具有時(shí)變時(shí)滯的離散時(shí)間隨機(jī)非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性分析

劉西奎,王繼秋,李 艷,莊繼晶

(1.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590; 2. 山東科技大學(xué)濟(jì)南校區(qū),山東 濟(jì)南 250031)

時(shí)間延遲現(xiàn)象普遍存在于許多實(shí)際系統(tǒng)中,例如:電路、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、多智能體系統(tǒng)等[1-4]。然而,時(shí)間延遲往往會(huì)降低動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的性能甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定[5]。因此,研究時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性和相關(guān)控制問(wèn)題很有必要。近年來(lái),隨著對(duì)控制系統(tǒng)等的關(guān)注,越來(lái)越多的學(xué)者開始研究具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題[6-7],目前常用的方法是區(qū)間時(shí)滯分解法,構(gòu)造適當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫函數(shù)是研究具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵。有限時(shí)間穩(wěn)定[8-9]和漸近穩(wěn)定[10-11]是兩種不同的穩(wěn)定概念。有限時(shí)間穩(wěn)定研究的是一個(gè)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)的狀態(tài)行為,需要預(yù)先給定系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的界限;而漸近穩(wěn)定研究的是系統(tǒng)在無(wú)限時(shí)間的狀態(tài)行為,不需要預(yù)先給出系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的界限。漸近穩(wěn)定描繪的是系統(tǒng)在無(wú)限時(shí)間下的性能,而無(wú)法反映系統(tǒng)在有限時(shí)間下的性能。因此,在工程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)有限時(shí)間下性能很差的漸近穩(wěn)定系統(tǒng)。在實(shí)際工程中,人們不僅要關(guān)注系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，更要關(guān)注系統(tǒng)的暫態(tài)性能。為了研究系統(tǒng)的暫態(tài)性能,Dorato[12]提出了有限時(shí)間穩(wěn)定的概念。Zhang等[13]引入倒立凸矩陣不等式，研究線性時(shí)滯系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[14]提出一種新的李雅普諾夫方法分析線性時(shí)滯系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定。文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[16]分別給出連續(xù)和離散時(shí)間線性時(shí)滯奇異系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定/鎮(zhèn)定的判據(jù)。文獻(xiàn)[17]研究連續(xù)時(shí)間線性時(shí)滯系統(tǒng)的有限時(shí)間有界跟蹤控制問(wèn)題。

在實(shí)際工程中,系統(tǒng)通常會(huì)受到一些非線性因素的干擾[18-19]。因此,非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題受到眾多學(xué)者的關(guān)注。Kang等[20]針對(duì)具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯和非線性擾動(dòng)的離散時(shí)間系統(tǒng),研究了系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題；構(gòu)造了一種新的李雅普諾夫-克拉索夫斯基函數(shù),采用離散Wirtinger型不等式、變互式凸組合方法和零等式,推導(dǎo)出改進(jìn)的有限時(shí)間穩(wěn)定性準(zhǔn)則。Stojanovic[21]在文獻(xiàn)[20]的基礎(chǔ)上,對(duì)于具有時(shí)變時(shí)滯和不確定項(xiàng)的離散時(shí)間非線性系統(tǒng),提出保守性較小的有限時(shí)間穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)[22]通過(guò)建立新的加權(quán)求和不等式,推廣了離散的Jensen’s型不等式,提出時(shí)滯非線性系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件,以保證系統(tǒng)的狀態(tài)不超過(guò)給定的閾值。文獻(xiàn)[23]通過(guò)引入自由模糊加權(quán)矩陣,提出一種與時(shí)滯相關(guān)的開環(huán)模糊系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性準(zhǔn)則,得到保守性更小的矩陣,以確保時(shí)滯模糊非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性。

基于上述討論,針對(duì)具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的離散時(shí)間非線性隨機(jī)系統(tǒng),研究該系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題。首先,給出該隨機(jī)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的定義。其次,提出一種新的李雅普諾夫泛函,其包含雙重求和項(xiàng)。采用一個(gè)新的有限和不等式處理李雅普諾夫泛函的前向差分,該不等式等同于Jensen’s不等式,但一定程度上降低了保守性。同時(shí),利用線性矩陣不等式給出系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件。最后,通過(guò)給出數(shù)值例子說(shuō)明結(jié)果的有效性。

文中的符號(hào)表示如下:N0={-hM,-hM+1,…,-1,0},N={1,2,3,…,N},Rn表示n維歐氏空間,Rn×m表示維數(shù)為n×m的實(shí)矩陣。對(duì)于矩陣P∈Rn×n,P-1和PT分別表示P的逆矩陣和轉(zhuǎn)置,λmax(P)和λmin(P)分別表示矩陣P的最大特征值和最小特征值。P>0(P≥0)表示P是正定(半正定)矩陣。

1 問(wèn)題分析

考慮具有時(shí)變時(shí)滯的離散時(shí)間非線性隨機(jī)系統(tǒng)

(1)

其中:x(k)∈Rn是狀態(tài)向量；M,Md,D∈Rn×n是具有適當(dāng)維數(shù)的常矩陣；h(k)為區(qū)間時(shí)變時(shí)滯且滿足0

(2)

g1(x(k),k)和g2(x(k-h(k)),k)分別是對(duì)于狀態(tài)x(k)和離散時(shí)滯狀態(tài)x(k-h(k))的未知非線性擾動(dòng),滿足條件

其中F和Fd是已知的實(shí)矩陣。

如果系統(tǒng)(1)不包含非線性擾動(dòng),則得到如下標(biāo)稱系統(tǒng)

(3)

為了研究具有時(shí)變時(shí)滯的離散時(shí)間非線性隨機(jī)系統(tǒng)(1)的有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題,引入以下定義和引理。

1)T<0;

引理2[36]對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)的矩陣U>0,UT>0,U∈Rn×n,S∈Rm×n,正整數(shù)h1,h2,h2>h1和正常數(shù)γ,滿足不等式

其中,y(k)=x(k+1)-x(k),ξ(k)∈Rm×1是適當(dāng)?shù)南蛄亢瘮?shù),ρ是正常數(shù)且滿足

2 具有非線性擾動(dòng)的隨機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定

本節(jié)將給出系統(tǒng)(1)有限時(shí)間穩(wěn)定與漸近穩(wěn)定的充分條件。

(4)

λ1I

(5)

γΝ[α(λ2+δ1λ4+δ2λ6)+δ(δ3λ7+δ4λ8)]-β[λ1+δ1λ3+δ2λ5]<0,

(6)

其中：

Ξ1=(Γij)6×6,

Γ66=P+Q12-εdI,Q12=(hM-hm)Q1+hmQ2,

(7)

(8)

則系統(tǒng)(1)關(guān)于(α,β,Ν)有限時(shí)間穩(wěn)定。

證明:構(gòu)造如下李雅普諾夫泛函

V(k)=V1(k)+V2(k)+V3(k),k∈N,

(9)

其中,

V1(k)=xT(k)Px(k),

沿著系統(tǒng)(1)的軌跡,分別得V1(k),V2(k),V3(k)的前向差分:

E{ΔV1(k)}=E{V1(k+1)-V1(k)}

=E{xT(k+1)Px(k+1)+(γ-1)V1(k)-γV1(k)}

=E{(γ-1)V1(k)+xT(k)(MTPM+DTPD-γP)x(k)+2xT(k)MTPg1(x(k),k)

+2xT(k)MTPMdx(k-h(k))+2xT(k)MTPg2(x(k-h(k)),k)

(10)

E{ΔV2(k)}=E{V2(k+1)-V2(k)}

=E{(γ-1)V2(k)+xT(k)(W1+W2)x(k)

-γhMxT(k-hM)W1x(k-hM)-γhmxT(k-hm)W2x(k-hm)},

(11)

E{ΔV3(k)}=E{V3(k+1)-V3(k)}

(12)

=E{(γ-1)V3(k)+yT(k)[(hM-hm)Q1+hmQ2]y(k)

(13)

由引理2和(13)得：

(14)

(15)

其中：

通過(guò)式(10)～(15)及不等式(16):

(16)

得

E{ΔV(k)}≤E{xT(k)[MTPM+DTPD-γP]x(k)

+xT(k)[W1+W2+(M-I)TQ12(M-I)+DTQ12D]x(k)

+2xT(k)(MTPMd+(M-I)TQ12Md)x(k-h(k))

+2xT(k)(MTP+(M-I)TQ12)g1(x(k),k)

+2xT(k)(MTP+(M-I)TQ12)g2(x(k-h(k)),k)

-γhMxT(k-hM)W1x(k-hM)-γhmxT(k-hm)W2x(k-hm)

(17)

即

(18)

根據(jù)引理1,不等式(4)等價(jià)于

(19)

從而式(18)化簡(jiǎn)為

E{ΔV(k)-(γ-1)V(k)}<0,

(20)

進(jìn)一步計(jì)算,得

E{V(k)}<γkE{V(0)},k∈N。

(21)

根據(jù)V(k)的定義,有

(22)

=α(λmax(P)+δ1λmax(W1)+δ2λmax(W2))+δ(δ3λmax(Q1)+δ4λmax(Q2))。

(23)

由式(6)得

γΝ[α(λmax(P)+δ1λmax(W1)+δ2λmax(W2))+δ(δ3λmax(Q1)+δ4λmax(Q2))]
<β[λmin(P)+δ1λmin(W1)+δ2λmin(W2)]。

根據(jù)式(21)～(23)及(5),得

即

(24)

考慮不等式(2)及(24)，得

E{xT(k)x(k)}<β,k∈N,

故系統(tǒng)(1)關(guān)于(α,β,Ν)有限時(shí)間穩(wěn)定。

本研究與文獻(xiàn)[20,21]相比,考慮了系統(tǒng)的隨機(jī)性,進(jìn)一步討論了具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的離散時(shí)間非線性隨機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題。

注1構(gòu)造李雅普諾夫泛函的方法不同于文獻(xiàn)[18,20],使用估計(jì)延遲狀態(tài)加權(quán)范數(shù)的有限和不等式,更精確地估計(jì)李雅普諾夫-克拉索夫斯基泛函初值的上界和下界,從而獲得保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。值得注意的是,當(dāng)D=0時(shí),定理1即為文獻(xiàn)[21]中的定理1。因此,本研究的結(jié)果更具有一般性。

注2對(duì)于隨機(jī)系統(tǒng)(1),有限時(shí)間穩(wěn)定性準(zhǔn)則的保守性受不等式(21),(22)和(23)的限制?？紤]具有冪函數(shù)γk-j-1的李雅普諾夫函數(shù),得E{V(k)}<γE{V(k-1)},即E{V(k)}<γkE{V(0)}。E{V(0)}<Θ1,E{V(k)}>Θ2,其中Θ1和Θ2分別是E{V(0)}上界的估計(jì)值和E{V(k)}下界的估計(jì)值，這些估計(jì)依賴于參數(shù)α,β,N,hm,hM,δ和γ。此方法能精確地估計(jì)上界和下界,從而獲得保守性較小的有限時(shí)間穩(wěn)定性準(zhǔn)則。

特別的,當(dāng)γ=1時(shí),定理1變?yōu)橄到y(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定的充分條件，即如下推論。

其中:

則系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定。

證明:當(dāng)γ=1時(shí),式(20)變?yōu)镋{ΔV(k)}<0，從而系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定。

3 標(biāo)稱系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定

在本節(jié),當(dāng)g1(x(k),k)=g2(x(k-h(k)),k)=0時(shí),定理1變?yōu)闃?biāo)稱系統(tǒng)(3)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件,如定理2。

λ1I

γΝ[α(λ2+δ1λ4+δ2λ6)+δ(δ3λ7+δ4λ8)]-β[λ1+δ1λ3+δ2λ5]<0,

其中:

則標(biāo)稱系統(tǒng)(3)關(guān)于(α,β,Ν)有限時(shí)間穩(wěn)定。

證明:根據(jù)定理1及(3)，定理2顯然成立。

特別的，當(dāng)h(k)=h時(shí),得到以下推論。

其中:

則系統(tǒng)(3)關(guān)于(α,β,Ν)有限時(shí)間穩(wěn)定。

證明:構(gòu)造如下李雅普諾夫泛函

V(k)=V1(k)+V2(k)+V3(k),

其中:

證明類似于定理1，此處不再贅述。

4 仿真例子

本節(jié)給出兩個(gè)數(shù)值例子來(lái)說(shuō)明所得結(jié)果的有效性。

例1給定系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣

考慮以下參數(shù):

ε=5,εd=1.21,λ1=0.412 4,λ2=0.413 3,λ3=0.110,λ4=0.125,

λ5=0.09,λ6=0.12,λ7=0.21,λ8=0.31,γ=1.41,N=5。

為了驗(yàn)證穩(wěn)定性,選擇以下初始值:

顯然,初始值滿足以下條件:

supj∈{-5,-4,…,-1}(φT(j)φ(j))≤α=3,

supj∈{-5,-4,…,-1}(φ(j+1)-φ(j))T(φ(j+1)-φ(j))≤δ=0.2。

根據(jù)定理1,解線性矩陣不等式(4)-(6),得系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(k)滿足E{xT(k)x(k)}≤69.997 1。圖1、圖2分別表示狀態(tài)x(k)的響應(yīng)及E{xT(k)x(k)}的演化。從圖2可以看出,E{xT(k)x(k)}的演化不超過(guò)β=69.997 1。因此,隨機(jī)系統(tǒng)(1)關(guān)于(3,69.997 1,5)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

圖1 狀態(tài)變量x(k)的響應(yīng)Fig. 1 The response of state vector x(k)

圖2 E{xT(k)x(k)}的演化

表1中對(duì)比了當(dāng)2≤h(k)≤5,Ν取不同值時(shí)，定理1和定理2中參數(shù)β的最小上界。可以看出,定理2的β最小上界小于定理1的。因此,沒(méi)有時(shí)變時(shí)滯和非線性干擾的系統(tǒng)，其穩(wěn)定性準(zhǔn)則的保守性更小。

表1 當(dāng)2≤h(k)≤5時(shí)，系統(tǒng)(1)中參數(shù)β的最小上界

例2為了便于比較,給出標(biāo)稱系統(tǒng)(3)的系數(shù)矩陣

及參數(shù)λ1=0.412 3,λ2=0.412 4,λ3=0.111,λ4=0.177,λ5=0.09,λ6=0.13,λ7=0.20,λ8=0.32,γ=1.32。

表2表示時(shí)滯h(k)∈[2,5],Ν取不同值時(shí),標(biāo)稱系統(tǒng)(3)的參數(shù)β的最小上界。從表中可以看出定理2的β最小上界比文獻(xiàn)[21]中推論5的更小,但隨著N的增大,β的最小上界值越來(lái)越接近。可見(jiàn)，在考慮系統(tǒng)的隨機(jī)性后,N在一定的范圍內(nèi),其穩(wěn)定性判據(jù)的保守性略小。

表2 當(dāng)2≤h(k)≤5時(shí)，系統(tǒng)(3)中參數(shù)β的最小上界

5 結(jié)論

本研究討論了具有時(shí)變時(shí)滯的離散時(shí)間隨機(jī)非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題，構(gòu)造了一個(gè)具有冪函數(shù)γk-j-1和新的求和項(xiàng)的李雅普諾夫泛函,給出了隨機(jī)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件。通過(guò)使用線性矩陣不等式方法,得到保守性較小的穩(wěn)定性判據(jù)。對(duì)于常時(shí)滯離散時(shí)間隨機(jī)非線性系統(tǒng),給出了該系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件。最后，通過(guò)數(shù)值例子證明本研究的結(jié)果是有效的。值得注意的是,本研究方法可以應(yīng)用于其他系統(tǒng)，例如馬爾可夫跳躍系統(tǒng)、奇異系統(tǒng)和離散自治系統(tǒng)等。