一階線性變系數(shù)對流方程的穩(wěn)定性分析

張?zhí)鹛?，許文文，郭紅，杜明洋，余昌彪

(齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山東 濟南 250301)

變系數(shù)對流擴散方程對研究自然界和實際工程中的很多物理現(xiàn)象具有重要意義，且在眾多學(xué)科中的應(yīng)用極其廣泛，如流體力學(xué)、氣體力學(xué)等[1-2]。在研究此類問題時，擴散項的計算相對簡單，對流方程的計算通常是研究重點。

一階變系數(shù)對流方程在自然科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用背景較廣泛。王國棟等[3]將迎風(fēng)格式應(yīng)用到一階變系數(shù)對流方程的推廣模型交通流中，并通過新的格式模擬相關(guān)實例；Chen 等[4]通過耗散譜方法求解一階變系數(shù)雙曲方程(對流方程是最簡單的雙曲方程)，通過傅里葉耗散譜方法討論周期問題，通過Legendre耗散譜方法討論邊界問題，且列出嚴(yán)格的誤差估計式； Aguirre等[5]在以Hermit函數(shù)為正交基的Herbert空間里開展對一階變系數(shù)雙曲方程周期邊界問題的研究，通過理論分析給出了收斂階 。關(guān)于對流方程的傳統(tǒng)數(shù)值解差分格式有迎風(fēng)格式、Lax-Friedrichs格式、Lax-Wendroff格式、Beam-Warming格式和蛙跳格式。其中，迎風(fēng)格式的基本思想是用向前差商或向后差商來代替空間偏導(dǎo)數(shù)，其關(guān)于時間和空間都是一階的，且是條件穩(wěn)定的，算法在計算機上便于實現(xiàn)，因此在實際計算中受到廣泛重視，并得到了一些好的方法和技巧。本文我們將采用迎風(fēng)格式逼近一階變系數(shù)對流方程并探索格式的穩(wěn)定性條件[6-9]。

常系數(shù)問題差分格式的穩(wěn)定性分析一般采用傅里葉方法和直接方法[9-11]，但是變系數(shù)問題的穩(wěn)定性分析相對復(fù)雜，通常不采用上述兩種方法，目前國內(nèi)外關(guān)于一階變系數(shù)對流方程穩(wěn)定性的相關(guān)研究較少。對于變系數(shù)方程差分格式穩(wěn)定性問題，能量不等式方法是一個嚴(yán)格且很有技巧的方法。用能量不等式方法討論差分格式穩(wěn)定性是從穩(wěn)定性的定義出發(fā)，通過一系列估計式完成的，這個方法是偏微分方程中常用的能量方法的離散模擬[9]。本文將采用能量不等式方法分析一階變系數(shù)對流方程迎風(fēng)格式的穩(wěn)定性條件，分別就變系數(shù)的正負(fù)取值情況并結(jié)合凍結(jié)系數(shù)法驗證網(wǎng)格比條件，進而推導(dǎo)出穩(wěn)定性條件，最后進行數(shù)值模擬驗證理論分析的正確性。

1 一階線性變系數(shù)對流方程初值問題

對于簡單的一階線性變系數(shù)對流方程的初值問題:

(1.1)

如果a(x,t)對x和t都是一次連續(xù)可微的，那么a(x,t)光滑變化，與常系數(shù)情形類似，(1.1)式的特征線滿足的方程為：

(1.2)

令x=x(t,x0)和u(x,t)分別是方程(1.1)和方程(1.2)的解，則：

(1.3)

于是，方程(1.1)的解沿特征線為常數(shù)。此時特征線為曲線，且有：

u(x,t)=u0(x),x=x(t,x0)。

(1.4)

因此，我們將已學(xué)常系數(shù)方程推導(dǎo)的差分格式推廣到變系數(shù)方程(1.1)。

2 迎風(fēng)格式

設(shè)初值問題(1.1)的解區(qū)域為[0,l]×[0,T]，將此區(qū)域沿x軸和t軸方向進行矩形網(wǎng)格剖分，其中空間步長為Δx=h=l/J，時間步長為Δt=τ，網(wǎng)格點記為(xj,tn)，網(wǎng)格線可寫作:

xj=jΔx=jh,j=0,1,2,…,J，

tn=nΔt=nτ,n=0,1,2,…。

由于變系數(shù)對流方程(1.1)的迎風(fēng)差分格式是對流方程關(guān)于空間偏導(dǎo)數(shù)用在特征線方向一側(cè)的單邊差商來代替的，且其系數(shù)a(x,t)符號是變化的，因此迎風(fēng)格式可以寫成如下兩種形式：

(2.1)

(2.2)

|λj(G(τ,k))|≤1+Mτ,j=1,2,…,p，

其中|λj(G(τ,k))|表示增廣矩陣G(τ,k)的特征值，M為常數(shù)[9]。此條件稱為von Neumann條件。

3 穩(wěn)定性分析

(3.1)

vn+1eikjh=vneikjh-aλ(vneikjh-vneik(j-1)h)，

(3.2)

兩邊同時消去公因子eikjh得：

vn+1=vn[1-aλ(1-e-ikh)]，

(3.3)

所以增長因子為：

(3.4)

則有

|G(τ,k)|2=[1-aλ(1-coskh)]2+a2λ2sin2kh

(3.5)

接下來我們分情況討論迎風(fēng)格式穩(wěn)定性：

(3.6)

(3.7)

網(wǎng)格比滿足條件：

(3.8)

根據(jù)基本不等式a2+b2≥2ab并進一步化簡有：

用h乘上式兩邊并對j求和，記離散范數(shù)：

(3.9)

那么有：

(3.10)

(3.11)

(3.12)

從而有

(3.13)

重復(fù)使用上式有：

(3.14)

(3.15)

同理可知網(wǎng)格比滿足如下條件：

(3.16)

根據(jù)基本不等式a2+b2≥2ab并進一步化簡有：

用h乘上式兩邊并對j求和，記離散范數(shù)：

(3.17)

那么有：

(3.18)

(3.19)

(3.20)

從而有

(3.21)

重復(fù)使用上式有：

(3.22)

4 數(shù)值算例

現(xiàn)在通過一個簡單的數(shù)值例子驗證用能量不等式的方法分析變系數(shù)對流方程的初值問題的迎風(fēng)格式的穩(wěn)定性條件。

對于初值問題：

u(x,t)=x2et。

(4.1)

取空間步長h=0.01, 時間步長τ=0.01，則λ=1，將迎風(fēng)格式計算到tn=0.1時，計算得到初值問題的迎風(fēng)格式的數(shù)值解與解析解，然后將數(shù)值解與解析解進行對比判斷此初值問題的穩(wěn)定性，參考文獻[12]，對隨機選取的部分輸出結(jié)果進行對比，見表1。

表1 數(shù)值解與解析解

從表中數(shù)據(jù)可知，迎風(fēng)格式的數(shù)值解與解析解的誤差很小，即可認(rèn)為此初值問題是穩(wěn)定的。

圖1和圖2為輸出迎風(fēng)格式的數(shù)值解圖像與解析解圖像，x軸代表空間方向的長度，y軸代表時間方向的長度，圖1的z軸是所研究初值問題的迎風(fēng)格式關(guān)于x軸和y軸的數(shù)值解u(x,t)，圖2中的z軸是所研究初值問題關(guān)于x軸和y軸的解析解z(x,t)。從迎風(fēng)格式的數(shù)值解與解析解圖像可以直觀地看出此初值問題的迎風(fēng)格式是穩(wěn)定的。

圖1 迎風(fēng)格式數(shù)值解Fig.1 Upwind scheme numerical solution

圖2 解析解Fig.2 Analytical solution

5 結(jié)語

本文采用迎風(fēng)格式逼近變系數(shù)對流方程，然后通過凍結(jié)系數(shù)法求出一階變系數(shù)對流方程的迎風(fēng)格式穩(wěn)定需要滿足的網(wǎng)格比條件。再對其迎風(fēng)差分格式通過能量不等式的方法并結(jié)合凍結(jié)系數(shù)法得出的網(wǎng)格比條件進行討論得出其穩(wěn)定性條件。最后通過一個數(shù)值算例對比其解析解與數(shù)值解，驗證穩(wěn)定性條件的正確性。