許冬保

（九江市第一中學，江西 九江 332000）

1 兩個不等量異種點電荷靜電場的研究

1.1 電場線與等勢面分布圖

在真空中，有兩個不等量的異種點電荷.若取q1=2｜q2｜，借助于軟件 MATLAB，可以得到其電場線與等勢面分布圖，［1］如圖1所示（原圖僅保留圖形，參數及背景作了處理）.圖1中，左邊是正的點電荷，電荷量為q1，右邊是負的點電荷，電荷量為-q2.圖1相對于兩個等量的異種點電荷的電場線與等勢面分布圖（圖2）有很大的不同.電場線與等勢面對兩點電荷連線對稱，對中垂線不對稱.圖1表明：從電荷量大的正電荷發(fā)出的電場線較多，到電荷量小的負電荷終止的電場線較少.等勢線在接近電荷的地方類似于圓或橢圓，在較遠處的等勢線發(fā)生扭曲.

圖1 兩個不等量異種點電荷電場線與等勢面分布圖

圖2 兩個等量異種點電荷電場線與等勢面分布圖

1.2 兩點電荷連線上場強與電勢的分析

在兩點電荷連線上研究電勢與場強的變化規(guī)律具有實際意義與應用價值.

如圖3所示，若q1=2｜q2｜=2q，令兩點電荷之間的距離為l，靜電力常量為k.為簡單計，僅分析坐標原點右側的情形.根據真空中場強及電勢的計算公式及場疊加原理，可以得到

圖3 兩個不等量異種點電荷電場的分析

討論如下.［2］

（1）在兩點電荷之間的連線上，即（0＜x＜l）區(qū)域.

對（1）式求導數，有

當x≈0.558l時.因此，場強E有極小值.對應場強大小為

（2）在兩點電荷連線外側（圖3中右側），即（l＜x＜∞）區(qū)域.

對（2）式求導數，有

當x≈4.846l時因此，場強有極大值.對應場強大小為

令（4）式為0.得x=2l處，電勢為0.

對（4）式求導數，有

可見，當E=0時，有

注意：若令（2）式為0，所得結果與之相同.以上結果表明，場強為0的點，相應的電勢取極大值.

1.3 兩點電荷連線方向上場強與電勢隨距離變化的圖像

若取兩點電荷連線為x軸，原點O在正點電荷處.綜上分析，可以定性畫出場強、電勢隨x變化的曲線.圖4、圖5所示.在圖4中，取x正方向為場強方向.由圖4可知：-∞＜x＜0，場強E隨｜x｜減小而增大；0＜x＜l，場強E隨x增大，先減小后增大；l＜x＜∞，場強E隨x增大，先減小后增大再減小，存在場強E為0的點，并且場強E從0增大所能達到的峰值小于在0＜x＜l區(qū)域內的極小值.

圖4 兩點電荷沿連線方向上Ex圖像

在圖5中，無窮遠處φ=0.由圖5可知：-∞＜x＜0，電勢φ隨｜x｜減小而增大；0＜x＜l，電勢φ隨x增大逐漸減小，其中B點電勢φ=0.A點對應場強E最小的點，其距離原點O的距離較B點近；l＜x＜∞，電勢φ隨x增大，先增大后減小，存在電勢φ為0的C點，且D點電勢φ最大.

圖5 兩點電荷沿連線方向上φx圖像

綜上，在x軸上，除無窮遠處之外，存在場強E為0的點一處，且位于兩點電荷連線之外靠近負電荷處（即在l＜x＜∞區(qū)域內）.同時，在l＜x＜∞區(qū)域內場強E為0的點電勢最高；除無窮遠處之外，存在電勢為0的點有兩處，一處在兩點電荷連線之間靠近負電荷處（即在0＜x＜l區(qū)域內），另一處在連線外側靠近負電荷處（即在l＜x＜∞區(qū)域內）.

1.4 兩點電荷連線方向上場強為0處電場線的分布

如上所述，在兩點電荷連線之外側靠近負的點電荷處場強為0，場強為0的點沒有電場線通過，但是該點之外存在電場，因此，場強為0的點是一個很特殊的“拐點”，如何畫出該點附近的電場線呢？如圖6（甲）所示，是大學電磁學［3］教材上的一幅插圖，且正電荷所帶電荷量是負電荷所帶電荷量絕對值的兩倍.圖6（甲）中右側電場線分布4個箭頭，其含義是場強為0的“拐點”處電場線分布的多樣性.為便于分析實際問題，基于高中學生的認知水平，將圖6進行編輯，得到如圖6（乙）、（丙）所示的圖形.

圖6 不等量異種點電荷電場線分布圖

2 實例分析

2.1 作為電場中一般性問題進行考查

例 1.（2020 屆 湖北省華師一附中高三下學期4月測試題）如圖7所示，實線為兩個點電荷Q1、Q2產生的電場的電場線，虛直線cd為Q1、Q2連線的垂直平分線，O為垂足，c、d兩點在垂直平分線上且關于Q1、Q2連線對稱.一電子只在電場力的作用下從a點沿虛曲線途經O點運動到b點.下列說法正確的是

圖7 電子在電場中運動軌跡圖

（A）Q1的電荷量小于Q2的電荷量.

（B）c、d兩點的電勢相同，場強相同.

（C）電子過O點時的加速度大于過a點時的加速度.

（D）電子在O點時的電勢能小于在a點時的電勢能.

解析：根據題圖7所示的電場線的分布，可知兩電荷為不等量異種電荷，且Q1的電荷量大于Q2的電荷量，選項（A）錯誤；由電場線對兩電荷連線上、下分布的對稱性知，c、d兩點的場強大小相等，方向不同，但c、d兩點的電勢相等，選項（B）錯誤；電場線的疏密程度表示場強的弱強，EO＞Ea，電子僅受電場力，由牛頓運動定律可知電子過O點時的加速度大于過a點時的加速度，選項（C）正確；電子帶負電，電子所受合外力指向軌跡的凹側，所以Q1帶正電，Q2帶負電.作出通過O點的等勢線，可知該等勢線在a點與電荷Q1之間，因此，電子由a點至O點電場力做正功，電勢能減少，選項（D）正確.綜上，正確選項是（C）、（D）.

點評：試題取材兩個不等量異種點電荷電場線分布圖，討論有關靜電場的基本問題.該題不涉及場的分布特點，屬簡單題.主要考查理解能力及簡單的推理論證能力.

此地為“絲綢之路”之要道。早在2800多年前，這里就有人類繁衍生息，在這樣一個充滿歷史記憶和特殊人文地理的地方，如何以藝術的方式進一步闡釋其文化訴求，并拉動區(qū)域經濟和文化資源，是擺在我們面前的問題。因而，實現(xiàn)這一構想，找到闡釋這一構想的切入點，就成為決定事情成敗的關鍵。因此，專家團在縣領導的引導下，數次進行了實地考察。

2.2 對兩點電荷之間連線設問考查

例2.（2020年江西九江第一中學模擬試題）在x軸上有兩個點電荷Q1和Q2，二者之間連線上各點的電勢高低變化曲線如圖8所示，若選無窮遠處電勢為0.以下結論正確的是

圖8

（A）Q1為正電荷、Q2為負電荷.

（B）從A到B場強一直減小.

（C）P點的電場強度為0.

（D）Q1和Q2之間連線上P點場強最小.

解析：由φx圖像知，沿x方向從A到B，電勢由正值變?yōu)樨撝?，一直在降低，且P點的電勢為0.因此，場強方向由A指向B；Q1為正電荷、Q2為負電荷.由圖像還可以得到：圖線斜率的絕對值先減小后增大，該斜率大小表示場強大小.因此，從A到B沿x方向，場強先減小后增大，P點不是場強最小的點.綜上，正確選項是（A）.

點評：本題對兩個不等量異種點電荷連線之間電場的性質進行考查.分析的關鍵在于理解φx圖像中某點切線斜率的絕對值表示場強大小，即而場強方向由電勢的升降來確定.對照圖5還可以分析得到，Q1電荷量大于Q2的電荷量.在一些輔導資料中，由于圖8曲線畫法的錯誤，致使選項（D）選擇的錯誤（認為（D）正確）.試題主要考查理解能力與推理論證能力.

2.3 對兩點電荷連線外側設問考查

例3.（2017年江蘇高考物理試題）在x軸上有兩個點電荷q1、q2，其靜電場的電勢φ在x軸上分布如圖9所示.下列說法正確有

圖9

（A）q1和q2帶有異種電荷.

（B）x1處的場強為0.

（C）負電荷從x1移到x2，電勢能減少.

（D）負電荷從x1移到x2，受到的電場力增大.

解析：由題圖9并結合圖5可以得知，在兩個點電荷中，分布在x軸上左側的電荷量較大，且為正電荷.如上所述，φx圖像某點切線斜率的絕對值表示場強大小，因此，根據電勢的變化率可以確定x2處的場強為0；負電荷從x1移到x2，逆著電場線方向運動，電場力做正功，電勢能減少；該過程中，負電荷受到的電場力減小.綜上，正確選項是（A）、（C）.

點評：該題考查的是兩個不等量異種點電荷連線外側電場的有關性質.由于x軸上x1處電勢為0，x2處場強為0，據此找到x1-x2之間的電場線的分布以及場強的變化規(guī)律.試題主要考查理解能力與推理論證能力.

2.4 對兩點電荷連線之內外側同時進行設問考查

例4.（2018年9月清華大學中學生標準學術能力測試題）在x軸上的O、M兩點固定兩個電荷量分別為Q1和Q2的點電荷，規(guī)定無限遠處電勢為零.一帶負電的試探電荷在x軸上各點所具有的電勢能隨x發(fā)生變化的關系圖線如圖10所示，其中試探電荷在A、B兩點的電勢能為0，在BD段中C點電勢能最小，則下列說法中正確的是

圖10

（A）Q1的電荷量大于Q2的電荷量.

（B）Q1為負電荷，Q2為正電荷.

（C）試探電荷在由B到C的過程中加速度逐漸增大.

（D）試探電荷由B運動到D的過程中，在C處的速度最大.

解析：為方便分析，取試探電荷的電荷量為-1C，則圖中描述的是電勢φ隨x變化的規(guī)律（注意圖線對x軸上、下翻轉）.由于A點電勢為0，且圖中OA間距較AM較大，則Q1電荷量較大，且Q1為正電荷，Q2為負電荷.由于電勢變化率的值等于場強大小，在x軸上由B至D，場強先減小后增大，顯然，C處對應的場強為0，C處兩側場強的方向相反.即BC段對應的場強方向向左，CD段場強方向向右.帶負電的試探電荷在由B到C的過程中加速度逐漸減小.帶負電的試探電荷由B運動到D的過程中，電場力先做正功后做負功，故在C處試探電荷的速度最大.綜上，正確選項是（A）、（D）.

點評：該題以帶負電的試探電荷的Epx圖像為情境，比較全面地考查兩個不等量異種點電荷連線上電場的變化規(guī)律，要求能將Epx圖像轉化為φx圖像.對理解能力、模型建構能力及推理論證能力的要求較高.