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      直線逼近的自定心中心架凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計與加工*

      2021-12-03 06:02:04謝祖強(qiáng)
      機(jī)械研究與應(yīng)用 2021年5期
      關(guān)鍵詞:廓線輪廓線凸輪

      謝祖強(qiáng)

      (福建船政交通職業(yè)學(xué)院 機(jī)械與智能制造學(xué)院,福建 福州 350007)

      0 引 言

      液壓自定心中心架具有自定心、定心定位精度高、操作方便等優(yōu)點(diǎn)是細(xì)長軸類零件加工理想的輔助支撐裝置[1]。由于該裝置技術(shù)含量高,市場需求大,我國主要依賴從德國和美國等國家進(jìn)口。近年來,國內(nèi)對其開展了一系列研究,在機(jī)構(gòu)設(shè)計方面,文獻(xiàn)[2]~[7]對中心架關(guān)鍵件平移凸輪及聯(lián)動復(fù)位機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析與設(shè)計;在制造方面,文獻(xiàn)[8]基于 CAXA 軟件用凸輪理論曲線等距平移的方法生成數(shù)控加工代碼,文獻(xiàn)[9]將凸輪實(shí)際廓線坐標(biāo)值導(dǎo)入 UG 軟件生成數(shù)控加工代碼對凸輪進(jìn)行非等徑銑削加工。

      上述研究中,多基于包絡(luò)線法得出凸輪廓線,表達(dá)式復(fù)雜,文獻(xiàn)[7]用速度瞬心法推出公式與包絡(luò)線法計算結(jié)果存在較大誤差。加工方面,采用分點(diǎn)在CAD軟件上擬合生成實(shí)體模型及數(shù)控加工代碼加工,無法事先確定誤差,加工精度難以保證。目前國內(nèi)大多數(shù)控系統(tǒng)仍只具有直線和圓弧插補(bǔ)功能,采用直線逼近非圓曲線仍是主要加工方法[10-11]。其中等間距法計算簡單,應(yīng)用方便[12]。筆者基于速度瞬心法推導(dǎo)中心架凸輪實(shí)際廓線方程,基于牛頓迭代法設(shè)計非圓曲線等間距直線逼近算法,經(jīng)濟(jì)、高效地實(shí)現(xiàn)中心架凸輪機(jī)構(gòu)高精度設(shè)計與加工。

      1 自定心中心架的工作原理

      中心架工作原理如圖1所示。液壓油缸驅(qū)動凸輪使擺桿繞旋軸O1、O2軸轉(zhuǎn),使?jié)L輪C、D、E同步運(yùn)動形成3點(diǎn)夾持夾緊工件,同時使被夾持工件軸心始終保持在O3位置,實(shí)現(xiàn)自定心[3]。

      2 中心架凸輪廓線的設(shè)計與分析

      2.1 中心架凸輪理論廓線

      自定心中心架凸輪機(jī)構(gòu)參數(shù)及坐標(biāo)系如圖1所示,其中L=OE,L0=O1O3,L1=O1D,L2=O1A,R為工件半徑,r、r0均為滾輪半徑,δ=φ-α-β。根據(jù)對稱性,只求凸輪在坐標(biāo)系第一象限內(nèi)廓線方程。由圖1可得,夾持角:

      (1)

      (2)

      (3)

      式中:A點(diǎn)坐標(biāo)即為凸輪理論廓線方程。

      圖1 自定心中心架的工作原理

      2.2 中心架凸輪實(shí)際廓線

      如圖2所示,凸輪相對于擺桿的速度瞬心為P21。設(shè)Vy為凸輪沿y軸方向的速度,ω為擺桿O1A的角速度,VO1y為O1點(diǎn)相對凸輪的移動速度,∠O1AP=90°-θ,∠O1PA=δ-∠O1AP。

      圖2 速度瞬心計算圖

      由速度瞬心法得:Vy=ω·O1P,Vy=-VO1y

      則:-VO1y=ω·O1P

      (4)

      (5)

      (6)

      整理得:O1P=K

      (7)

      在ΔAO1P中,由正弦定理:

      (8)

      整理得凸輪壓力角:

      (9)

      如圖2,建立局部坐標(biāo)系x′Ay′,由坐標(biāo)變換得:

      (10)

      式中:δ為x′軸與x軸的正向夾角。

      整理得實(shí)際廓線:

      (11)

      式中:

      由式(11)可見,當(dāng)中心架幾何參數(shù)確定后,凸輪實(shí)際廓線為僅與夾持角α有關(guān)的參數(shù)方程。

      選擇自定心中心架參數(shù)如下[5]:L0=75 mm,L1=L2=74 mm,L=118 mm,φ=171°,β=44°,r0=9.5 mm,r=17.5 mm,工件半徑R=[4,50.5] mm,對應(yīng)夾持角α=[16.580,57.380]°。將上述模型編寫MATLAB程序,得到(xH,yH)坐標(biāo)值。與文獻(xiàn)[5]比較,計算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后10位,兩種結(jié)果相等,驗(yàn)證了公式正確性。

      2.3 凸輪廓線曲線分析

      由式(11),通過求導(dǎo)運(yùn)算得xH,yH一階導(dǎo)數(shù)值:

      (12)

      (13)

      (14)

      凸輪實(shí)際廓線曲率:

      (15)

      (16)

      式中:上一組加減號表示內(nèi)包絡(luò)線,下一組加減號表示外包絡(luò)線。由式(16)求一階導(dǎo)數(shù)得[13]:

      (17)

      (18)

      即凸輪實(shí)際廓線與理論廓線一階導(dǎo)數(shù)值相等。

      由式(14)、(18)得:

      (19)

      (20)

      式中:KA即為凸輪理論廓線曲率。

      由式(18)、(20)結(jié)合曲線曲率半徑公式整理得:

      (21)

      (22)

      式中:RH、RA分別為凸輪實(shí)際廓線和理論廓線的曲率半徑,“-”為內(nèi)包絡(luò)線,“+”為外包絡(luò)線,本文為“-”。式(3)求導(dǎo)得:

      (23)

      由式(18)、(20)~(23)可見,凸輪實(shí)際廓線一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、曲率均可由凸輪理論廓線方程導(dǎo)出。

      將上述公式在MATLAB中編程計算,得在夾持范圍內(nèi)凸輪實(shí)際廓線導(dǎo)數(shù)值與α關(guān)系:隨著α增大:一階導(dǎo)數(shù)小于0,曲線單調(diào)下降;二階導(dǎo)數(shù)大于0,曲線凹;α最小時曲率半徑最小。

      3 凸輪廓線直線逼近

      3.1 直線逼近弓高誤差計算

      如圖3所示,當(dāng)加工非圓曲線段AEB時,刀具沿直線段AB插補(bǔ),插補(bǔ)過程中產(chǎn)生的連接兩端點(diǎn)的弦與弧最大法線誤差稱為弓高誤差,記為δmax。設(shè)從曲線上點(diǎn)A(x0,y0)出發(fā),在x軸方向上以步長2h=x1-x0找到第一個插補(bǔ)點(diǎn)B(x1,y1),設(shè)切線PQ//AB,切點(diǎn)T(xT,yT),則TR為弓高誤差;設(shè)點(diǎn)C(xc,yc)為弦線AB的中點(diǎn),CM垂直x軸,記:M(x1/2,y1/2),直線CM與PQ交于N點(diǎn)。作CE⊥PQ,MD⊥CE,因直線逼近弦長很小,M和N點(diǎn)非常接近且CM

      圖3 直線逼近弓高誤差

      基于此文獻(xiàn)[13]分別給出了弓高誤差精確計算公式及近似計算公式:

      精確計算公式:

      (24)

      近似計算公式:

      (25)

      3.2 等間距直線逼近算法

      y2-yN=y0+y2-2y1

      (26)

      圖4 等間距法逼近原理

      因曲線單調(diào)下降f′(x)<0,直線斜率kBC<0,則ΔABC中∠BCN是鈍角,則:CB

      如圖4所示,假設(shè)非圓曲線在A′點(diǎn)處曲率半徑最小,直線段A′B′弓高誤差δmax小等于允差δy,則在整條曲線上,若每段直線逼近弦長都小等于A′B′,則每段弓高誤差就都小等于δy。以λ=|xi-xi-1|為步長,計算起始點(diǎn)A對應(yīng)的弦長AB,若A′位于曲線分割起點(diǎn),則以λ為步長對曲線進(jìn)行分割;否則尋找分割起點(diǎn)處步長λ′使其對應(yīng)的弦長AB≤A′B′,以λ′為步長對曲線進(jìn)行等間距分割。

      3.3 凸輪廓線等間距直線逼近

      (27)

      (2) 比較δmax與δy,若δmax>δy,縮小步長:Δα←Δα/2;若δmax<δy,增大步長:Δα←Δα+Δα/2回到步驟(1);若|δmax-δy|≤ε,計算終止。輸出:δmax,B(xH1,yH1),2h=|xH1-xH0|,弦長LAB=

      (3) 凸輪廓線為凹且單調(diào)下降,最高點(diǎn)為分割起點(diǎn),令α0=αmax,λ=2h,計算:A(xH0,yH0)。

      (4) 計算:xH1=xH0+λ,由牛頓迭代法計算坐標(biāo)值xH1對應(yīng)的α值,代入式(11)求得yH1,計算:LAB′;牛頓迭代初值:α0,終止條件:|αk+1-αk|≤ε,牛頓迭代格式:

      (28)

      (5) 比較LAB與LAB′,若LAB′>LAB,縮小步長:λ←λ/2;若LAB′

      (6) 從分割起點(diǎn)α0=αmax處曲線進(jìn)行分割,令xHi=xH0+iλ,(i=0,1,…),如步驟(4)計算xHi對應(yīng)的yHi值,若xHi超出[αmin,αmax]的范圍,以端點(diǎn)代替計算終點(diǎn),停止計算。輸出:點(diǎn)坐標(biāo)(xHi,yHi),弦長LABi。

      由式(25)近似弓高誤差公式計算流程與上述步驟類似,記xH1/2=xH0+h,用如步驟(4)牛頓迭代法計算xH1/2對應(yīng)yH1/2的值。近似計算公式中無需求解切點(diǎn)坐標(biāo)值,因此牛頓迭代格式中只需求得凸輪廓線方程的一階導(dǎo)數(shù)值,計算更方便。

      將上述算法編寫MATLAB程序,選擇計算精度ε=1.0×10-7,允差δy=0.001 mm,分別按式(24)、(25)計算弓高誤差,得凸輪廓線方程等間距直線逼近點(diǎn)坐標(biāo)值、弦長及弓高誤差,由式(24)計算結(jié)果如表1所列,表中序號1對應(yīng)α=57.380 43°,序號63對應(yīng)α=16.562 34°已超出計算范圍,用曲線端點(diǎn)序號64代替。表中可見各段弓高誤差值均小于允差,在起始點(diǎn)處弦長最大。由式(25)計算直線逼近段數(shù)與式(24)計算相同,對應(yīng)段弦長差值為Δ,如表1所示,其中Δmax=1.875 9×10-4mm,相對誤差為0.013%,且位于起始點(diǎn)處,驗(yàn)證了算法正確性。

      表1 等間距法計算結(jié)果 /mm

      4 加工與仿真

      4.1 中心架凸輪機(jī)構(gòu)實(shí)體模型

      如表1所列,由于非圓曲線逼近坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)量較大,手工編程難以實(shí)現(xiàn)。將表1計算結(jié)果(xH,yH)值寫成點(diǎn)列格式保存為“.txt”文件;在AutoCAD軟件命令行下輸入“l(fā)ine”命令回車,復(fù)制“.txt”文件中所有點(diǎn)坐標(biāo)值,粘貼到AutoCAD軟件命令行下回車,將點(diǎn)坐標(biāo)值批量導(dǎo)入AutoCAD中,且兩個相鄰點(diǎn)之間用直線段連接,將凸輪廓線曲線轉(zhuǎn)化為兩兩相連的折線,用鏡像命令得到對稱段直線逼近凸輪廓線,補(bǔ)充其他線條,完成凸輪實(shí)體建模,如圖5所示。圖中,凸輪實(shí)體模型只包括直線和圓弧,雖然凸輪輪廓經(jīng)過直線逼近處理,但其特征信息沒有丟失,可實(shí)現(xiàn)凸輪曲線高精度加工。

      圖5 凸輪機(jī)構(gòu)直線逼近實(shí)體模型

      4.2 數(shù)控加工代碼生成與仿真

      選用FANUC數(shù)控立式銑床, 根據(jù)產(chǎn)品加工精度要求, 選擇φ6立銑刀對凸輪外廓進(jìn)行精加工,選擇φ10立銑刀對φ15H6銷孔進(jìn)行精加工。將圖5所示的凸輪機(jī)構(gòu)實(shí)體模型導(dǎo)入到MasterCAM軟件,通過拉伸操作生成厚度為25 mm的3D實(shí)體模型,設(shè)置精銑刀補(bǔ)方向?yàn)樽蟮堆a(bǔ)(G41),主軸轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r針(M13),設(shè)置加工工藝參數(shù)為:轉(zhuǎn)速6 000 r/min,進(jìn)給量500 mm/min,背吃刀量0.15 mm;精銑銷孔設(shè)置加工工藝參數(shù)為:轉(zhuǎn)速4 500 r/min,進(jìn)給量300 mm/min,背吃刀量0.15mm,通過MasterCAM軟件自動編程系統(tǒng)產(chǎn)生的 NC代碼共計902行如圖6所示,生成刀具軌跡如圖7所示。可見,將非圓曲線通過直線逼近,在數(shù)控仿真軟件中生成數(shù)控加工代碼,可經(jīng)濟(jì)、高效地實(shí)現(xiàn)復(fù)雜廓線高精度加工。

      圖6 數(shù)控加工程序代碼

      圖7 數(shù)控加工刀具軌跡圖

      5 結(jié) 論

      (1) 運(yùn)用速度瞬心法建立自定心中心架凸輪實(shí)際廓線方程,與文獻(xiàn)公式比較,驗(yàn)證了公式正確性?;谕馆喞碚摾€推導(dǎo)凸輪實(shí)際廓線一階、二階導(dǎo)數(shù)及曲率半徑計算公式。

      (2) 分析直線逼近弓高誤差計算原理,基于牛頓迭代法設(shè)計了非圓曲線等間距直線逼近算法,提出了等間距直線逼近點(diǎn)分割方法:凹且單調(diào)非圓曲線,從曲線高點(diǎn)開始沿x軸等間距分割;凸且單調(diào)非圓曲線,從曲線低點(diǎn)開始沿x軸等間距分割。

      (3) 針對中心架凸輪廓線,選取相同計算精度與弓高允差,分別用弓高誤差精確計算公式與近似計算公式對凸輪廓線進(jìn)行等間距直線逼近,編程計算得弓高允差為0.001 mm 時點(diǎn)坐標(biāo)。兩公式逼近直線段數(shù)相等,對應(yīng)段弦長差值很小,驗(yàn)證了算法正確性。

      (4) 將直線逼近點(diǎn)坐標(biāo)值批量導(dǎo)入AutoCAD軟件生成實(shí)體模型,再導(dǎo)入MasterCAM軟件生成數(shù)控加工代碼,可經(jīng)濟(jì)、高效地實(shí)現(xiàn)中心架凸輪機(jī)構(gòu)及其他非圓曲線高精度加工。

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