曹銀萍 李昊 萬志國 竇益華

(西安石油大學機械工程學院)

0 引 言

在修井鉆磨銑期間，質量偏心或共振會使鉆柱振動。鉆柱振動主要包括橫向振動、縱向振動以及扭轉振動，其中橫向振動是鉆柱渦動的主要原因。鉆柱渦動是指鉆柱在鉆進時偏離井筒軸線，發(fā)生繞軸線的不規(guī)則公轉運動，當鉆柱公轉半徑大于鉆柱與套管的單邊環(huán)空間隙時，鉆柱會與套管內壁接觸，對套管造成磨損，磨損主要以沖擊磨損和滑動磨損為主。鉆柱橫向振動對井壁造成的沖擊，會使套管內壁發(fā)生變形。此外，鉆柱沿套管內壁周向滾動時，也會對套管造成磨損，導致其強度降低，影響其使用壽命，磨損嚴重時還會導致井下事故的發(fā)生，造成重大損失。因此，對鉆磨期間的套管磨損體積進行分析計算，得到磨損套管的剩余強度，對油井安全穩(wěn)產很有意義。

鉆柱渦動最早在20世紀60年代被提出，鉆柱在井下除了繞自身的軸線進行旋轉外，在壓力、拉力、離心力和扭矩的聯(lián)合作用下，鉆柱軸線彎曲成曲線形狀，鉆柱軸線還會繞井軸線旋轉[1]。章楊烈[2]通過模擬試驗，提出了鉆柱旋轉時發(fā)生渦動的動力學模型，該模型僅對兩個接頭間的單根鉆桿發(fā)生的彎曲進行了分析，忽略了鉆柱接頭對鉆柱渦動的影響。史玉才等[3]運用下部鉆柱運動狀態(tài)模擬試驗裝置，分析了下部鉆柱渦動機理及規(guī)律，得到轉速與鉆柱渦動頻率的關系，并指出在臨界轉速附近鉆柱渦動軌跡更加復雜。陳烙印[4]使用MATLAB軟件，建立兩端鉸支的梁單元有限元模型，對鉆井期間的鉆柱進行了動力學仿真，得到了鉆柱的渦動特性，但該模型忽略了鉆柱接頭對套管的碰磨，且有限元模型為兩端鉸支，與實際工況不相符。李茂生[5]進行了基于拉格朗日算法的鉆柱與井壁碰撞動力學仿真，并分析了環(huán)空間隙對套管渦動的影響，指出了在鉆柱與套管的碰撞中，絕大部分是鉆柱接頭與套管的碰撞。該模型僅對接頭沿井筒徑向運動進行了模擬，忽略了鉆柱渦動的隨機性。R.SAMUEL等[6]提出了鉆桿與套管碰磨造成的沖擊磨損體積計算模型，該模型計算結果與其他計算方法相比更接近試驗數(shù)據(jù)，但只分析了一種鉆桿與套管組合的計算結果。祝效華等[7]利用有限元法建立了綜合考慮多種效應的三維井眼全井鉆柱系統(tǒng)動力學模型，開發(fā)了鉆柱系統(tǒng)動力學特性仿真軟件。姚永漢等[8]利用井底鉆具組合動力學特性的模擬程序，模擬了鉆鋌形心的徑向速度、徑向加速度、渦動加速度、渦動速度功率譜以及相圖，較全面地反映了井底鉆具組合的動力學特性。胡以寶等[9]提出鉆柱與井壁碰撞頻繁，過大的橫向加速度和縱向加速度會使鉆柱進入渦動狀態(tài)甚至混沌運動狀態(tài)。許杰等[10]建立了完井期間管柱下入不同井深的模型，分析了管柱與井眼曲率的適應性，其有限元模型的邊界條件和網(wǎng)格劃分方式具有一定的參考價值。田家林等[11]提出只有考慮鉆柱井壁摩擦隨機性，才能準確評價鉆柱動力學特性，此結論在修井鉆磨期間同樣適用。

根據(jù)鉆柱的實際使用情況，鉆桿在井口位置由井口轉盤夾持，帶動鉆柱整體轉動，因此可以在模型中將井口位置的鉆柱簡化為鉸支支撐；而在井底位置，磨鞋在鉆壓的加持下與落物接觸，但在鉆柱發(fā)生渦動時，鉆柱在井筒軸線方向上會由直線狀態(tài)變?yōu)閺澢鸂顟B(tài)，這使磨鞋沿井筒軸線方向向上抬升。因此，井底位置不能簡化為鉸支支撐，還應該具有沿井筒軸線平動的自由度。由此可見，現(xiàn)有兩端鉸支的鉆柱模型不能真實地反映鉆柱在鉆進時的渦動情況，應對該模型進行改進，使其更加符合實際工況。

1 鉆柱動力學模型建立

1.1 模型基本假設

鉆柱在井筒中旋轉時，除了自轉外，還存在公轉、橫向振動、縱向振動和扭轉振動的耦合運動。在修井磨銑期間，由于狗腿度、質量偏心和鉆井液等因素的存在，鉆柱的運動工況十分復雜，這會導致鉆柱在井筒中的運動十分復雜，而復雜的運動會導致鉆柱與套管內壁頻繁、隨機的碰撞，難以用解析解描述[12]， 因此采用有限元方法對其進行數(shù)值分析，并針對在套管中旋轉的鉆柱提出了以下基本假設：

(1)鉆桿為三維彈性梁；

(2)井筒中套管未發(fā)生變形，截面為圓環(huán)；

(3)忽略鉆井液流動特性對鉆柱動力學的干擾；

(4)考慮鉆柱接頭對鉆桿運動的影響，將其簡化為大截面鉆柱。

在上述假設的基礎上進行鉆柱動力學模型的建立并求解。

1.2 鉆柱動力學模型建立

根據(jù)哈密爾頓原理，建立鉆柱系統(tǒng)的動力學方程，對該動力學方程采用Newton-Raphson迭代法進行位移求解[13]，使用Newmark法計算速度和加速度，在保證精度的前提下，還可以節(jié)省計算時間。ANSYS中使用Newton-Raphson平衡迭代法克服增量求解的問題，在每個載荷增量步結束時，平衡迭代驅使解回到平衡狀態(tài)。

1.3 接觸模型建立

當鉆柱在井筒中發(fā)生渦動和橫向振動時，受到套管的限制，鉆柱會與套管內壁接觸，接觸對鉆柱運動的影響是鉆柱運動研究中極為重要的一個方面。通過將實體單元與梁單元綁定接觸的方式，將實體單元的鉆桿接頭、磨鞋綁定在梁單元的鉆桿上，同時將套管劃分為實體單元，以分析鉆桿接頭-套管、磨鞋-套管實體單元間的接觸。ANSYS Workbench中的非線性接觸求解模型有拉格朗日法、純罰函數(shù)法和增強拉格朗日法。在接觸求解中，為了更快收斂，較多使用純罰函數(shù)法和增強拉格朗日法[14]。

罰函數(shù)法是在兩個單元發(fā)生接觸后，使兩者之間產生一定量的穿透，穿透的節(jié)點間通過彈簧連接，按照公式(1)進行接觸力Fn的計算：

Fn=knxp

(1)

式中：Fn為接觸力，kn為接觸剛度，xp為穿透深度。

增強拉格朗日接觸如圖1所示。

圖1 增強拉格朗日接觸

增強拉格朗日法是基于純罰函數(shù)法的一種改進方法，其在純罰函數(shù)法后增加了一個附加項λ，如公式(2)所示，使接觸壓力對接觸剛度的敏感性降低，更利于在給定的接觸剛度較大時收斂，可以在一定程度上提高計算精度，但同時也會延長收斂時間。

Fn=knxp+λ

(2)

由于井下環(huán)境的復雜性，鉆柱與套管之間的接觸剛度具有不確定性，所以采用較為耗時但更加易于收斂的增強拉格朗日法。

2 鉆柱有限元模型及渦動特性分析

現(xiàn)有的鉆柱動力學有限元分析模型大多采用兩端鉸支的梁模型，而實際情況是當鉆柱發(fā)生渦動時，通常會伴隨磨鞋沿井眼軌跡方向的抬升，因此兩端鉸支的模型不符合實際情況，應釋放井底端沿井筒軸線方向的自由度。在鉆柱兩端加壓以模擬施加鉆壓，套管固定，鉆柱與套管同軸線并在套管內轉動。

建立修井鉆磨期間鉆柱有限元模型，利用ANSYS Workbench有限元軟件對鉆柱渦動特性進行模擬，并分析關鍵鉆井參數(shù)對其影響規(guī)律，同時分別研究鉆桿接頭、磨鞋對套管的碰磨特性。

2.1 鉆柱結構及主要參數(shù)

選用如表1所示鉆柱結構進行鉆柱動力學仿真。建立鉆桿-鉆桿接頭-磨鞋組合模型共110 m，其中10 m鉆桿10根，1 m鉆桿接頭9個，1 m磨鞋1個，模擬其在直井段的運動狀態(tài)。鉆磨銑期間其他工況參數(shù)為：彈性模量210 GPa，泊松比0.3，鉆桿接頭與套管摩擦因數(shù)0.2，磨鞋與套管摩擦因數(shù)0.3，鉆壓30 kN。

表1 鉆柱組合主要參數(shù)

2.2 鉆柱有限元模型建立

將建立好的模型導入Workbench中的顯示動力學模塊進行網(wǎng)格劃分、邊界條件加載和求解。網(wǎng)格劃分如圖2所示，其中A點為磨鞋，B點為距磨鞋50 m處的鉆桿接頭。

圖2 鉆柱整體網(wǎng)格

鉆桿采用梁單元Beam188，每個單元有兩個節(jié)點，每個節(jié)點有六個自由度；鉆桿接頭和磨鞋和套管采用六面體單元，整個有限元模型共有206 518個單元。套管外表面施加固定約束，鉆桿接頭、磨鞋綁定在鉆桿上形成鉆柱組合，對整體施加一個繞軸向的轉速，鉆柱組合兩端各施加30 kN的壓力。開啟大變形選項和自動時間步長，初始時間步長設置為0.050 s ，最大時間步長為0.100 s，最小時間步長為0.001 s。

在修井鉆磨銑期間轉速多集中在60～120 r/min之間[15]，故分別采用60、80、100和120 r/min進行仿真分析。

2.3 鉆柱渦動特性分析

求解可得鉆桿接頭和磨鞋的渦動軌跡、渦動速度以及與套管接觸時的接觸應力。當轉速分別為60和80 r/min，鉆壓為30 kN時，圖2中A處磨鞋和B處鉆桿接頭的渦動軌跡分別如圖3和圖4所示，圖3和圖4中x、y方向為垂直于鉆柱軸線的兩個正交方向。

圖3 不同轉速下A處渦動軌跡

圖4 不同轉速下B處渦動軌跡

由渦動軌跡可以看出，除了鉆桿接頭、磨鞋對套管內壁產生的碰撞(見圖5)外，還有沿套管內壁的滾動(見圖6)，其中紅色段為接觸區(qū)段，兩種接觸方式都會對套管造成磨損。

圖5 鉆柱與套管的碰撞

圖6 鉆柱沿套管內壁滾動

鉆桿接頭初始位置如圖7a所示。由仿真結果可以觀察到，鉆桿接頭與套管的接觸形式主要有點對面、線對面兩種，點-面接觸如圖7b所示，線面接觸如圖7c所示。兩種接觸形式的差異主要由鉆桿接頭兩端鉆桿彎曲方向的差異造成，當兩端鉆桿彎曲方向不同時造成鉆桿接頭與套管的點-面接觸，彎曲方向相同時造成鉆桿接頭與套管的線-面接觸。由圖7可以看出，渦動期間鉆柱接頭與套管的接觸多為點-面接觸，極少數(shù)為線-面接觸。

圖7 鉆桿接頭位置

當鉆柱轉速為80 r/min時，圖2中A處套管內壁的變形云圖如圖8所示，B處套管內壁的變形云圖如圖9所示。

圖8 磨鞋處套管內壁變形云圖

圖9 鉆桿接頭處套管內壁變形云圖

從圖8和圖9可以看出，套管磨損主要以磨鞋和鉆桿接頭兩端與套管內壁的點-面接觸造成的磨損為主，因此磨鞋、接頭對套管造成的磨損主要為沿套管周向的不連續(xù)磨損。

3 鉆柱渦動造成的套管磨損體積計算

根據(jù)仿真得到的渦動軌跡，可以得到鉆桿接頭、磨鞋在鉆進期間與套管碰撞次數(shù)和沿套管內壁的滾動距離，再由仿真得到的接觸力和渦動轉速，可以計算渦動造成碰磨時套管的磨損體積。由磨損體積計算碰磨造成的磨損深度時，應當考慮接觸形式對磨損深度的影響，點-面接觸比線-面接觸造成的磨損深度要深。

3.1 鉆柱與套管的碰磨分析

R.SAMUEL等[6]提出的鉆柱對套管內壁造成的碰磨體積計算公式如式(3)所示。該公式主要考慮鉆桿橫向振動造成的徑向沖擊，鉆桿與套管間的接觸力為隨時間變化的函數(shù)F(t)。

(3)

式中：Vp為鉆柱沖擊造成的套管磨損，mm3；k為磨粒磨損系數(shù)；H為套管硬度，MPa；n為鉆柱轉速，r/min；d為鉆柱外徑，mm；F(t)為接觸力函數(shù)，N。

由式(3)計算鉆柱接頭、磨鞋對套管碰磨造成的磨損。通過增強拉格朗日法可以對鉆柱與套管的接觸應力F(t)進行離散求解，在每個時間步長Δt結束時，單元受力平衡。在任意時間步Δt內，鉆柱轉速、渦動速度和接觸力都可以假設為恒定值，因此在任意時間步長Δt內鉆柱對套管造成的沖擊磨損體積為：

(4)

式中：F(Δt)為步長Δt內的接觸力，N。

3.2 滾動磨損

從渦動軌跡可以看出，鉆柱渦動期間除了對套管的徑向沖擊外，還有沿套管內壁的滾動，滾動造成的磨損也是鉆柱渦動造成磨損的重要組成部分。

當鉆柱沿套管內壁滾動時，渦動轉速為：

ωp=dn/(D-d)

(5)

式中：D為套管內徑，mm。

當轉速較低時，鉆柱向前渦動，如圖10所示。此時鉆柱與套管內壁接觸點之間的相對速度為：

圖10 鉆柱沿套管內壁向前渦動示意圖

(6)

將式(5)帶入式(6)可得：

v=nd

(7)

鉆柱滾動造成的套管磨損體積為：

V=ημFndT/H

(8)

式中：η為磨損效率，μ為摩擦因數(shù)，F(xiàn)為接觸力，T為滾動磨損時間。

4 鉆速對套管磨損的影響分析

由鉆柱對套管的碰撞磨損公式及滾動磨損公式可以看出，鉆柱發(fā)生渦動時對套管造成的磨損量與轉速有關，磨損體積與鉆柱轉速和接觸應力均為正相關關系。在其他工況不變的情況下，通過改變鉆柱轉速來分析其轉速對套管磨損的影響。分別進行了40、60、80、100和120 r/min的鉆柱渦動仿真，得到不同轉速下磨鞋處磨鞋與套管內壁的法向接觸應力，如圖11所示。結合碰磨和滾動磨損量計算公式，得到相同鉆壓下40～120 r/min在仿真時長20 s內的磨損量，如圖12所示。從圖12可以看出，鉆柱轉速60 r/min時的磨損量大于80 r/min時的磨損量。將有限元模型導入Workbench中的模態(tài)分析模塊，對該鉆柱系統(tǒng)進行模態(tài)分析，可以得到40～120 r/min轉速區(qū)間內，該鉆柱系統(tǒng)有58.6和117.4 r/min兩個臨界轉速，而60 r/min在臨界轉速58.6 r/min附近，故認為在臨界轉速附近時，鉆柱渦動更加劇烈，造成的套管磨損更加嚴重。因此，在實際修井鉆磨工作中，應盡量避開鉆柱的臨界轉速以減小鉆柱渦動造成的套管磨損。

圖11 不同轉速下磨鞋處套管內壁接觸應力

圖12 20 s內不同轉速下磨鞋處套管磨損量

若忽略臨界轉速的影響，則隨著轉速的提高，磨鞋處套管磨損量整體呈逐漸上升趨勢，即鉆柱系統(tǒng)轉速越高，造成的套管磨損量越大，因此在滿足鉆磨進尺需求的前提下，修井期間對井下落物的鉆磨應盡量選用較低的轉速以減小套管磨損，提升修井鉆磨工作的安全性。

5 結 論

考慮接頭-套管、磨鞋-套管的接觸非線性，建立了修井鉆磨期間鉆柱動力學有限元模型，分析了鉆柱的渦動特性及鉆柱與套管接觸形式，并計算了不同轉速下仿真時長內磨鞋對套管造成的磨損量，得到如下結論。

(1)鉆柱與套管的接觸除了鉆桿接頭、磨鞋對套管內壁的碰撞外，還有沿套管內壁的滾動，兩種接觸方式都會對套管造成磨損。鉆柱渦動造成的鉆桿接頭、磨鞋與套管的接觸有點對面與線對面兩種形式，以點對面接觸為主，少數(shù)為線對面接觸。

(2)磨鞋與鉆桿接頭處的套管磨損以磨鞋、鉆桿接頭兩端與套管內壁的點-面接觸造成的磨損為主，因此磨鞋、接頭對套管造成的磨損主要為沿套管周向的不連續(xù)磨損。

(3)鉆柱轉速在臨界轉速附近時，鉆柱渦動更加劇烈，造成的套管磨損更加嚴重。若忽略臨界轉速的影響，磨鞋處套管磨損量隨著轉速的提高呈逐漸上升趨勢，即鉆柱系統(tǒng)轉速越高，其鉆進期間的渦動造成的套管磨損量越大。