張 平 彭 亮 徐文彬

計(jì)數(shù)既關(guān)涉學(xué)生對(duì)數(shù)的意義的理解，也關(guān)涉其數(shù)感的培養(yǎng)。十進(jìn)制計(jì)數(shù)用0～9 這樣十個(gè)符號(hào)加上位值制進(jìn)行自然數(shù)和小數(shù)的計(jì)數(shù)，這是人類最偉大、最奇妙的創(chuàng)造之一，也是世界范圍內(nèi)應(yīng)用最廣泛的計(jì)數(shù)方式。但就如此簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)而言，如果我們忽略了其中的某些計(jì)數(shù)規(guī)則，則極有可能會(huì)造成一些邏輯上的混淆。譬如，有人認(rèn)為500 的計(jì)數(shù)單位是“百”，1.23 的計(jì)數(shù)單位是“0.01”（百分之一）。正因?yàn)橛腥绱恕袄斫狻?，在小?shù)教學(xué)中遇到“請(qǐng)將1.23改寫成用0.001（千分之一）作單位的數(shù)”的問題時(shí)，很多人會(huì)認(rèn)為，其結(jié)果應(yīng)該是“1.230”。其實(shí)，這些錯(cuò)誤都源于對(duì)“基本計(jì)數(shù)單位”和“最小計(jì)數(shù)單位”的混淆。據(jù)此，我們需要從測(cè)量的視角來深入認(rèn)識(shí)和理解小數(shù)的計(jì)數(shù)和計(jì)數(shù)單位，以期幫助學(xué)生深入理解小數(shù)的意義，進(jìn)而培養(yǎng)其數(shù)感。

一、測(cè)量的理解

測(cè)量問題可能是人類最早的數(shù)學(xué)問題。所謂測(cè)量，是按照某種規(guī)律，用數(shù)據(jù)來描述觀察到的現(xiàn)象。更具體地說，測(cè)量是對(duì)事物的屬性做出量化描述，是對(duì)非量化事物的量化過程。量化就是把待測(cè)定的量用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較的過程。一般來說，測(cè)量包括四個(gè)要素——測(cè)量對(duì)象、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)（計(jì)量單位）、測(cè)量方法和測(cè)量的準(zhǔn)確度。［1］

測(cè)量是人類認(rèn)識(shí)世界的重要工具，使人類探索世界的成果具有穩(wěn)固性，因而是人類文明建構(gòu)的基礎(chǔ)。有了測(cè)量，就有了對(duì)量的把握、理解及應(yīng)用；離開測(cè)量，單純地談?wù)摿渴菦]有實(shí)質(zhì)意義的。人們用來作為計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的量叫作標(biāo)準(zhǔn)量或單位量，進(jìn)行比較的方法促使測(cè)量方法和測(cè)量工具誕生了，測(cè)量得到的結(jié)果需要用數(shù)學(xué)語言來表征。測(cè)量結(jié)果的表征一般是由數(shù)據(jù)及其單位組成，這是由測(cè)量的目的和方法決定的。首先，測(cè)量本質(zhì)上是對(duì)事物做出量化的描述，測(cè)量結(jié)果就是事物與測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)（測(cè)量單位）進(jìn)行比較的結(jié)果，其實(shí)質(zhì)就是一個(gè)比值；其次，測(cè)量同一個(gè)事物，可以用不同的單位，測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不同，得出的結(jié)果也不同，因而一般情況下，“數(shù)據(jù)加單位”才能將測(cè)量結(jié)果表達(dá)清楚。如一個(gè)人的身高可以用168 厘米表示，也可以用1.68 米表示，兩種不同的結(jié)果表達(dá)的是同一個(gè)人的身高。那么，測(cè)量同一個(gè)對(duì)象為什么會(huì)有不同的測(cè)量單位呢？一是因?yàn)槭挛锸菑?fù)雜多樣的，人們?nèi)绻?guī)定測(cè)量一個(gè)對(duì)象只能有一個(gè)測(cè)量單位，可能會(huì)帶來很多不便；二是用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量，很多時(shí)候并不能正好測(cè)量完，會(huì)多出一部分或少了一部分。因此，人們會(huì)在規(guī)定一個(gè)基本測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上再按照一定的規(guī)則制定出一些其他相應(yīng)的測(cè)量單位。

二、測(cè)量視角下的計(jì)數(shù)和計(jì)數(shù)單位

數(shù)源于量，計(jì)數(shù)與計(jì)量的原理是一致的。正因如此，計(jì)數(shù)也包括四個(gè)要素，即計(jì)數(shù)對(duì)象、計(jì)數(shù)單位、計(jì)數(shù)方法和精確度。如自然數(shù)的計(jì)數(shù)對(duì)象是物體個(gè)數(shù)，自然數(shù)的基本單位是1，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)計(jì)數(shù)的需要，自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位還有十、百、千等。自然數(shù)的計(jì)數(shù)方法是十進(jìn)制和位值制，即“滿十進(jìn)一”，同一個(gè)數(shù)在不同的數(shù)位上表示不同的值。需求不同，對(duì)自然數(shù)計(jì)數(shù)結(jié)果的精確度要求也不同，如256086600 四舍五入到萬位大約是25609 萬，四舍五入到千位大約是256087千。

我國古代的小數(shù)是在計(jì)量中產(chǎn)生的。最早關(guān)于十進(jìn)制計(jì)量單位的記載是賈誼的《新書·六術(shù)》篇：“數(shù)度之始，始于微細(xì)，有形之物，莫細(xì)于毫，是故立一毫以為度始，十毫為發(fā)，十發(fā)為厘，十厘為分?！保?］這里把“數(shù)”與“度”的最小單位都?xì)w于毫，開了后世數(shù)學(xué)家用度量單位表示小數(shù)位值的先河。明確從數(shù)學(xué)上提出小數(shù)的是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽，他在處理開放不盡問題時(shí)建議采用一種微數(shù)方法：“微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細(xì)，則朱冪雖有所棄之?dāng)?shù)，不足言之也?！保?］這段話的意思是：微數(shù)不需要借助單位來標(biāo)識(shí)其“零”位值，一退再退皆以10 的整數(shù)次冪為分母，可避免通分引起的微數(shù)變化?？梢姡覈糯男?shù)計(jì)數(shù)延續(xù)了自然數(shù)的計(jì)數(shù)方式，也是十進(jìn)制和位值制。

三、測(cè)量視角下小數(shù)計(jì)數(shù)教學(xué)存在的問題及其分析

小數(shù)計(jì)數(shù)看似和自然數(shù)計(jì)數(shù)一樣簡(jiǎn)單，卻存在著一些誤區(qū)。譬如，1.23 可以表示為由1個(gè)1 加2 個(gè)0.1 再加3 個(gè)0.01 所組成。但很多人會(huì)認(rèn)為1.23 的計(jì)數(shù)單位是0.01，理由是1.23 這個(gè)小數(shù)最小的有效數(shù)位是百分位，百分位的計(jì)數(shù)單位是百分之一。據(jù)此，將1.23 改寫成以0.001 作單位的數(shù)，應(yīng)該寫成1.230。然而，如此改寫會(huì)在邏輯上出現(xiàn)以下混亂：

一是從測(cè)量的視角來看，測(cè)量結(jié)果一般應(yīng)由數(shù)據(jù)和測(cè)量單位組成，計(jì)數(shù)也應(yīng)如此，計(jì)數(shù)所得的數(shù)應(yīng)是計(jì)數(shù)對(duì)象與計(jì)數(shù)單位（或標(biāo)準(zhǔn)）比較而產(chǎn)生的。正因如此，1.23 的計(jì)數(shù)單位如果是0.01，那么其結(jié)果如若改寫成“數(shù)據(jù)加標(biāo)準(zhǔn)”的樣式，則應(yīng)該為1.23（0.01），即“1.23 個(gè)0.01”。而1.23 的實(shí)際大小應(yīng)該是“1.23 個(gè)1”。由此可見，1.23的實(shí)際大小若用0.01來計(jì)數(shù)，則應(yīng)該是“123個(gè)0.01”，這顯然與1.23個(gè)0.01相差甚遠(yuǎn)。

二是將1.23 改寫成計(jì)數(shù)單位是0.001 的數(shù)時(shí)，如果寫成1.230，那么從數(shù)的大小上比較，1.23=1.230。此時(shí)，如果1.23 認(rèn)定的計(jì)數(shù)單位是0.01，而1.230 認(rèn)定的計(jì)數(shù)單位是0.001，那么，0.01 和0.001 顯然是兩個(gè)不同的計(jì)數(shù)單位。在測(cè)量上，用兩個(gè)不同的計(jì)數(shù)單位測(cè)量同一個(gè)對(duì)象，其得到的數(shù)肯定是不相等的，正如人民幣1 元，用元測(cè)量的結(jié)果是1 元，用角測(cè)量的結(jié)果則是10 角。反向推之，如果測(cè)量所得的數(shù)（據(jù)）相同，則只可能是用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行的測(cè)量，這樣才能保證測(cè)量結(jié)果的唯一性。如上所述，用0.01和0.001測(cè)量，測(cè)量單位不同，而結(jié)果相同，那就不能保證測(cè)量結(jié)果的唯一性。

三是將1.23 的計(jì)數(shù)單位認(rèn)定為0.01，顯然與自然數(shù)的計(jì)數(shù)方式相違背。自然數(shù)的計(jì)數(shù)方式只有當(dāng)單位是1時(shí)會(huì)省略不寫，如2800，這樣的寫法表示計(jì)數(shù)單位是1，即表示“2800 個(gè)1”。如果要用百作單位，就應(yīng)該寫成“28 百”。同理，1.23 的計(jì)數(shù)單位如果是0.01，就應(yīng)該寫成“123個(gè)0.01”。

那么，如何理解1.23 的計(jì)數(shù)單位呢？從測(cè)量的角度來看，我們或可從以下幾方面來進(jìn)行分析與思考：

一是1.23 作為計(jì)數(shù)的結(jié)果，可以表示為1個(gè)1加2個(gè)0.1再加3個(gè)0.01，也可以表示成1.23個(gè)1，即1 個(gè)1 加0.2 個(gè)1 再加0.03 個(gè)1。如此，1.23 個(gè)1 這樣的結(jié)果就表示，測(cè)量對(duì)象與測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)1 比較的結(jié)果是1.23，這與1.23 的實(shí)際大小相符合。

二是1.23的計(jì)數(shù)單位是1，還可以寫成12.3個(gè)0.1，也可以寫成123個(gè)0.01，即1.23個(gè)1=12.3個(gè)0.1=123 個(gè)0.01。用不同的計(jì)數(shù)單位測(cè)量同一個(gè)對(duì)象，其數(shù)據(jù)是不同的，但表示的結(jié)果是相等的，保證了計(jì)數(shù)結(jié)果的唯一性。

三是1.23 的計(jì)數(shù)單位是1，這與自然數(shù)的計(jì)數(shù)方式一致，即“1”是基本的自然數(shù)計(jì)數(shù)單位，也是小數(shù)的基本計(jì)數(shù)單位，其他單位都可以看作其在基本計(jì)數(shù)單位“1”的基礎(chǔ)上的拓展?；居?jì)數(shù)單位“1”約定可以省略，這也與自然數(shù)的書寫方式相吻合。

四是將1.23改寫成用0.001作單位的數(shù)，從測(cè)量的視角來看，應(yīng)該理解為1.23 個(gè)1 與0.001相比較的結(jié)果是多少。因此，其結(jié)果應(yīng)該寫成1230 個(gè)0.001，就如58090000 改寫成以萬作單位的數(shù)是5809 萬一樣。如此，自然數(shù)與小數(shù)的計(jì)數(shù)規(guī)則就是統(tǒng)一的，而且符合數(shù)學(xué)追求統(tǒng)一性的特征。

由此可見，為了避免上述“邏輯混亂”，我們似乎可以在小數(shù)計(jì)數(shù)中引入“基本計(jì)數(shù)單位”和“最小計(jì)數(shù)單位”這兩個(gè)概念。譬如1.23，其基本計(jì)數(shù)單位應(yīng)該是1，其最小計(jì)數(shù)單位則應(yīng)該是0.01，其中也有計(jì)數(shù)單位0.1。此外，整數(shù)計(jì)數(shù)中的最小計(jì)數(shù)單位和基本計(jì)數(shù)單位均為1。

其實(shí)，測(cè)量視角下的理解與古人在小數(shù)計(jì)數(shù)單位上的理解是一致的。我國古代數(shù)學(xué)巨著《數(shù)理精蘊(yùn)》中就有這樣的記載：“凡數(shù)單位后有奇另者，必作點(diǎn)于單位上以志之，如有金三百四十五兩六錢七分，命兩為單位則于五上作點(diǎn)志之，又如有米六石五斗四升三合，命石為單位則于六上作點(diǎn)志之?！保?］意思是：三百四十五兩六錢七分，小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在五上，表示用“兩”作單位。六石五斗四升三合，小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在六上，表示用“石”作單位。顯然，古人所說的345.67 金的單位是“兩”而非“分”，6.543米的單位是“石”而非“合”。筆者在測(cè)量視角下所理解的小數(shù)的（基本）計(jì)數(shù)單位1與其不謀而合。

四、測(cè)量視角下小數(shù)教學(xué)的改進(jìn)策略

由上述分析可見，測(cè)量視角有助于我們深入認(rèn)識(shí)和理解計(jì)數(shù)問題，而且能夠統(tǒng)一小學(xué)數(shù)學(xué)中的自然數(shù)、小數(shù)乃至分?jǐn)?shù)，從而提升學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)。

1.要適時(shí)滲透測(cè)量思想。

法國數(shù)學(xué)家龐加萊說：“如果沒有測(cè)量空間的工具，我們便不能構(gòu)造空間。”［5］從根本上說，測(cè)量是人們認(rèn)識(shí)世界事物的數(shù)學(xué)方法，也是每個(gè)人的一項(xiàng)基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，一些國家在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有專門的測(cè)量?jī)?nèi)容體系。在我國的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，雖然沒有專門的測(cè)量?jī)?nèi)容體系，但基本內(nèi)容十分豐富，都安排在相關(guān)領(lǐng)域；雖然測(cè)量的內(nèi)容不同，但其都是通過一定的標(biāo)準(zhǔn)來度量物體的某些屬性，將物體的一些屬性數(shù)量化。因此，對(duì)于測(cè)量中標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一的必要性、測(cè)量單位的系統(tǒng)性、測(cè)量結(jié)果的精確度等數(shù)學(xué)思想方法，需要在小數(shù)教學(xué)中加以必要的滲透，這將有助于學(xué)生真正認(rèn)識(shí)或理解小數(shù)。

2.要注意從測(cè)量的視角引導(dǎo)學(xué)生理解小數(shù)計(jì)數(shù)單位的意義。

測(cè)量得以實(shí)現(xiàn)，關(guān)鍵是要有標(biāo)準(zhǔn)；計(jì)數(shù)得以實(shí)現(xiàn)，離不開單位。我國小學(xué)數(shù)學(xué)教材主要是根據(jù)知識(shí)間的聯(lián)系和學(xué)生的認(rèn)知水平分階段引入測(cè)量單位的。譬如，長(zhǎng)度單位一般在第一學(xué)段，面積單位一般在第二學(xué)段，體積單位一般在第三學(xué)段。這種安排盡管力求符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，但還不夠。其實(shí)，從上述分析的測(cè)量視角來貫穿這些分階段安排，也許更符合學(xué)生日常生活中的實(shí)際認(rèn)知過程。從測(cè)量的視角來理解小數(shù)計(jì)數(shù)單位的意義，需要關(guān)注以下三個(gè)方面：一是感受計(jì)數(shù)單位的測(cè)量?jī)r(jià)值，如1.23既可以是1.23個(gè)1，也可以是12.3個(gè)0.1，更可以是123個(gè)0.01；二是讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)數(shù)單位的形成過程，如在認(rèn)識(shí)小數(shù)時(shí)，把1 平均分成10 份，其中的2 份如何表示呢？讓學(xué)生大膽去猜想，去嘗試創(chuàng)造新的單位；三是讓學(xué)生真切體會(huì)為什么要選擇合適的計(jì)數(shù)單位來進(jìn)行計(jì)數(shù)，如認(rèn)識(shí)大數(shù)時(shí)，我國的人口就不適合用較小的計(jì)數(shù)單位來計(jì)數(shù)。

3.要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

在測(cè)量和計(jì)數(shù)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感十分重要。小學(xué)生對(duì)數(shù)的理解主要建立在其對(duì)量的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)之上。學(xué)生有很多對(duì)量進(jìn)行比較（測(cè)量）的生活經(jīng)驗(yàn)，并由此慢慢積累起大量的數(shù)的經(jīng)驗(yàn)。在測(cè)量教學(xué)或測(cè)量視角下的小數(shù)教學(xué)中，要讓學(xué)生經(jīng)歷由量到數(shù)的過程。在這個(gè)過程中，尤其要注重學(xué)生估計(jì)意識(shí)和估算能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生在測(cè)量中通過對(duì)量的估計(jì)逐步積累起數(shù)量經(jīng)驗(yàn)，加深數(shù)與量之間的聯(lián)系，再通過不斷抽象，慢慢加深對(duì)數(shù)的意義的認(rèn)識(shí)以及對(duì)數(shù)的大小的理解，從而逐步建立、豐富、完善數(shù)感。

綜上所述，任何小學(xué)數(shù)學(xué)的課程或教學(xué)改革，抑或小學(xué)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展，首先必然意味著對(duì)數(shù)學(xué)自身的理解的逐步深入與逐漸拓展。否則，任何所謂的創(chuàng)新必然是“夢(mèng)幻的現(xiàn)實(shí)”，均無實(shí)現(xiàn)的絲毫可能。