下：

質(zhì)量

(9)

能量

(10)

1.2 差分格式收斂性分析

在L2空間內(nèi)，定義內(nèi)積：

其離散形式如下：

定理1設(shè)方程(4)、(5)有解u(r,t)，且解v(r,t)∈C5×C1，則差分格式(8)的解收斂到方程(4)、(5)的解，且收斂階數(shù)為O(τ+h3).

(11)

(12)

兩邊取模開(kāi)方，又由v(r,t)∈C5×C1，結(jié)合柯西不等式得：

‖en+1‖2-‖en‖2≤Cτ‖Ern‖2+

Cτ(‖en+1‖2+‖en‖2)

整理得：

(1-Cτ)(‖en+1‖2-‖en‖2)≤Cτ‖Ern‖2+2Cτ‖en‖2

若τ取的足夠小，使得Cτ?1，則有1-Cτ>0，在對(duì)于式(15)兩邊關(guān)于n在1到N-1上求和得:

(1-Cτ)‖eN‖2≤(1-Cτ)‖e0‖2+

結(jié)合離散Gronwall不等式，對(duì)上式處理可得：

‖en‖2≤CO(τ+h3)

證畢.

1.3 數(shù)值驗(yàn)證

在無(wú)量綱情形下，本文通過(guò)計(jì)算模擬定初始條件下，對(duì)于不同空間離散的情形，定時(shí)刻|u|的尾部情況和在定初始條件下兩個(gè)守恒量的相對(duì)誤差以達(dá)到數(shù)值驗(yàn)證本文采用的差分格式的穩(wěn)定性的目的.圖1顯示：在固定時(shí)間分辨率下，對(duì)于初始值u0=r2e(-r2)，|u|的尾部情形，觀察到在不同空間離散情況下，尾部圖像點(diǎn)集重合度較高，但在區(qū)間[9.2,10]上有所分歧.經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)當(dāng)Rmax=200,N=16 000和Rmax=100,N=8 000時(shí)，尾部值曲線形態(tài)相對(duì)較差.另兩種空間離散情況，尾部曲線形態(tài)光滑，效果較好.

圖1 對(duì)于u0=e(-r2)在t=0.01時(shí)，|u|的尾部變化

再來(lái)驗(yàn)證守恒量數(shù)值的穩(wěn)定性，表1顯示了在三種固定初始條件，不同的時(shí)空分辨率兩個(gè)守恒量的相對(duì)誤差.發(fā)現(xiàn)守恒量誤差處于E-05～E-07量級(jí)之間，鑒于本文模擬對(duì)象的數(shù)值量級(jí)在E+00～E+02量級(jí)之間，且只是驗(yàn)證其有界性并無(wú)太高精度要求，故算法滿(mǎn)足本文計(jì)算需求.上述兩種方法數(shù)值驗(yàn)證了本文采用的差分格式的穩(wěn)定性.比較不同時(shí)空分辨率下的數(shù)值結(jié)果，決定下文數(shù)值模擬統(tǒng)一在Rmax=200,N=10 000情況下進(jìn)行.至此本文分別使用理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文采用的差分格式的收斂性和穩(wěn)定性.

表1 在不同模擬下的守恒量的相對(duì)誤差

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

2.1 初始條件

本文考慮以下幾類(lèi)初始條件：

高斯型函數(shù)：

u0(r)=Ae(-r2)

環(huán)型函數(shù)：

u0=Ae(-α·i·r2)e(-r2)

震蕩高斯型函數(shù):

u0=Ar2*e(-r2)

本文主要目的是采用數(shù)值的方法驗(yàn)證解的Sobolev范數(shù)H2的有界性，則A值無(wú)需過(guò)大，取A=1,α=1.

2.2 數(shù)值觀察說(shuō)明

觀察圖像是否變得漸近.當(dāng)模擬運(yùn)行足夠長(zhǎng)的時(shí)間，對(duì)于臨界范數(shù)H2，由于數(shù)值上更便于觀察‖Δu‖L2，且：

‖u‖H2≤C‖Δu‖L2

‖Δu‖L2控制H2，若‖Δu‖L2有界就保證H2范數(shù)的有界性，于是觀察‖Δu‖L2的數(shù)值情況.實(shí)驗(yàn)?zāi)M‖Δu‖L2，如果其有界，根據(jù)文獻(xiàn)[13,14]中的基礎(chǔ)假設(shè)，若標(biāo)度不變，范數(shù)在時(shí)間上是全局有界.

2.3 結(jié)果展示和分析

本文共模擬了三種初始條件.其中，圖2(a)、(b)、(c)展示了高斯型初始條件u0(r)=e(-r2)隨著時(shí)間t的數(shù)值演變過(guò)程，|u|是單調(diào)遞減的，并隨著時(shí)間震蕩.圖2(d)、(e)、(f)展示了震蕩高斯型初始條件u0(r)=e(-ir2)e(-r2)演變過(guò)程，形態(tài)同高斯型相似，震蕩并最終衰減.

(a)u0(r)=e(-r2)在t=0.01時(shí)

圖3(a)、(b)、(c)展示了環(huán)形初始條件u0(r)=r2e(-r2)，最初|u|聚焦于原點(diǎn)，但快速松弛，然后同高斯型初始條件相似，開(kāi)始震蕩衰減.對(duì)于三類(lèi)初始條件，解都保持光滑，并且在振幅上單調(diào)衰減.圖3(d)、(e)、(f)在三類(lèi)初始狀態(tài)中，‖u‖L6值最終衰減到0，表明勢(shì)能衰減到0，能量集中于動(dòng)能，符合預(yù)期.

(a)u0(r)=r2e(-r2)在t=0.01時(shí)

進(jìn)一步定量評(píng)估散射，在圖4(a)、(b)、(c)中，展示了‖Δu‖L2的變化，其值迅速飽和，且飽和值大于初始值，則受其控制的H2范數(shù)有界.環(huán)型和震蕩高斯型初始值不同于高斯型的單調(diào)增，它們?cè)诖筅厔?shì)上都是先減小后增大走勢(shì)同他們的‖u‖L6值走勢(shì)相反.

在圖4(d)、(e)、(f)中繪制了一段時(shí)間下L14范數(shù)圖像，其在一定時(shí)間內(nèi)量級(jí)變化不大，然后快速漸近，根據(jù)Strichartz估計(jì)，則H2范數(shù)有界且快速漸近.通過(guò)以上模擬，得出H2范數(shù)值在一段時(shí)間內(nèi)有界，且H2范數(shù)值隨著時(shí)間推移快速增加到一個(gè)略大于t=0時(shí)的值后保持不變.

(a)u0(r)=e(-r2)時(shí)‖Δu‖L2在時(shí)間上的變化

3 結(jié)論

本文首次采用數(shù)值的方法證明三次-五次非線性薛定諤方程解的H2范數(shù)有界性.通過(guò)構(gòu)造收斂的差分格式，借用Matlab進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，模擬5維三次-五次非線性薛定諤方程解的‖Δu‖L2范數(shù)變化和‖u‖L14范數(shù)的漸進(jìn)性，逼近解的H2范數(shù).從數(shù)值結(jié)果來(lái)看，各項(xiàng)模擬達(dá)到預(yù)期，數(shù)值上驗(yàn)證了解的H2范數(shù)的有界性假設(shè).接下來(lái)的工作將完善理論證明部分，在理論上證明H2范數(shù)的有界性假設(shè).