■錢偉密 張啟兆

函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型,也是分析和解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具,函數(shù)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)基本方面:一是運(yùn)用函數(shù)的思想方法思考、解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題,二是運(yùn)用函數(shù)的思想方法描述、分析、解決實(shí)際問(wèn)題。因此,我們要重視函數(shù)應(yīng)用,提升核心素養(yǎng)。

題型1:函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法:(1)定義法,已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,當(dāng)f(a)·f(b)<0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);(2)圖像法,一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成,如函數(shù)f(x)=g(x)-h(x),可作出y=g(x)和y=h(x)的圖像,其圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)。

例1 函數(shù)f(x)=2x-1+x-5 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( )。

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

解:因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-1與y=x-5 在R上都是增函數(shù),所以f(x)=2x-1+x-5在R上單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)=2x-1+x-5最多有一個(gè)零點(diǎn)。由f(2)=22-1+2-5=-1<0,f(3)=23-1+3-5=2>0,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知f(x)=2x-1+x-5有一個(gè)零點(diǎn),且該零點(diǎn)所在區(qū)間(2,3)內(nèi)。應(yīng)選C。

評(píng)注:要理解函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系:方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有公共點(diǎn)。

題型2:函數(shù)零點(diǎn)中的新定義問(wèn)題

解:當(dāng)x∈[0,1)時(shí),[x]=0,f(x)=x;當(dāng)x∈[1,2)時(shí),[x]=1,f(x)=x-1;當(dāng)x∈[2,3)時(shí),[x]=2,f(x)=x-2;當(dāng)x∈[3,4)時(shí),[x]=3,f(x)=x-3;當(dāng)x∈[4,5)時(shí),[x]=4,f(x)=x-4,…。

作出兩個(gè)函數(shù)f(x)=x-[x](x≥0)和y=kx的圖像,如圖1所示。

評(píng)注:本題考查分類討論,數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

題型3:應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的幾個(gè)注意點(diǎn):(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù);(2)根據(jù)已知條件,確定模型中的待定系數(shù);(3)利用該模型求解實(shí)際問(wèn)題。

(1)首次服藥后,藥物有療效的時(shí)間是多長(zhǎng)?

(2)首次服藥1h后,可否立即再次服用同種規(guī)格的這種藥物?

參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3,lg3≈0.477。

圖2

評(píng)注:解答函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是審題,對(duì)于給出圖形的問(wèn)題,要文圖對(duì)照,即在閱讀文字、符號(hào)的同時(shí),一定要閱讀圖形,因?yàn)閳D形也是數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

題型4:構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

構(gòu)建二次函數(shù)模型,常用配方法、數(shù)形結(jié)合法以及分類討論的思想求解;構(gòu)建分段函數(shù)模型,應(yīng)用分段函數(shù)分段求解的方法;構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型的關(guān)鍵是理解和掌握這三種函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

例4 我國(guó)每年浪費(fèi)的糧食總量至少能養(yǎng)活2 億人,而全球有近6.9 億人處于饑餓狀態(tài)。習(xí)近平總書記對(duì)制止餐飲浪費(fèi)作出重要指示,強(qiáng)調(diào)要“堅(jiān)決制止餐飲浪費(fèi)行為,切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣,在全社會(huì)營(yíng)造浪費(fèi)可恥,節(jié)約為榮的氛圍”。在各級(jí)政府的大力倡導(dǎo)下,人們的節(jié)約意識(shí)逐步提高,浪費(fèi)的糧食以每年20%遞減,從2021年開始計(jì)算,我國(guó)最早從哪一年開始能使浪費(fèi)的糧食不超過(guò)2021年浪費(fèi)糧食總量的5%? ( )。(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301)

A.2032 B.2033

C.2034 D.2035

因?yàn)閚∈N*,故n≥2035。應(yīng)選D。

評(píng)注:求解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的一般程序:審題—建模—求模—還原—反思回顧。