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      逐時降雨的類條件概率密度分區(qū)比較與擬合函數(shù)初探

      2021-12-04 10:44:26沈鐵元劉靜向怡衡祁海霞殷志遠(yuǎn)王俊超
      暴雨災(zāi)害 2021年6期
      關(guān)鍵詞:概率密度強(qiáng)降雨分區(qū)

      沈鐵元,劉靜,向怡衡,祁海霞,殷志遠(yuǎn),王俊超

      (1.中國氣象局武漢暴雨研究所,暴雨監(jiān)測預(yù)警湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430205;2.湖北省氣象服務(wù)中心,武漢 430205)

      引 言

      降雨的概率密度(Probability density,簡記為PD)函數(shù)能反映降雨的氣候與區(qū)域特征以及實(shí)況降水中較少觀測到的強(qiáng)降水發(fā)生的可能性與分布,為此20世紀(jì)一些學(xué)者基于日降雨觀測開展了研究。張耀存和丁裕國(1991)建立了降雨量概率分布的通用模式;丁裕國(1994)等利用日降雨觀測資料驗(yàn)證了氣候降水量頻數(shù)分布的最佳模式,并理論證明了降雨量頻數(shù)(時間域、空間域)的最可幾分布為Γ分布,由此構(gòu)建了較完備的降雨概率密度理論體系,擬合函數(shù)普適性強(qiáng),擬合參數(shù)物理意義明晰,并由此帶來計(jì)算與分析上的便利,但是這種采用極大似然估計(jì)法的優(yōu)勢并不在于擬合精度。丁裕國等(2009)介紹了氣候概率分布理論及其應(yīng)用研究增加的新內(nèi)涵與進(jìn)展;魏鋒等(2005)基于概率加權(quán)、Ding等(2008)采用廣義帕雷托分布(GPD)和廣義極值分布(GEV)對極端降水時空分布進(jìn)行模擬。類似研究工作的進(jìn)展推進(jìn)了其應(yīng)用領(lǐng)域的拓展,使其在分析與預(yù)報(bào)極端強(qiáng)降雨與洪水、計(jì)算設(shè)計(jì)暴雨雨型與暴雨強(qiáng)度公式、分析自動雨量站觀測數(shù)據(jù)質(zhì)量等方面成為了一種重要工具。另外,Dijkvan等(2004)應(yīng)用其來建立徑流與土壤侵蝕模型;向小龍等(2020)將其應(yīng)用于建立滑坡失穩(wěn)概率模型;周建中等(2020)建立的水文預(yù)報(bào)方法及系統(tǒng)中使用了強(qiáng)降雨和弱降雨下的后驗(yàn)概率密度函數(shù);Zou等(2014)利用其來檢驗(yàn)區(qū)域氣候模式中積云參數(shù)化方案的優(yōu)化效果;Ogarekpe等(2020)利用其來檢驗(yàn)了16個全球環(huán)流模式的月降雨模擬結(jié)果;陳愛軍等(2018)將其應(yīng)用于評估衛(wèi)星降水估計(jì)精度;沈艷等(2013)將其應(yīng)用于評估降水量融合產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)。近年來一些研究使用概率密度匹配法來改進(jìn)定量降雨估算結(jié)果,如宇婧婧等(2013)改進(jìn)的衛(wèi)星估算降水方法、Seppo等(2016)建立的雷達(dá)估算降雨模型、潘旸等(2018)介紹的高分辨率三源融合降水產(chǎn)品業(yè)務(wù)系統(tǒng)。

      PD應(yīng)用的拓展又對其研究工作提出了更高的需求,當(dāng)前降雨觀測時空分辨率得到了大幅提高,以日降雨資料得出的研究結(jié)果需要以新的海量資料來發(fā)展完善。隨著我國自動氣象站逐步增加,利用逐時降雨有了大量研究,其中涉及概率密度或(和)概率分布的相對較少,姚莉等(2009)基于我國485站14 a逐時降雨分析了六個雨強(qiáng)級別的年均發(fā)生頻率、日變化和極端降水等,指出百年一遇的逐時降雨量達(dá)100~150 mm,高值區(qū)主要在東南沿海一帶。其中研究對象雖是降雨發(fā)生頻率(頻次),但分別針對六個雨強(qiáng)級別來分析,已具備逐時降雨概率密度的雛形。田付友等(2014)用518個站點(diǎn)18年暖季的小時降水資料,用Γ函數(shù)估算概率密度分布,給出了超過閾值的降水累積概率分布,認(rèn)為極端小時降水的閾值自西北向東南增大,華南沿海和海南島西北部為短時強(qiáng)降水最容易出現(xiàn)的區(qū)域。趙琳娜等(2017)用中國東南818個國家站33 a夏季小時降水資料以及臺風(fēng)路徑觀測數(shù)據(jù)分離出臺風(fēng)降水后擬合Gamma概率密度函數(shù)分布參數(shù),得到臺風(fēng)小時降水總的降水概率分布特征以及不同臺風(fēng)影響距離和臺風(fēng)強(qiáng)度影響下超過給定閾值的降水累積概率分布與極端降水閾值。王彬雁等(2018)用皮爾遜Ⅲ型概率分布模型對四川省測站降水進(jìn)行擬合,根據(jù)降水累積概率空間分布的擬合函數(shù),計(jì)算了最大小時降水量的概率分布及其重現(xiàn)期極值。這些研究承襲了極大似然估計(jì)法使用Gamma函數(shù)(或其變形)來擬合,均未給出擬合優(yōu)度(或確定系數(shù))、均方差之類的擬合統(tǒng)計(jì)量。

      對于逐時降雨的概率密度(或分布),極端強(qiáng)降雨的發(fā)生是小概率事件,樣本數(shù)量非常有限,降雨概率密度的研究勢必受到觀測資料年限的限制,相關(guān)研究較難深入開展,致使目前降雨概率密度尚難以得到精細(xì)化的結(jié)果,其函數(shù)擬合精度仍需提高、降雨等級需要細(xì)化,特別是對強(qiáng)降雨段(或小概率降雨段、長重現(xiàn)期降雨段)有待提高。當(dāng)前降雨觀測條件的改善,同時先進(jìn)的數(shù)學(xué)擬合技術(shù)也大為改觀,為提高擬合精度提供了有力支撐,勢必推動降雨概率密度研究向精細(xì)化方向發(fā)展,并為相關(guān)應(yīng)用奠定更科學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)。精細(xì)化研究包括七個發(fā)展方向:細(xì)化分類;提高擬合精度;增強(qiáng)擬合函數(shù)與方法普適性;細(xì)分降雨等級;延展至更強(qiáng)降雨;結(jié)合地理地形篩選降雨結(jié)構(gòu)特征參數(shù)及其時空分布的影響因子分析;研究聯(lián)合概率密度分布,聯(lián)合的對象諸如雷達(dá)回波、云反射因子、各高度層溫壓濕風(fēng)等氣象要素與降雨。其中“細(xì)化分類”這一方向便牽出了降雨的類條件概率密度(CCPD),參考邊肇祺(2000)關(guān)于類條件概率密度的概念,定義降雨的類條件概率密度為在某降雨定條件或類別狀態(tài)下的概率密度,是概率密度下的次級“小”概念,其定義域是降雨概率密度定義域的子域,其在定義域內(nèi)的積分為1。定條件是指有雨、連續(xù)性降雨這樣的條件(另外還可設(shè)定為強(qiáng)降雨、夏雨、夜雨、臺風(fēng)降雨、暖季降雨等);類別狀態(tài)指降雨歷時、無降雨歷時這樣的類別。降雨的類條件概率密度在其函數(shù)定義域內(nèi)與降雨概率密度存在倍率關(guān)系。引入這一概念是為了對特定條件或類別開展分析研究,從而能夠更深入細(xì)致地去探討降雨結(jié)構(gòu)特征及地域差異。以往也曾有過相關(guān)研究,但均使用概率分布(或概率密度)來表述,致使大小概念混用,該概念的引入能梳理相關(guān)概念并分類歸納,建議逐步規(guī)范以避免大小概念混用。

      本文在我國洪澇災(zāi)害主要發(fā)生區(qū)內(nèi)以空間開窗口方式選擇六個分區(qū),細(xì)分四十二個降雨等級,統(tǒng)計(jì)逐時降雨量、逐時連續(xù)降雨過程雨量、逐時連續(xù)降雨歷時等三類類條件概率密度進(jìn)行分區(qū)比較,選擇一種與以往研究不同的擬合方法和擬合函數(shù)開展擬合研究,從而得到高精度的降雨類條件概率密度算法,以期為定量降雨估算中概率密度匹配法等提供新的、更細(xì)致可靠的數(shù)據(jù)來源。

      1 資料與方法

      1.1 研究區(qū)域

      為了更好地了解我國長江梅雨鋒地帶上的降雨特征,沿30°N選取四個經(jīng)緯度長方形區(qū)域?yàn)檠芯繉ο?,同時在其南北各選取了一個區(qū)域來與之進(jìn)行比較分析。圖1給出了六個分區(qū)及所處地理位置示意圖。圖中分區(qū)編號I、II、III、IV、V、VI按降雨頻率降序排列,前五個分區(qū)年均降水量大于1 000 mm,VI區(qū)最小、不足800 mm。I、II、III、IV區(qū)同在30°N線上。I區(qū)位于四川雅安附近,由于其周邊地形坡降大,為避免代表性的減弱而選取了1°×0.6°相對較小的范圍;V區(qū)范圍2.6°×2.3°,包含海南全島;II區(qū)位于杭州灣以西,III區(qū)位于鄂西南山區(qū),IV區(qū)位于江漢平原南部,VI區(qū)位于華北平原、黃河流域內(nèi),這四個分區(qū)經(jīng)緯度范圍均為2°×1°。

      圖1 研究選定的六個分區(qū)(紅色方框內(nèi)是分區(qū)編號)方框內(nèi)及所處地理位置示意圖Fig.1 The research selected six sub-regions(red boxes with division number in the boxes)and schematic diagram of their geographical location.

      1.2 資料說明

      本文使用了六個分區(qū)內(nèi)近1700個自動降雨觀測站(含國家站和區(qū)域站)近年的逐時降雨觀測資料(以下簡稱HR),其中V區(qū)使用了海南島內(nèi)21個國家站的降雨資料,為保障統(tǒng)計(jì)樣本數(shù)量,故選取的范圍比其它五個分區(qū)大;其余五個分區(qū)使用了國家站和區(qū)域站資料。表1給出了六個分區(qū)降雨資料的基本情況及逐時降雨頻率,從中可見,各分區(qū)降雨統(tǒng)計(jì)資料平均年限并不相同,其原因是為了更充分地利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)資料。選取2020年10月29日00時(北京時,下同)為所有資料的截止時間,而資料的起始年份根據(jù)站點(diǎn)資料入庫時間來定,起始時間與截止時間的月、日、時相同,使資料時間長度保持為整年,且盡可能保障使用的資料年限最長,在資料年限短于4 a時觀測站資料全被棄用,故表1中參與統(tǒng)計(jì)的測站數(shù)要小于區(qū)域內(nèi)測站數(shù)。從表中還可見,所有資料的缺測率均低于40‰,保障了資料的完整性及統(tǒng)計(jì)結(jié)果的可信度。

      表1中還給出了逐時降雨頻率。為了避免與天氣預(yù)報(bào)中公眾已普遍接受的“降雨概率”概念上沖突或混淆,本文選用“降雨頻率”這一概念,而對于概率密度中“概率”一詞仍按慣例沿用不隨之調(diào)整。從表1可見,排名前四位均在30°N線上。雅安由于受到特定地形影響而最大,海南島即使處于低緯且受海洋性氣候影響也包含一些山地,而其降雨頻率居然比30°N線上各分區(qū)小。六個分區(qū)逐時降雨頻率差別大,I區(qū)近乎VI區(qū)的4倍,即使同在30°N線上,I區(qū)是IV區(qū)的1.74倍。

      表1 研究選定的六個分區(qū)降雨資料基本情況及逐時降雨頻率Table 1 Basic information of rainfall data in research selected six sub-regions and frequency of hourly rainfall.

      1.3 分析方法

      雖然自動雨量站觀測年限有限,但如果以空間換取時間,改變原來單站進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的方法,在相對較小的分區(qū)內(nèi)多站并合來開展統(tǒng)計(jì),能使樣本數(shù)量得到大幅提升,才有可能實(shí)現(xiàn)細(xì)分降雨等級,提高在強(qiáng)降雨區(qū)段概率密度擬合精度,契合PD研究精細(xì)化的發(fā)展方向。這種以空間換取時間的方式必須滿足在分區(qū)內(nèi)地理、氣候特征相同,臨近站降雨特征相近。

      針對上述六個分區(qū),統(tǒng)計(jì)逐時降雨、逐時連續(xù)降雨的頻率;同時細(xì)分降雨等級,對各降雨等級分別統(tǒng)計(jì)三類(逐時降雨量、逐時連續(xù)降雨過程雨量、逐時連續(xù)降雨歷時)類條件概率密度。通過六個分區(qū)之間的比較,可以分析降雨與降雨結(jié)構(gòu)的地域性差異,有利于明晰類條件概率密度與概率密度的共性與差異性。以下簡要介紹降雨等級的劃分以及統(tǒng)計(jì)特征量、計(jì)算特征量。

      1.3.1 降雨等級的劃分

      依據(jù)降雨數(shù)據(jù)的樣本量根據(jù)經(jīng)驗(yàn)自行細(xì)分了四十二個降雨等級進(jìn)行統(tǒng)計(jì),原則是盡量使相鄰等級間統(tǒng)計(jì)值變化有序、經(jīng)驗(yàn)函數(shù)上下起伏跳躍小、盡量避免統(tǒng)計(jì)頻次為0的區(qū)間。表2分別給出了這四十二個降雨等級的區(qū)間中值、區(qū)間長度、區(qū)間上限,前二十四等級以降雨觀測的分辨率0.1 mm為間隔來劃分,區(qū)間長度也為0.1 mm,后十八個降雨等級由于發(fā)生頻次越來越小,隨降雨強(qiáng)度變強(qiáng)區(qū)間長度逐步加大,其中對于短時強(qiáng)降雨(Rain≥20 mm)僅分了七個等級。

      表2 四十二個降雨等級的劃分表2 Classification of 42 rainfall grades.

      1.3.2 各分區(qū)各等級下降雨發(fā)生頻次統(tǒng)計(jì)

      針對六個分區(qū)統(tǒng)計(jì)各區(qū)內(nèi)觀測次數(shù)、缺測次數(shù)、降雨頻次、逐時連續(xù)降雨場頻次。逐時連續(xù)降雨(HCR)是與孤立逐時降雨相對的,孤立逐時降雨指前后時次均無降雨的單獨(dú)小時降雨,HCR指在逐時降雨觀測中連續(xù)多個小時中降雨量均不為0的降雨過程。再針對各分區(qū)(公式中用M代替,分別取I、II、III、IV、V、VI)分別統(tǒng)計(jì)降雨量落在各降雨等級(N)下的次數(shù);然后對各分區(qū)分別統(tǒng)計(jì)HCR過程雨量落在各降雨等級N下的次數(shù),統(tǒng)計(jì)中先按各站點(diǎn)計(jì)數(shù),后對分區(qū)內(nèi)所有站點(diǎn)累計(jì);最后對各分區(qū)分別統(tǒng)計(jì)逐時連續(xù)降雨歷時(HoCR)在2~42 h內(nèi)各整數(shù)時數(shù)上的場次數(shù),歷時在42 h以上降雨頻率太小而沒參與統(tǒng)計(jì)。

      1.3.3 降雨頻率、類概率密度、類條件概率密度經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的計(jì)算

      根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)的頻次便可以計(jì)算頻率、概率密度、類條件概率密度。頻率分兩類,PD、CCPD分別分三類,通過計(jì)算分別得出PD、CCPD在各分區(qū)M等級N(或連續(xù)歷時)下的概率質(zhì)量,便可得到三類PD、CCPD的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)。下面需要進(jìn)行簡單計(jì)算的物理量僅列示了概念,公式略。

      (1)逐時降雨頻率、逐時連續(xù)降雨頻率

      通過上面統(tǒng)計(jì)頻次就可以得到各分區(qū)降雨頻率、逐時連續(xù)降雨頻率。用PHR(M)表示各分區(qū)逐時降雨頻率,用PCR(M)表示各分區(qū)逐時連續(xù)降雨頻率。連續(xù)降雨頻率可以按場次數(shù)、時數(shù)兩種方法來統(tǒng)計(jì),由于兩者可以依據(jù)平均歷時相互轉(zhuǎn)化,故在第二、三類CCPD計(jì)算分析中選擇按場次來統(tǒng)計(jì),而非時數(shù)。

      分區(qū)內(nèi)各降雨等級下的降雨頻次與總的降雨頻次比值再除以降雨等級的區(qū)間長度得到HR類的CCPD,是在各降雨等級中值附近CCPD的近似值,于是便有了第一類CCPD的經(jīng)驗(yàn)函數(shù),在CCPD定義域類該CCPD與PHR(M)的乘積是HR類PD。第二類CCPD與之類似,第三類CCPD由于自變量是降雨歷時,間隔為1 h,所以根據(jù)各歷時下的降雨場次數(shù)除以總的逐時連續(xù)降雨頻次而得到。

      (2)類條件概率密度(CCPD)

      第一類:逐時雨量類的類條件概率密度HRCCPD(以下簡稱CCPD1),定義域是[0.1,∞);

      第二類:逐時連續(xù)降雨過程雨量類的類條件概率密度HCRCCPD(以下簡稱CCPD2),定義域是[0.2,∞);

      第三類:逐時連續(xù)降雨歷時類的類條件概率密度HoCRCCPD(以下簡稱CCPD3),定義域是[2,∞)。

      下文中CCPD1、CCPD2單位為mm-1,CCPD3單位為h-1。

      (3)類概率密度

      與上面三類CCPD對應(yīng)的PD,分別記為HRPD、HCRPD、HoCRPD,類似簡記為PD1、PD2、PD3。

      PD1是CCPD1的PHR倍率關(guān)系,當(dāng)然兩者間定義域是有差別的,前者是[0,∞),后者是[0.1,∞)。第一類概率密度PD1自變量是雨量,以前的研究中均以“降雨概率密度”稱之,為了便于區(qū)分,建議分類,讓相關(guān)大小概念規(guī)范化。

      PD2是指HCR過程雨量落在某一單位降雨區(qū)間的發(fā)生頻率,CCPD2是僅針對有HCR發(fā)生(定義域縮小為[0.2,∞))才進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的過程雨量落在某一單位降雨區(qū)間的發(fā)生頻率,因此,PD2是CCPD2的PCR倍率關(guān)系。

      PD3指HCR歷時在某個小時數(shù)下的發(fā)生頻率,CCPD3是僅針對HCR進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的降雨歷時在某個小時數(shù)下的發(fā)生頻率,其分布圖中橫坐標(biāo)與CCPD2不同,由逐時連續(xù)降雨量變成了連續(xù)歷時(即持續(xù)時數(shù)),PD3是CCPD3的PCR倍率關(guān)系。

      2 分區(qū)之間對比分析

      2.1 第一類類條件概率密度CCPD1

      圖2給出了六個分區(qū)中的第一類概率密度PD1與第一類類條件概率密度CCPD1。為了便于識別強(qiáng)降雨段曲線結(jié)構(gòu)與趨勢及分辨各曲線間微小差別,圖中采用了雙y軸坐標(biāo)“一線兩畫”方式,對每個分區(qū)在同一張圖上同時給出y及l(fā)n(y)隨x坐標(biāo)變化的兩條曲線;x坐標(biāo)是降雨等級中值Rain的對數(shù)ln(Rain),x=0、1、2、3、4、5時分別對應(yīng)Rain≈1、2.7、7.5、20、55、150 mm。在x>0時,CCPD1六條曲線黏合在一起,需要從右邊曲線簇才能區(qū)分辨認(rèn),在x<1時,ln(CCPD1)六條曲線黏合在一起,需要從左邊曲線簇才能區(qū)分辨認(rèn)。圖中為了方便辨識區(qū)分,以曲線的方式給出,而沒有采用在四十二個降雨等級上給出離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的繪圖方式。從圖2可見,CCPD1、PD1曲線均是單調(diào)凸(斜率遞增)減函數(shù),弱降雨段遞減快,強(qiáng)降雨段遞減較慢;在雙對數(shù)圖上曲線均是單調(diào)凹減函數(shù),弱降雨段遞減慢,強(qiáng)降雨段遞減較快。六根PD1曲線排列稀疏,而六根CCPD1曲線排列變得密集,并存在相互穿插黏合的現(xiàn)象。ln(PD1)、ln(CCPD1)曲線也是如此。原因在于PD1與降雨頻率成正比,而CCPD1是用來表示在有雨條件下不同量級降雨發(fā)生可能性的分布情況,即強(qiáng)、弱降雨出現(xiàn)多少的配置關(guān)系,與降雨頻率無關(guān)。六個分區(qū)降雨頻率的差別大(參見表1),降雨的地域間差異性會通過降雨頻率傳遞給PD1,導(dǎo)致圖2a中PD1曲線間差距大,V、VI兩區(qū)差別最大時能超8倍;CCPD1統(tǒng)計(jì)計(jì)算中拋開了無降雨的時間,不受降雨頻率影響,部分削弱了地理地形影響降雨結(jié)構(gòu)的主要功效,更利于表征降雨的固有結(jié)構(gòu)特征,故在圖2b中六根曲線較PD1差距小。由此可以說明:雖然對同一地域PD1、CCPD1均有反映降雨結(jié)構(gòu)的能力,但在地域差異性分析時兩者相比較,PD1受地理地形影響大,受降雨頻率多少所左右,其能力將被削弱,更側(cè)重于用來表征指定降雨出現(xiàn)的可能性;CCPD1受地理地形影響相對小,反映強(qiáng)、弱降雨出現(xiàn)的配比情況更直截了當(dāng),更側(cè)重于用來反映降雨結(jié)構(gòu)性特征,以及降雨結(jié)構(gòu)性地域差異比較,尤其在表征強(qiáng)降雨出現(xiàn)難易程度的地域差異性上比PD1效果會更明顯。

      在圖2b中V分區(qū)的ln(CCPD1)曲線與其他區(qū)表現(xiàn)出明顯的差異性,即橫坐標(biāo)1.1~4.7區(qū)間內(nèi)(Rain在3~100 mm區(qū)間)PD1、CCPD1明顯大于其他各區(qū),表明了V分區(qū)與其它區(qū)降雨結(jié)構(gòu)性差異。海南島由于屬熱帶季風(fēng)氣候,四面環(huán)海,水汽充沛、熱動力過程強(qiáng)烈等諸多降雨有利條件,是導(dǎo)致其CCPD1分布獨(dú)特的原因。V分區(qū)的這種持有降雨結(jié)構(gòu)在圖2a中表現(xiàn)并不很突出,是由于受到海南島降雨頻率不高因素的干擾。

      圖2 研究選定的六個分區(qū)中的第一類概率密度PD1(a)和第一類類條件概率密度CCPD1(b)(a:左邊曲線簇對應(yīng)左邊y軸PD1,右邊曲線簇對應(yīng)右邊y軸ln(PD1);b:左邊曲線簇對應(yīng)左邊y軸CCPD1,右邊曲線簇對應(yīng)右邊y軸ln(CCPD1))Fig.2 The first class(a)PD1 and(b)first CCPD1 in research selected six sub-regions(a:The left curve cluster corresponds to the left y-axis PD1,and the right curve cluster corresponds to the right y-axis ln(PD1).b:Left curve cluster corresponds to left y-axis CCPD1,right curve cluster corresponds to right y-axis ln(CCPD1)).

      圖2a中藍(lán)色線代表分區(qū)I(雅安),在橫坐標(biāo)大于3時(Rain>20 mm)PD1明顯大于30°N線上的其他三區(qū);圖2b中其CCPD1相比30°N其他區(qū)呈現(xiàn)兩端大、中間小的分布特征:起點(diǎn)高(指弱降雨等級下CCPD1高)但遞減快,在橫坐標(biāo)0.3~2.5區(qū)間(1.3 mm60 mm)明顯大于其他三區(qū),特別是在第41降雨等級下CCPD1超出海南島、高出30°N線上其他三區(qū)5~9倍,是“雅安天漏”極端強(qiáng)降雨多發(fā)的數(shù)據(jù)體現(xiàn)。

      圖3 PD1、CCPD1 III與IV分區(qū)的差倍比Fig.3 Difference ratio of PD1 and CCPD1 comparing III with IV sub-regions.

      2.2 第二類類條件概率密度CCPD2

      表3給出了六個分區(qū)HCR的有關(guān)頻率統(tǒng)計(jì)值,從中可見,I、II分區(qū)接近且最大,VI分區(qū)位置偏北最小;III、IV分區(qū)處于中間位置但差距仍較大,III分區(qū)HCR頻率是IV分區(qū)的1.45倍;HCR海南島最小為4.29 h,其他五個區(qū)接近,II分區(qū)最大,為6 h。如果以場次記,孤立降雨與逐時連續(xù)降雨近乎各占一半,而按降雨時數(shù)記,孤立降雨占總降雨時數(shù)不足2成,逐時連續(xù)降雨占比超8成,I分區(qū)(雅安)逐時連續(xù)降雨占比最大,為87%;海南島孤立性降雨占比最大,逐時連續(xù)降雨占比最小,逐時連續(xù)降雨歷時最短。

      表3 逐時連續(xù)降雨有關(guān)頻率統(tǒng)計(jì)值Table 3 Frequency statistical values of HCR.

      圖4a、b分別給出了六個分區(qū)的PD2、CCPD2,也采用了雙y軸一線兩畫方式。從中可見,PD2、CCPD2曲線是單調(diào)凸減函數(shù),在雙對數(shù)圖上曲線是單調(diào)凹減函數(shù);I分區(qū)CCPD2相對其它區(qū)走勢類似其CCPD1,存在兩端大、中間小的分布特征;III、IV兩區(qū)HCR頻率差別較大(按時數(shù)記分別是0.107和0.076),兩區(qū)HCR頻率比值與HR頻率的比值(1.43)相當(dāng),山區(qū)比平原大1.45倍;PD2山區(qū)總體大于平原,且隨降雨等級加大差距縮小至趨同,并沒出現(xiàn)類似PD1平原反超山區(qū)的現(xiàn)象;V分區(qū)海南島CCPD2起點(diǎn)最低,但10 mm以上降雨CCPD2比其它區(qū)大,其PD2在強(qiáng)降雨段較大,但由于受到HCR頻率干擾而沒有CCPD2表現(xiàn)突出;VI分區(qū)由于地理位置偏北,PD1、PD2比其它區(qū)小,與其他五個分區(qū)差別大,但CCPD1、CCPD2與30°N線上四個分區(qū)差別小。

      圖4 研究選定的六個分區(qū)的第二類概率密度PD2(a)和第二類類條件概率密度CCPD2(b)(a:左邊曲線簇對應(yīng)左y軸PD2,右邊曲線簇對應(yīng)右y軸ln(PD2);b:左邊曲線簇對應(yīng)左y軸CCPD2,右邊曲線簇對應(yīng)右y軸ln(CCPD2))Fig.4 The 2nd class(a)PD2 and(b)CCPD2 of research selected six sub-regions(a:The left curve cluster corresponds to the left y-axis PD2,and the right curve cluster corresponds to the right y-axis ln(PD2).b:Left curve cluster corresponds to left y-axis CCPD2,right curve cluster corresponds to right y-axis ln(CCPD2)).

      2.3 第三類類條件概率密度CCPD3

      圖5給出I、V分區(qū)的第三類條件概率密度。除V分區(qū)外的其他五個分區(qū)曲線較接近、曲線高度疊合,所以圖中把I分區(qū)選作代表。各分區(qū)CCPD3也是單調(diào)凸減函數(shù);海南島CCPD3偏態(tài)性強(qiáng),即起點(diǎn)高、遞減率大,HCR歷時為2 h的CCPD3比其它區(qū)高出1/3強(qiáng),歷時為4 h及其后CCPD3便低于其他區(qū)了,歷時為13 h的相對差別最大(低1.6倍)。海南島CCPD3偏態(tài)性強(qiáng)的降雨歷時分布結(jié)構(gòu),是造成表3中海南島孤立降雨時數(shù)占比大、連續(xù)降雨歷時短這種降雨特征的原因。

      圖5 I、V分區(qū)的第三類條件概率密度CCPD3(淺藍(lán)色橫線代表0軸)Fig.5 The 3rd class conditional probability density of I and V subregions(The light blue horizontal line is the 0 axis).

      通過上面三類CCPD、PD的分區(qū)比較可知:三類CCPD、PD曲線均是單調(diào)凸減函數(shù),在雙對數(shù)圖上曲線均是單調(diào)凹減函數(shù);逐時降雨頻率各分區(qū)間差別大,導(dǎo)致PD差別也大,而三類CCPD分區(qū)間差別小,在曲線圖上難以分辨;對同一地域PD、CCPD均有反映降雨結(jié)構(gòu)的能力,對不同地域,PD受降雨頻率影響致其能力被削弱,更側(cè)重于用來表征指定降雨出現(xiàn)的可能性,而CCPD1反映強(qiáng)、弱降雨出現(xiàn)的配比情況更直截了當(dāng),更側(cè)重于用來反映降雨結(jié)構(gòu)性特征,以及降雨結(jié)構(gòu)性地域差異性比較,尤其在表征強(qiáng)降雨出現(xiàn)難易程度的地域差異性上比PD1效果會更明顯。

      雅安降雨頻率是30°N線上四個分區(qū)中最大的,其CCPD1、CCPD2相對其它分區(qū)呈現(xiàn)兩端大、中間小的格局,特別是極端短時強(qiáng)降雨CCPD1比其他區(qū)高。位置臨近的III、IV分區(qū),由于山地與平原的地理差別,導(dǎo)致降雨頻率兩區(qū)差距大,山區(qū)地形致降雨頻率增加,且主要是弱降雨的增加,強(qiáng)降雨反倒有所減少,對于非特殊地形結(jié)構(gòu)下的山地,由于地面摩阻力的增大,對強(qiáng)降水的發(fā)生總體上卻是不利因素。海南島屬熱帶海洋性季風(fēng)氣候,與其他分區(qū)不同有著獨(dú)特的降雨結(jié)構(gòu)特征,表現(xiàn)在:降雨頻率偏低、孤立性降雨占比多、連續(xù)降雨歷時短、CCPD3遞減快偏態(tài)性強(qiáng),這些是降雨的不利因素,但是由于強(qiáng)降雨區(qū)段CCPD1、CCPD2比其他分區(qū)大的有利因素,而致年均降雨偏多。地理位置偏北的VI區(qū),降雨頻率小,PD1、PD2明顯比其它區(qū)小,但三類CCPD均與30°N線上分區(qū)相近。

      3 擬合經(jīng)驗(yàn)公式與擬合方法

      現(xiàn)有研究多以Gamma函數(shù)來進(jìn)行降雨概率密度擬合,所以最初在Matlab軟件平臺下用Curve Fitting Tool進(jìn)行Gamma函數(shù)擬合試驗(yàn),由于對降雨區(qū)間進(jìn)行了細(xì)分,曲線尾部(最后的幾個降雨等級)的擬合相對誤差超3個數(shù)量級幾乎是常態(tài),即使擬合的決定系數(shù)(R-Square)高達(dá)0.9999,相對誤差依然會很大;改用Weibull、(對數(shù))正態(tài)、Gumbel、Pareto、Beta、Cauchy、泊松、皮爾遜III型等多種分布函數(shù)也存在類似問題。為此放棄該擬合方法,改用基因遺傳算法來搜索這些函數(shù)的最優(yōu)擬合參數(shù),擬合時如果想兼顧到強(qiáng)降雨區(qū)段的相對誤差時,弱降雨的擬合效果就變差,總是難以首尾兼顧。最后,放棄這些常用的概率密度函數(shù),改用三參數(shù)冪函數(shù)的指數(shù)函數(shù)(1)式作為經(jīng)驗(yàn)公式來擬合能收到很好的擬合效果,該函數(shù)形式簡單,并且適用所有分區(qū)、三類CCPD,唯一的缺憾是不能嚴(yán)格保證定義域內(nèi)函數(shù)的積分為1。其中自變量x對應(yīng)取為HR、HCR、HoCR,y是這三類CCPD的擬合值,n、a、b是擬合參數(shù);為了公式的簡潔,式中關(guān)于分區(qū)標(biāo)號M、類別的下標(biāo)予以略去。

      采用多目標(biāo)遺傳基因算法來搜索三個擬合參數(shù)的最優(yōu)解,目標(biāo)函數(shù)綜合了加性誤差模型與乘性誤差模型,采用權(quán)重系數(shù)WP來均衡兩類誤差,設(shè)定公式為

      (2)式中下標(biāo)*是通配符,PD*在此小節(jié)代表CCPD1,y*是其擬合值;1-WP是PD*乘性誤差對目標(biāo)函數(shù)Obj貢獻(xiàn)的權(quán)重系數(shù),SSE為帶權(quán)重系數(shù)的協(xié)方差算子。WP是PD*加性誤差對目標(biāo)函數(shù)貢獻(xiàn)的權(quán)重系數(shù),設(shè)定為

      3.1 CCPD1的擬合

      擬合時各降雨等級下權(quán)重系數(shù)選?。簩λ蟹謪^(qū)統(tǒng)一設(shè)定一套權(quán)重系數(shù)。對頭部第1降雨等級權(quán)重系數(shù)取0.85;對尾部第40、41、42三個降雨等級,由于統(tǒng)計(jì)時區(qū)間長度長,樣本量又有限,其概率密度結(jié)果數(shù)值上存疑,參考價值不大,把其權(quán)重系數(shù)分別取0.85、0.60、0.15,以降低其對擬合結(jié)果的不利影響;其余38個降雨等級取1。然后對該序列進(jìn)行平滑運(yùn)算,再做均值為1的中心化處理,得到最終權(quán)重系數(shù)序列。圖6給出了CCPD1擬合目標(biāo)函數(shù)中權(quán)重系數(shù)Weight(N)隨降雨等級的分布,從中可見,中間主體區(qū)域略大于1,頭部1個降雨等級下取值小于1,尾部4個與頭部1個降雨等級下取值小于1。這種立足于38個中間等級按經(jīng)驗(yàn)取值的益處在于,能讓擬合函數(shù)去充分適應(yīng)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的主體,同時又兼顧到頭、尾部數(shù)據(jù)所包含的部分信息量。

      圖6 CCPD1擬合目標(biāo)函數(shù)中各降雨等級下的權(quán)重系數(shù)Fig.6 The weight coefficient of 42 rainfall grades in the fitting objective function.

      表4給出了六個分區(qū)CCPD1擬合參數(shù)與擬合統(tǒng)計(jì)量,擬合參數(shù)供讀者核算與參考,從擬合統(tǒng)計(jì)值中看出:CCPD1及l(fā)n(CCPD1)的標(biāo)準(zhǔn)化后的擬合均方差均是很小的量,V區(qū)最大為0.013 5及0.050 4;CCPD1決定系數(shù)均大于0.99,ln(CCPD1)決定系數(shù)除V區(qū)的0.920 8外均大于0.977;ln(CCPD1)的皮爾遜相關(guān)系數(shù)除V區(qū)的0.972 6外均大于0.99。

      表4 各分區(qū)CCPD1擬合參數(shù)與擬合統(tǒng)計(jì)量Table 4 Fitting parameters and statistical values of CCPD1 in six sub-regions.

      圖7以III、V分區(qū)為例給出了第一類條件概率密度及其擬合函數(shù),藍(lán)色線主要反映弱降雨量級擬合函數(shù)(實(shí)線)與經(jīng)驗(yàn)函數(shù)(*離散點(diǎn))匹配情況,紅色線反映整體及強(qiáng)降雨區(qū)段兩者匹配情況。其它四個分區(qū)圖略,擬合函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)函數(shù)均吻合度好,包括CCPD1及l(fā)n(CCPD1)曲線,并且曲線頭尾均得到了兼顧,具有很高的擬合精度。由表4可知,III、V分區(qū)是擬合目標(biāo)函數(shù)最大的兩個區(qū),從圖7中仍可看出有較好的擬合效果。

      圖7 III(a)、V(b)分區(qū)的第一類條件概率密度CCPD1及其擬合函數(shù)(藍(lán)色對應(yīng)左邊y軸,*離散點(diǎn)代表CCPD1,藍(lán)實(shí)線代表其擬合函數(shù);紅色對應(yīng)右邊y軸,+離散點(diǎn)代表ln(CCPD1),紅點(diǎn)化線代表其擬合函數(shù))Fig.7 The first class conditional probability density of(a)III,(b)V sub-regions and its fitting function(Blue corresponds to the left y-axis,the*discrete point is CCPD1,and the blue solid line represents its fitting function.Red corresponds to the right y-axis,the+discrete point is ln(CCPD1),and the red dotted line represents its fitting function).

      綜合表4及圖7來看,用(1)式和上述擬合方法對各分區(qū)CCPD1整體擬合情況好,擬合目標(biāo)函數(shù)考慮到了CCPD的協(xié)方差及Ln(CCPD)的協(xié)方差兩項(xiàng)因素,即綜合考慮了擬合誤差與擬合相對誤差,用多因子基因遺傳算法來尋優(yōu),能使曲線頭尾得到兼顧,提高了強(qiáng)降雨段CCPD的擬合精度。

      根據(jù)概率密度函數(shù)可以計(jì)算概率分布,有了高精度的CCPD擬合函數(shù),就可以估算某重現(xiàn)期降雨量、年均降雨量、各降雨級別下雨量貢獻(xiàn)率與發(fā)生頻率等,此略。

      3.2 CCPD2的擬合

      由于函數(shù)定義域與CCPD1有了變化,降雨起點(diǎn)是0.2 mm,第1降雨等級0.1 mm不存在了,各降雨等級下權(quán)重系數(shù)類似圖6,但有所改變:第2、41、42降雨等級下權(quán)重系數(shù)分別取0.85、0.85、0.70,其余取1后平滑,再做均值為1的中心化處理。

      表5給出了六個分區(qū)CCPD2擬合參數(shù)與尋優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值,CCPD2目標(biāo)函數(shù)比表4中CCPD1目標(biāo)函數(shù)整體要小。由于擬合統(tǒng)計(jì)量與表4中比較RMSE更小,R2、RP更接近1,比如六個分區(qū)ln(CCPD2)擬合確定系數(shù)均值為0.9937,比ln(CCPD1)擬合確定系數(shù)均值0.9770高,故表5中擬合統(tǒng)計(jì)量略。V、VI兩分區(qū)是目標(biāo)函數(shù)最大的兩個區(qū)。

      表5 研究選定的六個分區(qū)CCPD2擬合參數(shù)與尋優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值Table5 FittingparametersandobjectivefunctionofCCPD2inresearchselectedsixsub-regions.

      從擬合效果來看,同CCPD1擬合時相比有提高,擬合函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)函數(shù)均吻合度更高。圖8以一線兩畫方式給出了V、VI兩分區(qū)的CCPD2及其擬合函數(shù),這是六個區(qū)中擬合效果最差的兩個區(qū),但與圖7相比效果更好。

      圖8 V(a)、VI(b)兩分區(qū)的第二類條件概率密度CCPD2及其擬合函數(shù)(說明同圖7)Fig.8 The 2nd conditional probability density of(a)V,(b)VI sub-regions and its fitting function(The description is the same as Fig.7).

      3.3 CCPD3的擬合

      擬合函數(shù)沿用(1)式,擬合方法與前面兩者有所不同,采用了一種簡便方法:指數(shù)n由人為經(jīng)驗(yàn)選取1/n得到,然后對ln(CCPD3)與xn進(jìn)行一次多項(xiàng)式擬合得出參數(shù)a、b,這種簡便方法雖然會降低擬合精度,但仍能得到好的擬合效果。表6給出了六個分區(qū)ln(CCPD3)擬合參數(shù)與擬合統(tǒng)計(jì)量,從表中擬合統(tǒng)計(jì)量看出,該簡便方法由于采用了(1)式對六個分區(qū)均能給出很好的擬合。

      表6 研究選定的六個分區(qū)ln(CCPD3)擬合參數(shù)與擬合統(tǒng)計(jì)量Table 6 Fitting parameters and statistical values of ln(CCPD3)in research selected six sub-regions.

      圖9以VI分區(qū)為例給出了CCPD3隨HCR歷時的變化情況及其擬合函數(shù)曲線,也是一線兩畫,擬合效果也很好,即使VI分區(qū)的擬合協(xié)方差最大、確定系數(shù)最小。

      圖9 VI分區(qū)第三類條件概率密度CCPD3及其擬合函數(shù)(說明同圖7)Fig.9 The 3rd class conditional probability density of VI subregion and its fitting function(The description is the same as Fig.7).

      3.4 三類CCPD的遞減率指數(shù)分析

      遞減率指數(shù)是由三個擬合參數(shù)組合而來,與exp(a)、b、n均成正比,反映CCPD曲線整體遞減率情況。海南島CCPD3遞減率指數(shù)為40.04,高出其他區(qū)17倍以上,故表7中排除了海南,給出了余下的五個分區(qū)三類CCPD遞減率指數(shù)與統(tǒng)計(jì)量,從表中可見:CCPD1遞減率指數(shù)雅安最大。雖然圖2b中難以區(qū)分不同分區(qū)的CCPD1曲線,但遞減率指數(shù)各分區(qū)之間差別大,最大與最小之間有一個量級上的差別,五個分區(qū)CCPD1的離差系數(shù)為0.476,利于從數(shù)據(jù)上整體反映各分區(qū)之間的差別。CCPD2遞減率指數(shù)鄂西南山地最大,雅安次之;CCPD3遞減率指數(shù)均值1.684,雅安最大,II區(qū)最??;比較三類CCPD遞減率指數(shù)五個區(qū)的平均值,CCPD1比CCPD2大一個數(shù)量級,CCPD2比CCPD3又大一個數(shù)量級,三類CCPD遞減率指數(shù)五個區(qū)的離差與均方差也存在類似的量級差別;比較三類CCPD遞減率指數(shù)的離差系數(shù),CCPD1分區(qū)間的差異性最大,CCPD3分區(qū)間的差異性最小。該離差系數(shù)可以代表降雨特征的地域差別大小,CCPD1中包含中小尺度降雨成分更重,地域差別大,離差系數(shù)便大;CCPD2由于過濾掉孤立逐時降雨而次之,CCPD3在降雨歷時大于3后的曲線走勢反映大范圍天氣系統(tǒng)性降雨的成分更濃,地域差別小,離差系數(shù)最小。三類CCPD包含中小尺度、大尺度降雨成分多寡的這種差別也是導(dǎo)致三類CCPD平均值、離差與均方差在類間量級上的差別。

      表7 各分區(qū)CCPD遞減率指數(shù)b·n·ea與統(tǒng)計(jì)值Table 7 Decline rate index of CCPD in subregions.

      4 結(jié)論

      (1)三類PD、CCPD曲線均是單調(diào)凸減函數(shù)、在雙對數(shù)圖上曲線均是單調(diào)凹減函數(shù),逐時降雨頻率各分區(qū)間差別大,導(dǎo)致PD差別也大,而三類CCPD分區(qū)間差別小,在曲線圖上難以分辯;三類CCPD遞減率指數(shù)分區(qū)之間差距明顯,能反映CCPD地域差異性。

      (2)用三參數(shù)冪函數(shù)的指數(shù)函數(shù)作為經(jīng)驗(yàn)公式來擬合,目標(biāo)函數(shù)考慮了CCPD的偏方差及CCPD對數(shù)的偏方差兩項(xiàng)因素,便綜合考慮了擬合誤差與擬合相對誤差,用多因子基因遺傳算法來尋優(yōu),能使曲線首尾得到了兼顧,提高了強(qiáng)降雨段類概率密度的擬合精度。該函數(shù)及擬合方法適用全部所選分區(qū)、三類CCPD。

      (3)對同一地域PD、CCPD均有反映降雨結(jié)構(gòu)的能力,對不同地域PD受降雨頻率影響致其能力被削弱,更側(cè)重于用來表征指定降雨出現(xiàn)的可能性,而CCPD1反映強(qiáng)、弱降雨出現(xiàn)的配比情況更直截,更側(cè)重于用來反映降雨結(jié)構(gòu)性特征,在表征強(qiáng)降雨出現(xiàn)的難易程度上比PD1效果會更好。

      (4)雅安降雨頻率是30°N線上四個分區(qū)中最大的,其CCPD1、CCPD2相對其它分區(qū)呈現(xiàn)兩端大、中間小的格局,特別是極端短時強(qiáng)降雨CCPD1比其他區(qū)高。

      (5)海南島屬熱帶海洋性季風(fēng)氣候,與其他分區(qū)不同有著獨(dú)特的降雨結(jié)構(gòu)特征,表現(xiàn)在強(qiáng)降雨區(qū)段CCPD1、CCPD2比其他區(qū)大,縱然其包含降雨頻率偏低、孤立性降雨占比多、逐時連續(xù)降雨歷時短、CCPD3遞減快偏態(tài)性強(qiáng)等降雨量不利因素,仍致年均降雨量偏大。

      (6)位置臨近的III、IV分區(qū),由于山地與平原的地理差別,導(dǎo)致降雨頻率兩區(qū)差距大,山區(qū)地形致降雨頻率增加,且主要是弱降雨的增加,強(qiáng)降雨反倒有所減少。對于非特殊地形結(jié)構(gòu)下的山地,由于地面摩阻力的增大,對強(qiáng)降水的發(fā)生總體上卻是不利因素,與雅安附近特殊的地形影響迥異。

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      電測與儀表(2015年7期)2015-04-09 11:40:16
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