核心素養(yǎng)背景下函數(shù)周期性的教學與思考

◎丁春年

(甘肅省武威第十八中學，甘肅 武威 733000)

2020年4月，甘肅省武威市教育科學研究所在我校舉辦了以“立足教材資源，提升核心素養(yǎng)”為主題的教研活動，筆者做了“函數(shù)周期性的教學與反思”的報告，得到了與會專家的點評.結(jié)合專家的點評，筆者對函數(shù)周期性的教學進行了深入思考，進而對核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學教學產(chǎn)生了一些感悟.

《義務教育數(shù)學課程標準》對函數(shù)的周期性給出了具體的要求：以三角函數(shù)為依托，了解函數(shù)的周期性，并理解其幾何意義.《義務教育數(shù)學課程標準》中對函數(shù)周期性的定位雖然是“了解”，但對函數(shù)周期性概念的建構(gòu)過程卻不是一個簡單的“了解”就能達到的，這是因為函數(shù)周期性的建構(gòu)不僅蘊含了豐富的數(shù)學思想，而且有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).因此，在函數(shù)周期性概念的教學中，教師不僅要讓學生深刻理解函數(shù)周期性的概念，而且要幫助學生打通函數(shù)的周期性、奇偶性以及函數(shù)圖象的對稱性的關節(jié)點，進而突破學習的難點.

1 回歸教材，溯源函數(shù)周期性的概念

函數(shù)的周期性概念和函數(shù)的奇偶性概念有著相同的建構(gòu)過程，它們都是先通過對一些現(xiàn)實世界中的自然現(xiàn)象進行抽象，再結(jié)合一些具體的函數(shù)進行概括而形成的數(shù)學概念，但它們在教材中的出現(xiàn)卻不是同步的.函數(shù)的奇偶性概念的給出較早，它在函數(shù)的概念之后就粉墨登場了，而函數(shù)周期性概念的給出比較滯后，可以說有點“姍姍來遲”，給人以“猶抱琵琶半遮面”的感覺，教材這樣安排有其深意，這是由于函數(shù)周期性概念的理解相對于函數(shù)單調(diào)性、奇偶性概念的理解有一定的難度.函數(shù)周期性的概念是抽象的，學生在學完函數(shù)的概念及其性質(zhì)之后，雖然在頭腦中已然扎了一些具有周期現(xiàn)象的生活實際的“根”，但又苦于沒有與此對應的具體函數(shù)佐證，這樣的“根”就不會發(fā)芽.在初次接觸函數(shù)的概念及性質(zhì)時，學生對基本初等函數(shù)的認知較少，這些具體的函數(shù)不具有周期性.而在學習正弦函數(shù)、余弦函數(shù)時，學生才通過正弦曲線、余弦曲線的變化規(guī)律體驗了函數(shù)的周期性.通過具體函數(shù)的周期性抽象出函數(shù)周期性的概念，符號學生的認知規(guī)律，也體現(xiàn)了《義務教育數(shù)學課程標準》對周期性概念的學習要求.

2 回歸教材，解讀函數(shù)周期性的概念

教材中函數(shù)周期性概念的給出凸顯了學生對概念理解的認知規(guī)律；展示了以教材內(nèi)容為素材，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的理念.首先，在“三角函數(shù)”這一章的開篇就給出了一些具有周期性變化的自然現(xiàn)象，通過這些自然現(xiàn)象的引導，學生會不自覺地聯(lián)想到自己身邊的許多具有周期性的自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，這樣安排的目的是給予學生觀察周圍世界的數(shù)學眼光.其次，從任意角的三角函數(shù)的定義來看，在一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)的過程中，會定義不同的三角函數(shù)值.以正弦函數(shù)為例，在一條射線從起始位置旋轉(zhuǎn)一周的過程中，產(chǎn)生了無數(shù)個正弦函數(shù)值.當這條射線繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時，正弦函數(shù)值會循環(huán)出現(xiàn)，這種奇妙的數(shù)學現(xiàn)象反映了正弦函數(shù)的周期性.正弦函數(shù)的此種變化規(guī)律用數(shù)學語言刻畫就是誘導公式sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z,此處凸顯了以數(shù)學語言描述問題的核心素養(yǎng).最后，認識正弦函數(shù)f(x)=sinx的圖象，通過正弦函數(shù)的圖象，其周期性一目了然.為使學生能通過具體的正弦函數(shù)值的變化規(guī)律抽象出一般函數(shù)周期性的概念，教師在教學中可進行如下問題設計：

問題1 根據(jù)誘導公式sin(x+2kπ)=sinx，對于正弦函數(shù)f(x)=sinx，自變量x每增加一個常數(shù)2π時，其函數(shù)值有怎樣的變化？

問題2 觀察正弦曲線在區(qū)間[0,2π]內(nèi)及區(qū)間[2π,4π]內(nèi)的圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設計意圖 問題1：從學生熟悉的誘導公式入手，通過閱讀數(shù)學表達式中的數(shù)學語言，回想正弦函數(shù)的定義過程，學生能真正體驗簡練的數(shù)學語言所表達的無窮魅力，進而提升學生的數(shù)學語言素養(yǎng).同時，學生的頭腦中也能根植函數(shù)周期性概念的抽象形式：f(x+T)=f(x).

問題2：從學生熟悉的正弦曲線入手，讓學生從“形”的角度體驗正弦曲線在每間隔長度為2π的區(qū)間上重復出現(xiàn)，讓學生直觀感受正弦函數(shù)的周期性.

對于函數(shù)周期性定義式f(x+T)=f(x)的抽象，我們認為可結(jié)合誘導公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)、奇函數(shù)及偶函數(shù)的定義式進行數(shù)學抽象.類比奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，進行如下教學設計:

如果函數(shù)f(x)對于其定義域內(nèi)的每一個值，都有：

f(-x)=-f(x)，那么f(x)叫做奇函數(shù)；

f(-x)=f(x)，那么f(x)叫做偶函數(shù)；

f(x+T)=f(x)，其中T是非零常數(shù)，那么f(x)叫做周期函數(shù).

3 超越教材，探究函數(shù)周期性的概念

教材只給出了周期函數(shù)的定義式，但函數(shù)的周期性與函數(shù)的其他性質(zhì)又有怎樣的聯(lián)系呢？基于對周期函數(shù)的圖象特征的考量，函數(shù)的周期性概念教學在正、余弦函數(shù)的性質(zhì)時首次亮相，而對稱性是正、余弦函數(shù)的圖象所固有的，它們之間有何關系呢？由于教材的篇幅所限，這些問題在教材中沒有具體回答，因而給我們留下了可以進行深入探究的空間.經(jīng)過探究，筆者發(fā)現(xiàn)了以下結(jié)論：

推論1若曲線f(x)關于直線x=a及x=b對稱，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=2|a-b|為f(x)的一個周期.

證明依題意，有f(a+x)=f(a-x).

以a-x代替x得f(x)=f(2a-x).

同理，f(x)=f(2b-x)

所以f(2a-x)=f(2b-x).

以2a-x代替x得f(x)=f(x+2b-2a).

因此，函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=2|a-b|為f(x)的一個周期.

評析曲線f(x)關于直線x=a及x=b對稱，即滿足f(a+x)=f(a-x)及f(b+x)=f(b-x).也就是說，若一個函數(shù)的圖象關于兩條直線對稱，則此函數(shù)是周期函數(shù)，并且這兩條對稱軸間的距離為函數(shù)周期的二分之一.

推論2若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且滿足f(a+x)=f(a-x)(a為非零常數(shù))，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=2a為f(x)的一個周期.(證明略)

評析推論2實際上是推論1的一個特殊情況.由于函數(shù)是偶函數(shù)，因此其圖像自身就有一條對稱軸.但是，推論2卻揭示了函數(shù)的周期性與奇偶性之間的關系，給函數(shù)的性質(zhì)間搭建了聯(lián)系的橋梁，也給命題者在命制函數(shù)試題時提供了命題點，因此，推論2是解決與函數(shù)周期性有關的題目的有力工具.

推論3若函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,0)，(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=2|a-b|為f(x)的一個周期.

證明：因為函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,0)，(b,0)對稱，所以f(2a-x)=-f(x)，f(2b-x)=-f(x).

所以f(2a-x)=f(2b-x).

以2a-x代替x得f(x)=f(x+2b-2a).

因此，函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=2|a-b|為f(x)的一個周期.

評析函數(shù)f(x)的圖象有兩個對稱中心，類比正弦曲線的特性，這兩個對稱中心間的距離為函數(shù)周期的二分之一.

推論4若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且圖象關于點(a,0)對稱(a為非零常數(shù))，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=2a為f(x)的一個周期.(證明略)

評析推論4是推論3的特例.由于函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象自身關于原點對稱.推論4和推論2結(jié)合起來，是對函數(shù)的奇偶性與周期性關系的完美詮釋，體現(xiàn)了數(shù)學知識之間的相互滲透、相互交融，充分展示了數(shù)學之美.

推論5若函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,0)及直線x=b對稱，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=4|a-b|為f(x)的一個周期.

證明：由已知得f(2a-x)=-f(x)，f(2b-x)=f(x).

所以f(2a-x)=-f(2b-x).

以2b-x代替x得f(2a-2b+x)=-f(x)，

以2a-2b+x代替x得f(4a-4b+x)=f(x).

因此，函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T=4|a-b|為f(x)的一個周期.

評析函數(shù)f(x)的圖象有一個對稱中心和一條對稱軸，類比正弦曲線的特性，對稱中心到對稱軸的距離為函數(shù)周期的四分之一.

4 結(jié)論應用

例1設f(x)為定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)，且它的圖象關于直線x=2對稱，已知當x∈[-2,2]時，f(x)=-x2+1，求x∈[-6,-2]時，函數(shù)f(x)的解析式.

解析由推論2可知函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期為4.

因為當x∈[-6,-2]時，x+4∈[-2,2]，

所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1，

即f(x)=-(x+4)2+1.

評析本題是利用周期性求函數(shù)解析式的問題.利用函數(shù)的周期性，根據(jù)函數(shù)在一個周期內(nèi)的解析式，可以求出函數(shù)在另一個周期內(nèi)的解析式，甚至求出整個定義域上的解析式.此外，本題也給出了除三角函數(shù)以外的周期函數(shù)，有利于學生認清周期函數(shù)的面目.

例2已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

解析因為f(0)=0,f(1)=2，所以由推論5可知函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期為4.所以f(0)=f(2)=f(4)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-2.

因此f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=2，故選C.

評析本題是一道高考題目.解答此題的要點就在于破題，粗看，函數(shù)是抽象函數(shù)，沒有具體的解析式，因而增加了解題的難度；細看，由于此題所求的是50個函數(shù)值的和，因此，函數(shù)應該是周期函數(shù)，所以要從周期性出發(fā)破題，根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，再由對稱性，經(jīng)過簡單的推理，很容易求出周期，從而使問題獲解.

5 教學反思

5.1 回歸教材，深入挖掘教學資源

教材中蘊含著豐富的教學資源.首先，教材在每一章內(nèi)容的開篇都給出了一些資料，其作用是提出與本章相關的一些問題，點明為什么要學習本章內(nèi)容，學習本章內(nèi)容可以解決一些什么問題.例如，在“三角函數(shù)”一章中，開篇給出了具有周期性的一些自然現(xiàn)象，有時間方面的，也有空間方面的.雖然這些現(xiàn)象是學生熟知的，但作為教師，要切實了解學情，對于每一個學生的知識儲備、認識問題、理解問題的情況有一個大致的掌握.因此，對于“三角函數(shù)”這一章開篇提出的問題，教師可以讓學生事先預習，并對照自己的生活經(jīng)驗以及對周圍事物的觀察，以數(shù)學的眼光審視周圍具有周期性的各種現(xiàn)象.這樣一來，每一個學生都會有不同的觀察所得，也都會有不同的體驗，如此便可以將周期現(xiàn)象根植于每一個學生的腦海里，進而真正培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).其次，要深入挖掘教材的習題資源.教材習題中的一部分是基礎題，這些題目的設置，鞏固了學生所學的知識，還有一部分題目看似安排隨意，實則暗藏玄機，它起到了擴展教材內(nèi)容的作用.因此，對于如此現(xiàn)成的資源，我們不能隨意浪費，要合理利用，這樣可以極大地調(diào)動學生探求知識的積極性，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).

5.2 數(shù)學抽象，凸顯數(shù)學概念本質(zhì)

數(shù)學抽象是高中數(shù)學的核心素養(yǎng).高中數(shù)學中的每一個概念都是通過具體的實例抽象出來的.例如，函數(shù)的單調(diào)性概念，就是通過研究一些具體的函數(shù)，對這些函數(shù)共有的表現(xiàn)形式進行數(shù)學抽象而得出的.函數(shù)的周期性概念的抽象更是如此，是借助三角函數(shù)的圖象進行抽象的.這種圖象特征與學生頭腦中事先存儲的那些具有周期性的現(xiàn)象相互交匯，為學生的數(shù)學抽象奠定了基礎，也就是說，學生先前“植于”腦海中的周期現(xiàn)象的“根”，經(jīng)過直觀的函數(shù)圖象滋潤，將會發(fā)出周期函數(shù)概念的“芽”.教材中對周期函數(shù)的定義式f(x+T)=f(x)的給出顯得突兀，沒有推導這個定義式，這就需要教師的引導.此時，學生頭腦中已有的一系列三角函數(shù)的誘導公式就成了教師引導學生的“誘導劑”，也是學生進行數(shù)學抽象的“助推器”，有了這些“誘導劑”或“助推器”，學生才能順利完成周期函數(shù)定義式的數(shù)學抽象.學生在周期函數(shù)定義式的數(shù)學抽象過程中，要尋找一個與定義式相似的具體形式，這個定義式的具體形式之一就是三角函數(shù)的誘導公式sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z.至此，函數(shù)的周期性概念完成了從特殊到一般，從具體到抽象的過程，這樣的抽象過程，一方面可以揭示數(shù)學概念的實質(zhì)，另一方面可以培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

5.3 高于教材，升華數(shù)學概念內(nèi)涵

教材中的每一個數(shù)學概念的得出都不是突如其來的，對于任何一個數(shù)學概念，教材都給出了與此概念有關的各種素材，借助這些素材，學生能對數(shù)學概念有一個初步的認知，并在此基礎上，能利用概念解決一些簡單的問題.但對概念的理解并不能僅僅停留在對概念的表層理解上，而要對概念進行更深層次的理解，只有這樣，才能深刻把握概念的內(nèi)涵.例如，在函數(shù)的周期性概念的教學中，如果僅僅理解了周期函數(shù)的定義式，就認為理解了函數(shù)的周期性，那么這樣的教學不是深入的教學，它會導致學生對周期函數(shù)概念的理解僅僅停留在周期函數(shù)的符號表達式上，即便如此，周期函數(shù)的定義式有若干個不同的等價形式，如：f(x+a)=f(x-a)，f(x+a)=-f(x) 等，學生是否能通過適當?shù)倪壿嬐评韥碜C明其周期性呢？另外，以三角函數(shù)的誘導公式為具體形式抽象出周期函數(shù)的定義式，學生會誤認為只有三角函數(shù)是周期函數(shù)，其他函數(shù)都不是周期函數(shù).為消除這種誤解，教師可以舉一些三角函數(shù)以外的周期函數(shù)，這樣便可使學生消除誤解，進而達到深刻理解周期函數(shù)概念內(nèi)涵的目的.

6 結(jié)束語

數(shù)學概念教學的終極目標是幫助學生透徹理解概念，并能利用概念解決相關問題.如何將抽象的數(shù)學概念納入學生的認知系統(tǒng)是一個值得認真反思的問題.數(shù)學概念教學的落腳點是課堂教學，在課堂教學中，教師要將概念的教學動態(tài)化，而不是靜態(tài)地呈現(xiàn)教材中的概念表述，這既有利于學生理解概念，也有利于學生的全面發(fā)展.這樣的教學，才是有效的教學.