佐洛塔廖夫?qū)Υ鷶?shù)數(shù)論的貢獻(xiàn)

張文君 王淑紅

19世紀(jì)以來，代數(shù)數(shù)論得到了蓬勃發(fā)展，樹立了數(shù)學(xué)史上的一座座豐碑。在其產(chǎn)生和演化的過程中，涌現(xiàn)出大批數(shù)學(xué)英雄人物。在這些英雄人物中，有一位卻鮮為人所提及。他英年早逝，卻在數(shù)學(xué)的多個領(lǐng)域留下厚重的足印。這就是圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的伊戈爾·伊萬諾維奇·佐洛塔廖夫（Egor Ivanovich Zolotarev， 1847—1878）。

短暫而奮發(fā)圖強(qiáng)的一生

佐洛塔廖夫1847年3月31日出生于圣彼得堡的一個中產(chǎn)階級家庭，其父伊萬·佐洛塔廖夫（Ivan Zolotarev）是鐘表店老板，其母阿加菲婭·佐洛塔廖夫（Agafya Zolotarev）是一位家庭主婦。

1857年，佐洛塔廖夫進(jìn)入圣彼得堡第五文法學(xué)校（The Fifth St Petersburg Grammar School）學(xué)習(xí)。這所學(xué)校以數(shù)學(xué)和自然科學(xué)為重心，數(shù)學(xué)出身的校長特別注重選拔優(yōu)秀的數(shù)學(xué)、物理教師，甚至還親自教授數(shù)學(xué)課程。他曾寫道：“在每一次算術(shù)運算和代數(shù)量的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們將被安排盡可能多的任務(wù)，大部分是實際可操作的，并進(jìn)一步考察盡可能廣泛的問題[1]?！眱?yōu)秀的老師使佐洛塔廖夫接受了豐富的數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)了獨立思考的能力，再加上自己具有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)天賦，使他在學(xué)生中脫穎而出。

1863年，佐洛塔廖夫以第二名的優(yōu)異成績畢業(yè)，同年進(jìn)入圣彼得堡大學(xué)（St Petersburg University），因為年紀(jì)太小只能當(dāng)旁聽生。1864年，他正式被圣彼得堡大學(xué)物理和數(shù)學(xué)學(xué)院（Faculty of Physics and Mathematics）錄取。在此期間，他聆聽了切比雪夫（P. L. Chebyshev， 1821—1894）和科爾金（A. Korkin， 1837—1908）的課，兩位老師精彩的課程以及提出的建議幫助他迅速提高，后來他與他們有多方面合作。此外，他的老師還有索莫夫（I. Somov， 1815—1876）等人，佐洛塔廖夫與他們建立起親密的科學(xué)友誼。1860年代是俄羅斯綜合國力的全盛時期，許多杰出科學(xué)家活躍于這個時代。

1867年，佐洛塔廖夫完成了大學(xué)學(xué)業(yè)，為獲得教師應(yīng)聘資格，他完成論文“關(guān)于回轉(zhuǎn)方程的積分”（About the integration of gyroscope equation）。1868年，他完成了求職論文“關(guān)于極小值的一個問題”（About one question on minima）。這篇文章很出色，展示了作者強(qiáng)大的知識儲備和較為深刻的研究成果。之后，佐洛塔廖夫開始作為無薪講師在圣彼得堡大學(xué)授課。他先是為自然科學(xué)學(xué)院（School of Natural Science）的學(xué)生講授微積分（直到1871年夏天），之后為數(shù)學(xué)系低年級學(xué)生講授積分和分析導(dǎo)論。除了中間一段短暫時期，他在擔(dān)任講師和教授期間還為數(shù)學(xué)專業(yè)的高年級學(xué)生講授高等代數(shù)。

在為學(xué)生授課的同時，佐洛塔廖夫繼續(xù)在物理和數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)習(xí)，研究三次不定方程。1869年春，22歲的他通過了碩士入學(xué)考試，師從切比雪夫。同年12月，他完成碩士論文“關(guān)于三次不定方程的解”（About the solution of the indefinite equation of the third degree）。這篇文章共62頁，是佐洛塔廖夫科研上的一次重大突破[2]。值得一提的是，當(dāng)時俄國的碩士論文水平相當(dāng)于英國或美國大學(xué)的博士學(xué)位論文水平。碩士畢業(yè)后，佐洛塔廖夫繼續(xù)在切比雪夫的指導(dǎo)下做博士論文，1873年獲得博士學(xué)位。博士論文于1874年4月28日發(fā)表，題目為“復(fù)數(shù)理論在積分學(xué)中的應(yīng)用”（Theory of complex numbers with an application to integral calculus），這篇論文討論了一系列更重要的問題，使他一躍成為當(dāng)時最杰出的數(shù)論學(xué)家之一。

其間，即1872年，佐洛塔廖夫曾出國游學(xué)，訪問了柏林。這是他第一次出國訪學(xué)。在那里他聆聽了魏爾斯特拉斯（K. T. W. Weierstrass， 1815—1897）的解析函數(shù)論課程、柯尼斯伯格（L. K？nigsberger， 1837—1921）的復(fù)變函數(shù)論課程和庫默爾（E. E. Kummer， 1810—1893）的解析幾何課程。佐洛塔廖夫覺得庫默爾講課非常有趣，會認(rèn)真聽其課上的每一句話。佐洛塔廖夫后來在代數(shù)數(shù)論方面的成果也得益于與庫默爾的交流。

1876年夏，佐洛塔廖夫再次出國訪學(xué)，這次去的是巴黎。在巴黎期間，他與埃爾米特（C. Hermite， 1822—1901）進(jìn)行了許多討論。埃爾米特對他和科爾金合作的二次型算術(shù)理論方面的工作非常感興趣，并給予高度評價。佐洛塔廖夫遂寫信給科爾金，在信中他談到了國外訪學(xué)的感受，對德國和法國數(shù)學(xué)家的印象，并討論一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

1876年冬季學(xué)期的開始，佐洛塔廖夫被任命為圣彼得堡大學(xué)物理和數(shù)學(xué)學(xué)院的教授。索莫夫去世后，佐洛塔廖夫是他的繼任者，成為圣彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院的副院士。該院的成員中包括許多法國和德國數(shù)學(xué)家，從一個側(cè)面說明佐洛塔廖夫在俄國和歐洲受到了廣泛的贊賞。

1878年7月7日，正值暑假，佐洛塔廖夫在去普希金探親的途中，意外跌倒在一輛車下，因救治無效，于7月19日不幸去世。

在多個數(shù)學(xué)領(lǐng)域建立功勛

雖然佐洛塔廖夫因意外離世，其科學(xué)活動僅僅持續(xù)了10多年，但他在代數(shù)數(shù)論、逼近論、二次型和橢圓積分等方面做出了奠基性工作。

佐洛塔廖夫研究了代數(shù)數(shù)域中的整數(shù)環(huán)，給出了這類整數(shù)環(huán)的可除性理論，發(fā)展了庫默爾的思想。1878年他在《數(shù)學(xué)年刊》（Mathematische Annalen）上發(fā)表的論文“關(guān)于復(fù)數(shù)”（On complex numbers），主要探討了具有整系數(shù)的函數(shù)，證明了在奇異情況下的定理，還包含一個基本引理的證明，該引理是適用于非奇異和奇異情形的可除性理論的基礎(chǔ)。1880年在《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》（Journal de Mathématiques Pures et Appliquées）上發(fā)表的論文“關(guān)于復(fù)數(shù)理論”（On the theory of complex numbers），其中包含了可除性理論的一般構(gòu)造方法。

佐洛塔廖夫于1874年在《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了文章“關(guān)于切比雪夫先生的積分方法”（Sur la méthode dintégration de M.Tchebichef）。這篇文章強(qiáng)調(diào)了橢圓函數(shù)和復(fù)變函數(shù)之間的關(guān)系，將復(fù)整數(shù)理論應(yīng)用于橢圓微分的積分。阿貝爾已經(jīng)證明了某些橢圓微分可以用對數(shù)積分，但他的方法幾乎沒有實際應(yīng)用價值。佐洛塔廖夫提供了更有效的解決方案。

埃爾米特提出了求含有n個實系數(shù)變量的二次型最小值的問題。佐洛塔廖夫與科爾金一起研究，他們能分別給出含有4個變量和5個變量二次型的最小值。

佐洛塔廖夫在逼近論中提出了4個問題，并都進(jìn)行了解答，這些成果主要出現(xiàn)在1877年的《數(shù)學(xué)年刊》上。他研究的前兩個問題，試圖將多項式p（x）上的max{p（x）：-1≤x≤1}最小化，其中多項式p（x）的系數(shù)滿足給定條件。第三和第四個問題是關(guān)于給定區(qū)間上的有理函數(shù)的最優(yōu)逼近[3]。

佐洛塔廖夫發(fā)表論著共28篇（部）。從1870年代初一直到1877年，他的文章都發(fā)表在《數(shù)學(xué)年刊》上。從同時代人對他的評價來看，佐洛塔廖夫是一個非常善良、直率和友好的人，他對于教學(xué)持有極其認(rèn)真的態(tài)度并深受同事和學(xué)生們的愛戴。除了在圣彼得堡大學(xué)任教之外，他自1869年還在交通工程學(xué)院（School of Transportation Engineering）教授“分析力學(xué)”。他參與編寫了一些教科書，比如《分析力學(xué)教程》（Course in Analytical Mechanics）、《高等代數(shù)》（Higher Algebra）等。

抒寫代數(shù)數(shù)論壯麗華章

佐洛塔廖夫的代數(shù)數(shù)論思想來源于高斯的復(fù)整數(shù)理論和庫默爾的理想數(shù)理論。

高斯在1801年出版了《算術(shù)研究》（Disquisitiones arithmeticae），開始了互反律的研究。1832年，高斯又發(fā)表了一篇重要論文，其中出現(xiàn)了四次互反律。他為了簡潔完美地表述這一定理，使用了形如a+bi的數(shù)，將其稱為復(fù)數(shù)，這里a， b是整數(shù)且i是x2+1=0的一個根。后人為了將它與通常的復(fù)數(shù)相區(qū)分，稱之為復(fù)整數(shù)（或高斯整數(shù)）。他把形如a+bi的每一個數(shù)a都定義其范數(shù)為Nα=（a+bi）（a-bi）=a2+b2。根據(jù)范數(shù)的定義可以得到Nαβ=NαNβ。容易看出，復(fù)整數(shù)之間進(jìn)行加、減、乘運算仍是復(fù)整數(shù)。在通常的整數(shù)論中，可逆元素是±1，而在高斯的復(fù)整數(shù)論中，可逆元素卻是±1和±i。進(jìn)一步高斯又證明：只要不把4個可逆元素作為不同的因數(shù)，唯一因子分解定理對復(fù)整數(shù)也成立。通過復(fù)整數(shù)，高斯能夠給出四次互反律的一種更為簡潔的表述形式。但遺憾的是，高斯未曾發(fā)表它的證明。第一個給出這一定理的證明的人是雅可比（C. Jacobi， 1804—1851），后來，雅可比為了闡述高次互反律的特殊情形，又分別研究了具有5次、8次、12次單位根的復(fù)整數(shù)，而且把這些數(shù)分解成了素整數(shù)的乘積，規(guī)定它們也滿足自然數(shù)通常的性質(zhì)。

雖然庫默爾和佐洛塔廖夫在文章中都提到“理想因子”，但是他們本質(zhì)上主要討論的是理想因子在整數(shù)中的指數(shù)。佐洛塔廖夫發(fā)展了庫默爾的局部方法，構(gòu)造了一種完全嚴(yán)格的代數(shù)運算。同樣值得注意的是，在他的代數(shù)數(shù)構(gòu)造中，佐洛塔廖夫依賴于上述引理，該引理同時對代數(shù)數(shù)和代數(shù)函數(shù)成立，因此他的理論可以立即推廣到代數(shù)函數(shù)環(huán)上。

同時代的戴德金（J. W. R. Dedekind， 1831—1916）和克羅內(nèi)克（L. Kronecker， 1823—1891）也對庫默爾的理想數(shù)理論進(jìn)行了發(fā)展，但只有戴德金的理想論獲得了更多的傳承。佐洛塔廖夫雖然與戴德金一樣將庫默爾的理論推廣到代數(shù)數(shù)域和函數(shù)域，但他們所采用的方法是不同的[8]。戴德金將庫默爾理論推廣到代數(shù)整數(shù)環(huán)上，他的基本思想是用理想的概念取代庫默爾的理想數(shù)概念。佐洛塔廖夫也在同樣的環(huán)中做研究，但是對于有理素數(shù)p，他引入了關(guān)于p的特定概念，證明了由代數(shù)整數(shù)所表示的理想素因子的存在性，用的是指數(shù)賦值的思想。雖然戴德金和佐洛塔廖夫兩人在學(xué)術(shù)上有著相似的研究課題，但是他們沒有多少交流，通信很少。他們之間缺少溝通的原因可能正是他們的基本思想方法不同，以至于雙方覺得跟對方討論數(shù)學(xué)是徒勞的，即使如此，他們對彼此的文章還是有所了解的，比如通過佐洛塔廖夫1874年的博士論文以及其他材料，可以知道他也知道戴德金的理想論。

在傳承中獲得長久生命力

佐洛塔廖夫的代數(shù)數(shù)論思想對博列維奇（Z. I. Borevich， 1922—1955）和沙法列維奇（I. R. Shafarevich， 1923—2017）產(chǎn)生了重要的影響。博列維奇與沙法列維奇在1964年共同出版了著作《數(shù)論》（Number theory）。該書的主要內(nèi)容既有經(jīng)典理論，也有當(dāng)時的新理論，包含了許多其他書籍所沒有的重要且有意義的結(jié)果。在大多數(shù)章節(jié)末尾都有一個習(xí)題集。作者在前言中介紹了研究不定方程的主要方法，包括代數(shù)方法、幾何方法和分析方法。該書分為五章，每章都有七八節(jié)。這五章的內(nèi)容分別為同余、用可分解的型表示數(shù)、可除性理論、局部方法和分析方法。作者特別重視局部方法，其中許多內(nèi)容是對佐洛塔廖夫代數(shù)數(shù)論思想的繼承和發(fā)展。

在第三章“可除性理論”中作者概述了代數(shù)整數(shù)分解為素因子乘積的問題。本部分介紹了源于庫默爾的可除性理論。然后，作者進(jìn)一步描述了可除性理論和給定環(huán)的商環(huán)的指數(shù)之間的密切聯(lián)系，闡述了指數(shù)的性質(zhì)并證明了指數(shù)在環(huán)的最終擴(kuò)張上保持不變的定理，延續(xù)了佐洛塔廖夫的指數(shù)賦值思想。在這一部分的附錄中，作者給出了構(gòu)造因子和計算因子類數(shù)的方法，并對費馬大定理和其他理論進(jìn)行了評述，其中有佐洛塔廖夫的可除性理論。在第四章“局部方法”中，作者專門介紹了佐洛塔廖夫的方法，主要內(nèi)容是研究局部環(huán)和這些環(huán)上解析函數(shù)的性質(zhì)。

《數(shù)論》自出版以來，就在數(shù)學(xué)界被廣泛傳播，1966年分別被譯成德文和英文出版，1967年又被譯為法文出版，俄文的第二版與第三版分別出現(xiàn)在1972年和1984年，法文版于1992年出了第二版。據(jù)谷歌學(xué)術(shù)不完全統(tǒng)計，截止到2021年1月，各個版本的《數(shù)論》被引用總量超過2200余次，其中英文版本的被引用量最高，高達(dá)2100余次，法文、德文、俄文版本的引用量也都超過10余次。該書不僅僅為人們廣泛閱讀，而且得到了大家的一致好評和高度贊譽。數(shù)學(xué)家尼文（I. Niven， 1915—1999）這樣評價《數(shù)論》英文版：“這是一本非常獨特并且富有價值的書，因為它很少與其他目前可用的相關(guān)英語文本重疊。該書神韻與深度并存，它在數(shù)論方面提供了一種高水平教材[9]?！睌?shù)學(xué)家莫德爾（L. J. Mordell， 1888—1972）對《數(shù)論》評價道：“這本書是我有幸讀過的最迷人的書之一，它非常具有啟發(fā)性，每一個對數(shù)論有興趣的人都應(yīng)該得到這本有意義的書[10]。”總之，《數(shù)論》中關(guān)于數(shù)論的內(nèi)容非常豐富，提供了一些很有價值的成果，這些成果使公眾以更容易的方式涉足這一領(lǐng)域，必將會繼續(xù)影響一批又一批的數(shù)學(xué)工作者。

佐洛塔廖夫勤奮好學(xué)，不畏艱難，勇攀科學(xué)高峰，致力于攻克重要的數(shù)學(xué)問題。他在高斯和庫默爾等人的數(shù)論思想基礎(chǔ)上，發(fā)展了庫默爾的局部方法，構(gòu)造了一種完全嚴(yán)格的代數(shù)數(shù)的運算，運用局部化和整體化的方法研究局部環(huán)和半局部環(huán)，證明了關(guān)于主理想環(huán)的結(jié)果。這一方法之后被亨澤爾（K. Hensel，1861—1941）所獨立發(fā)展。佐洛塔廖夫和亨澤爾的工作是局部代數(shù)核心思想和方法的開端。佐洛塔廖夫31歲便因意外溘然長逝，不得不說這是國際數(shù)學(xué)界的重大損失。但他給出的理論和方法仍為人們所沿用和發(fā)展，相信他卓越的數(shù)學(xué)成就將永遠(yuǎn)被人們銘記。

[本文相關(guān)工作獲國家自然科學(xué)基金項目（11871018）資助。]

[1]OConnor J J， Robertson E F. Egor Ivanovich Zolotarev. [2003-03-01].https：//mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Zolotarev/

[2]Kolmogorov A N， Yushkevich A P. Mathematics of the 19th century： geometry， analytic function theory. Boston： Birkh？user Verlag， 1992： 245-256.

[3]Bashmakova I G. Zolotarev， Egor Ivanovich. [2021-01-19]. https：// mathshistory.st-andrews.ac.uk/DSB/Zolotarev.pdf

[4]Edwards H. The background of Kummers proof of Fermats last theorem for regular primes. Archive for History of Exact Sciences， 1975，14（3）： 219-236.

[5]Goldstein C， Schappacher N， Schwermer J. The shaping of arithmetic after Gausss disquisitiones arithmeticae. New Nork： Springer， 2007： 453-462.

[6]Zolotarev E I. On the theory of complex numbers. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées， 1880， VI（3）： 51-85； 115-129； 145-167.

[7]Nalbandjan M B. The theory of elliptic functions and its applications in the works of E. I. Zolotarev. Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya， 1965（16）： 905-908.

[8]王淑紅. 環(huán)論源流. 北京： 科學(xué)出版社， 2020： 8-25.

[9]Niven I. Number theory by Z. I. Borevich， I. R. Shafarevich. American Mathematical Monthly， 1967， 74（6）： 751.

[10]Mordell L J. Thought on number theory. Journal of London Mathematical Society， 1946， 22（1）： 58–74.

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