顧繼玲，章 飛

初中數(shù)學(xué)教科書中“幾何直觀”的設(shè)計類型及原則

顧繼玲1，章 飛2

（1．南京師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，江蘇 南京 210097；2．江蘇第二師范學(xué)院 課程與教學(xué)研究所，江蘇 南京 210013）

幾何直觀兼具認(rèn)識論和方法論兩方面的教育價值．初中數(shù)學(xué)教科書中幾何直觀的類型有直觀表征、直觀分析、直觀解釋和直觀發(fā)現(xiàn)．初中數(shù)學(xué)教科書幾何直觀的設(shè)計應(yīng)遵循以下原則：準(zhǔn)確性，既是知識工具更是能力素養(yǎng)；整體性，兼顧內(nèi)容和類型避免出現(xiàn)偏差；漸進性，問題表述的類型和圖形的明晰程度要有層次；反思性，要有反思性的問題和活動．

初中數(shù)學(xué)；教科書；幾何直觀；類型；原則

1 問題提出

“幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的在數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)注重的十個核心概念之一，《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》也將“直觀想象”列為6個學(xué)科核心素養(yǎng)之一，“直觀想象素養(yǎng)整合了空間想象、幾何直觀和空間觀念”[1]，是在“幾何直觀”基礎(chǔ)上更進一步的要求．當(dāng)前對“幾何直觀”或“直觀想象”的相關(guān)研究并不少，但從研究內(nèi)容來看，更多涉及學(xué)生學(xué)習(xí)或教師教學(xué)，對教科書中幾何直觀的呈現(xiàn)或設(shè)計研究很少．教科書作為學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容的主要載體，自然應(yīng)做好為學(xué)生提供發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)的學(xué)習(xí)材料，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)做好價值引領(lǐng)，因此教科書中“幾何直觀”的設(shè)計顯得尤為重要．研究首先分析幾何直觀的教育價值，在此基礎(chǔ)上試圖以初中數(shù)學(xué)教科書為例，對教科書中幾何直觀呈現(xiàn)的基本類型及教科書幾何直觀設(shè)計的原則等方面進行探討．

2 幾何直觀的教育價值

幾何直觀能做什么？有哪些基本類型？教科書如何滲透幾何直觀？等問題，都應(yīng)建立在幾何直觀教育價值的基礎(chǔ)之上，因此在討論教科書設(shè)計問題之前依然需要分析幾何直觀的教育價值．

“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題．借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果．幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用”[2]，對幾何直觀的內(nèi)涵和作用，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》給出的上述論述是廣義的、概括的．這里的“圖形”含義也是廣義的，不僅僅局限于幾何圖形，包括常見的平面圖形、立體圖形以及數(shù)軸、坐標(biāo)系、表格、框圖、直觀素材等，解決的問題也不限于數(shù)量關(guān)系．

選取涉及幾何直觀的教育價值、意義或功能的有代表性的文獻，對其進行梳理歸類，可歸為兩個方面．

一是認(rèn)識論方面，很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，是認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的兩個基本角度，要用數(shù)和形“兩只眼睛”看數(shù)學(xué)，只有從兩個方面認(rèn)識它們，才能很好地理解它們、掌握它們的本質(zhì)意義．相關(guān)論述諸如，幾何直觀是認(rèn)識論問題，是認(rèn)識的基礎(chǔ)，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路，可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法[3]，數(shù)學(xué)的發(fā)展過程也表明，再抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論總能找到相對直觀的表征和解釋……恰當(dāng)?shù)剡\用幾何直觀，不僅能更好地建立起數(shù)和形之間的聯(lián)系、促進相互的轉(zhuǎn)化，提高綜合運用知識的能力，而且能給學(xué)習(xí)帶來極大的好處[4]，幾何直觀有助于將抽象的數(shù)學(xué)對象直觀化、顯性化[5]，幾何直觀具有解釋功能[6]．

二是方法論方面，幾何直觀是思考問題、解決問題的思維方式之一，不僅有助于探索問題解決的思路，同時可以獲得對數(shù)學(xué)的直觀理解，抓住問題的本質(zhì)．相關(guān)論述諸如，“幾何直觀是一種思維形式，它是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識別或猜想的心理狀態(tài)”[7]，“借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知，即可稱之為‘幾何直觀’”[8]，“憑借幾何直觀開展的思維活動，可以成為創(chuàng)新性思維活動的開端”[5]，“幾何直觀是種意識，也是種技能與能力”[9]，“幾何直觀具有發(fā)現(xiàn)功能”[6]．

因此，幾何直觀有助于人們認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)對象，同時有助于人們探索問題、整體把握問題和促進發(fā)現(xiàn)．

3 教科書中幾何直觀的類型

研究幾何直觀的教科書設(shè)計，自然應(yīng)分析教科書中幾何直觀的不同類型及其作用意義等．有文獻對教科書中蘊含幾何直觀的內(nèi)容進行了梳理，得到諸如“借助圖形理解公式”“借助數(shù)軸掌握運算”“借助圖形探索性質(zhì)”等呈現(xiàn)類型，這樣的梳理十分具體，但又是過于零碎了，既難免遺漏又不能形成一些上位的思考，有類似知識點羅列之感，難能遷移應(yīng)用，也難以給教科書設(shè)計者以啟示．此外，這種對已有教科書中幾何直觀呈現(xiàn)類型的梳理，是一種“實然”狀態(tài)．作為教科書的設(shè)計，應(yīng)進行“應(yīng)然”考慮，即需要分析在教科書設(shè)計中借助幾何直觀能做什么，實現(xiàn)哪些功能？研究者認(rèn)為基于上述幾何直觀的教育價值，“幾何直觀”在初中教科書中的呈現(xiàn)類型，主要有以下4種．

3.1 直觀表征

直觀表征，即借助圖形表達(dá)數(shù)學(xué)對象，側(cè)重于對數(shù)學(xué)對象“形”的表達(dá)．對于教科書中數(shù)學(xué)對象的直觀表征，一般包括兩種情況，一是數(shù)學(xué)對象引入時借助圖形直觀地呈現(xiàn)促進對象形成的素材，二是數(shù)學(xué)對象引入后借助圖形對其進行直觀表征．

很多數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實模型的直接反映，兼具“數(shù)”和“形”兩方面的特征，為此，在引入這些數(shù)學(xué)概念時可以首先尋找貼近生活的直觀素材，讓學(xué)生基于視覺的觀察初步感知數(shù)學(xué)對象，如小學(xué)階段借助小棒等實物幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)的組成、理解計數(shù)單位，初中階段借助溫度計引入數(shù)軸，借助數(shù)軸上點到原點的距離引入絕對值的概念等．在小學(xué)階段，實物直觀相對較多，中學(xué)階段則以符號直觀、圖形直觀為多．

圖1 一次函數(shù)變化規(guī)律

3.2 直觀分析

直觀分析，即借助圖形分析數(shù)學(xué)問題，側(cè)重于利用圖形尋求解決問題的思路．有些問題中數(shù)量較多、數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜、問題的表述也可能增加了無用或干擾信息等，為此，需要用適當(dāng)?shù)姆绞綄⒂嘘P(guān)的數(shù)量及其關(guān)系更好地表示出來，便于基于數(shù)量關(guān)系建立相應(yīng)的模型解決問題．此時，圖、表等可直觀、形象地呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，將復(fù)雜的語言文字轉(zhuǎn)化成圖形語言，幫助分析問題．

如案例1，基于題目的信息，畫出相應(yīng)的線段圖，數(shù)量關(guān)系明顯可見，方程呼之欲出．

案例1[10]：

相關(guān)實驗研究也表明了幾何直觀在問題解決中的優(yōu)越性，如同一數(shù)學(xué)問題，采用直觀圖示的方式呈現(xiàn)和文字語言的方式呈現(xiàn)，小學(xué)生解題正確率在前者方式下明顯高于后者方式下[11]，“直觀表征”縮短了解題路徑，優(yōu)化了解題方案，它展現(xiàn)的是一種知識之間的‘靈活’聯(lián)系，言語與直觀之間的靈活聯(lián)系[12]．

另外，對于有挑戰(zhàn)性問題的解決，首先要確定研究思路，利用圖形結(jié)構(gòu)可以展現(xiàn)思維脈絡(luò)，幫助理清思路．如初中階段無理數(shù)的定義，一般教科書通過面積為2的正方形的邊長探索發(fā)現(xiàn)它不是有理數(shù)，最終給它命名無理數(shù)，并給出定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．但為什么它不是有理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)呢？怎么說明它一定就是無限不循環(huán)小數(shù)呢？實質(zhì)上其中蘊含比較復(fù)雜的代數(shù)推理：面積為2的正方形邊長是無理數(shù)，是什么樣的小數(shù)？→難以直接解決，轉(zhuǎn)而說明熟悉的有理數(shù)和小數(shù)是什么樣的關(guān)系？→發(fā)現(xiàn)有理數(shù)等價于有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)→不是有理數(shù)，因此不是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，即為無限不循環(huán)小數(shù)．要說清楚這件事直觀圖形（圖2）更能夠清晰展現(xiàn)研究問題的思路，反映對問題的整體思考和邏輯關(guān)系的清晰表達(dá)．

圖2 無理數(shù)和小數(shù)關(guān)系的研究思路

3.3 直觀解釋

直觀解釋，即借助圖形對數(shù)學(xué)結(jié)論或問題的結(jié)果進行描述，側(cè)重于對已獲得的結(jié)果賦予“形”的解釋，從而豐富對數(shù)學(xué)對象的理解．?dāng)?shù)學(xué)公式可以通過代數(shù)運算得到，這是代數(shù)思維的體現(xiàn)，但代數(shù)公式如能借助圖形進行直觀解釋，可讓代數(shù)公式變得形象直觀，便于學(xué)生記憶與理解，甚至引發(fā)更為一般的推廣，同時也可促進學(xué)生思維的發(fā)展，促進不同知識內(nèi)容領(lǐng)域的融合．

案例2[13]：(+)2=2+2+2，你能用旁邊的圖形解釋這個公式嗎？

教科書在基于代數(shù)運算得到完全平方公式(+)2=2+2+2之后，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形進行幾何解釋，這樣的解釋形象直觀，而且可引發(fā)對于(-)2的猜測，甚至可以引發(fā)優(yōu)秀學(xué)生猜想(++)2、(+)3等的幾何解釋和代數(shù)表達(dá)．

再如，代數(shù)運算法則即“算法”本質(zhì)上是人們發(fā)明的一種規(guī)則，規(guī)則與規(guī)律不同，規(guī)則反映的不是事物之間內(nèi)在的必然聯(lián)系，它不是客觀存在的．要理解這種人為創(chuàng)造出來的規(guī)則并能夠靈活加以運用，首先就要理解規(guī)則，了解規(guī)則是什么以及為什么，即算理．通過直觀模型為算理提供直觀的解釋，是幫助學(xué)生理解算理的常見做法．下面是教科書中有理數(shù)加法法則直觀解釋的一個案例——等值相消，運算過程直觀可見．

無論是從事數(shù)學(xué)教學(xué)或研究，我是喜歡直觀的．學(xué)習(xí)一條數(shù)學(xué)定理及其證明，只有當(dāng)我能把定理的直觀含義和證法的直觀思路弄明白了，我才認(rèn)為真正懂了[8]．代數(shù)中的幾何直觀更值得關(guān)注，英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞指出，在幾何中視覺思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)中有序思維占主導(dǎo)地位．所以幾何中首先用到的是最直接的形象思維，用形象思維洞察，然后用邏輯思維嚴(yán)格化．在教育中過分強調(diào)一種方式而損害另一種方式是錯誤的[14]．張奠宙先生也表達(dá)了相同的觀點，中學(xué)代數(shù)與幾何課程的主要差別在于代數(shù)（包括概念和法則）抽象、繁瑣，而幾何直觀、形象．他因此呼吁，從心理接受能力的角度來說，在代數(shù)教學(xué)中引入適當(dāng)?shù)膸缀沃庇^、注重利用貼近生活的形象思維便是代數(shù)教學(xué)中的一項重要任務(wù)．所謂“理解”實際上基本等同于“建立直觀形象”，純粹抽象的事物是難以理解的[15]．

3.4 直觀發(fā)現(xiàn)

直觀發(fā)現(xiàn)，即借助圖形直觀整體地把握研究對象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論．一般有兩種情況：一種是根據(jù)要求解或證明的結(jié)論構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，直接獲得問題的解答，另一種是反向的思維過程，即根據(jù)直觀圖形發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論．

案例4[10]：將一個邊長為1的正方形紙片分別割成7個部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類推．

（1）陰影部分的面積是多少？

案例5：給出點陣圖，你能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)學(xué)結(jié)論？觀察可得：圖形直觀表達(dá)了數(shù)學(xué)結(jié)論1+3+5+7+9=52，很自然地可以猜想一般結(jié)論：

1+3+5+…+(2-1)=2．

直觀發(fā)現(xiàn)，往往在獲得問題解答的基礎(chǔ)上可以導(dǎo)致更進一步的發(fā)現(xiàn)，對發(fā)展學(xué)生的直覺思維、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力提供了空間．如案例4中從代數(shù)問題想到如何構(gòu)造圖形，上述問題中依次“面積的一半”是構(gòu)造圖形的關(guān)鍵點，只要能畫出滿足此條件的圖形即可，因此可以出現(xiàn)另外的構(gòu)造圖形，如構(gòu)造線段、三角形、長方形、圓等．案例5中改變“直角形”的構(gòu)造，又能得到其它熟悉結(jié)論嗎？

一個數(shù)學(xué)對象的幾何直觀對這個對象來說，是種直觀，但對第一次接觸這個直觀方式的學(xué)生來說，便可能就是一種抽象[9]．因此，直觀發(fā)現(xiàn)需要積累一定的基本圖形的直覺經(jīng)驗．

另要說明的是，直觀表征、直觀分析、直觀解釋和直觀發(fā)現(xiàn)并不完全獨立，直觀分析、直觀解釋和直觀發(fā)現(xiàn)都建立在直觀表征的基礎(chǔ)之上，同一個數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)方式或提出要求不一樣，對直觀類型的側(cè)重可能會不一樣，如對平方差公式，如果將直觀圖形作為公式探索的素材，那么圖形的作用主要體現(xiàn)為直觀表征，但如果在獲得公式后要求學(xué)生尋求直觀圖形的解釋，那么顯然圖形的作用主要體現(xiàn)為直觀解釋．

4 教科書中幾何直觀的設(shè)計原則

教科書的結(jié)構(gòu)（體系）有明線和暗線之分，明線一般為目錄所呈現(xiàn)的具體章節(jié)內(nèi)容，暗線則多隱匿于內(nèi)容“背后”，如滲透數(shù)學(xué)思想方法的暗線，培養(yǎng)學(xué)生能力的暗線，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的暗線，幾何直觀作為核心素養(yǎng)也是暗線之一，這種暗線也需一定的內(nèi)容載體，也需一定的脈絡(luò)展現(xiàn)．教科書中幾何直觀的設(shè)計應(yīng)力圖遵循如下幾個原則．

4.1 準(zhǔn)確性

教科書中幾何直觀的設(shè)計首先要有準(zhǔn)確的目標(biāo)定位，需要明確的是，幾何直觀不僅僅是知識工具，更是能力素養(yǎng)．現(xiàn)有初中數(shù)學(xué)教科書中各個內(nèi)容領(lǐng)域利用幾何直觀來處理的教學(xué)內(nèi)容大量存在，如借助數(shù)軸掌握運算、借助圖形探索性質(zhì)、借助線形圖明確關(guān)系等，但很多表現(xiàn)為一種“必選動作”，即此教學(xué)內(nèi)容本身就是從幾何直觀而來，如絕對值的概念其本身就源于兩點間的距離，函數(shù)的性質(zhì)其本身就要借助于圖形的探索等等，如果將幾何直觀的體現(xiàn)僅局限于這些“必選動作”，那么幾何直觀的目標(biāo)定位似乎只是獲得知識的一種圖形工具，獲得知識的橋梁，而不是作為一種思考問題、理解數(shù)學(xué)的思維方式或能力素養(yǎng)．

借助于圖形描述和分析問題，可以將抽象的問題直觀化，可以將復(fù)雜數(shù)量關(guān)系清晰化，反過來，面對一個抽象的問題或代數(shù)表達(dá)，能否用恰當(dāng)?shù)膱D形表達(dá)自己的理解或用圖形的方法解決問題、整體把握問題，即是幾何直觀思維或能力素養(yǎng)的表現(xiàn)．“幾何直觀首先表現(xiàn)為一種意識一一面對數(shù)學(xué)問題能想到用畫圖來幫助思考；其次表現(xiàn)為掌握一定的幾何直觀的畫圖技巧，能畫出圖來”[16]，作為教科書應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生進行幾何直觀的思考，將其作為一種能力素養(yǎng)滲透教科書中．

如，平方差公式，除了教科書給出的直觀圖形解釋（圖3），可以進一步提出：你還能給出其它圖形的直觀解釋嗎？

圖3 平方差公式直觀圖形

或在一些問題中采用直觀的方法表達(dá)或解決問題，要求學(xué)生能夠遷移到新的問題．如在平方差公式之后學(xué)習(xí)完全平方公式，得到公式后，要求學(xué)生自行給出公式的圖形解釋，在其后的因式分解學(xué)習(xí)中可以再次回顧圖形的解釋．經(jīng)過這樣的學(xué)習(xí)積淀，學(xué)生看到2、2、自然會想到圖形的面積，因此在因式分解中甚至可以提出挑戰(zhàn)性問題：你能對3-3進行因式分解嗎？你是怎么得到結(jié)論的？學(xué)生可以借助圖形猜想結(jié)論，再通過整式乘法運算驗證結(jié)論．

4.2 整體性

從前文分析知，幾何直觀的類型有：直觀表征、直觀分析、直觀解釋和直觀發(fā)現(xiàn)，常見的數(shù)學(xué)活動主要有概念生成、命題探究和問題解決，因此可將幾何直觀分為概念生成過程中的幾何直觀、命題探究過程中的幾何直觀和問題解決過程中的幾何直觀．幾何直觀在不同內(nèi)容中的分布廣泛程度如表1所示．

對于教科書學(xué)習(xí)內(nèi)容，可以更多考慮其直觀表征，盡力溝通數(shù)和形的聯(lián)系（當(dāng)然應(yīng)是自然的），感受數(shù)學(xué)對象的多角度認(rèn)識；在命題探究和問題解決過程中，更多考慮直觀分析和直觀解釋，獲得對命題的直觀理解和解釋，學(xué)會問題解決的策略；在問題解決過程中，更多考慮直觀發(fā)現(xiàn)，獲得對問題的直接領(lǐng)悟，形成一定的數(shù)學(xué)直觀．

表1 幾何直觀在內(nèi)容中的分布廣泛度

注：√代表相應(yīng)表現(xiàn)在此內(nèi)容中比較廣泛

從當(dāng)前教科書來看，幾何直觀并不缺乏，但存在內(nèi)容分布和類型分布偏差情況．從內(nèi)容來看，在概念形成和命題探究過程中的直觀為多，問題解決過程中的直觀較少，這應(yīng)該和當(dāng)前數(shù)學(xué)課程強調(diào)情境、探究有一定的關(guān)系，注重概念的形成過程，注重公式、法則等結(jié)論的探究，但當(dāng)獲得結(jié)論后用其解決問題幾何直觀相對被忽視了．從類型來看，直觀表征、直觀分析和直觀解釋為多，直觀發(fā)現(xiàn)少之又少．相關(guān)研究也提供了佐證，一般的數(shù)學(xué)問題解決過程中，學(xué)生并不傾向于使用直觀表征策略[12]．一個有趣的現(xiàn)象是，采用直觀信息加工方式的被試對自己的結(jié)論都表示懷疑，并且認(rèn)為需要進一步的代數(shù)驗證[12]，這樣的學(xué)習(xí)現(xiàn)象首先應(yīng)該從教科書的編寫角度考慮是否對學(xué)生產(chǎn)生了影響．

4.3 漸進性

教科書應(yīng)通過漸次遞進的設(shè)計，促進學(xué)生幾何直觀的有序發(fā)展．從學(xué)生的學(xué)習(xí)來說，幾何直觀不會自發(fā)形成，需要教科書及教學(xué)中不斷呈現(xiàn)，需要學(xué)生長期的經(jīng)驗積累，因此應(yīng)首先關(guān)注基本圖形的幾何直觀，幫助學(xué)生積淀形成基本圖形的幾何直觀，如一些式的圖形表達(dá)，看到(+)會想到長方形的面積，看到|-|會想到數(shù)軸上兩點間距離，看到a+b會想到直角三角形的兩個直角邊的平方和，在問題解決中，關(guān)注從圖形的角度表征問題的信息，或從圖形的角度思考問題，用線段圖、表格等表達(dá)數(shù)量關(guān)系．通過一些實證研究的結(jié)果和教科書編寫團隊的研討，研究者認(rèn)為，問題表述的類型和圖形的明晰程度是影響學(xué)生借助幾何直觀解決問題的外在因素，因此，在幾何直觀的教科書設(shè)計時，可以從問題表述的類型和圖形的明晰程度兩個方面進行漸進的設(shè)計．

問題表述的類型一般有正向表述的問題、逆向表述的問題和轉(zhuǎn)換的問題，正向表述的問題指給定代數(shù)表達(dá)要求給出實際背景或圖形直觀，如給定方程代數(shù)表達(dá)模型要求賦予實際背景的問題；逆向表述的問題指給定圖形直觀要求給出代數(shù)表達(dá)，如案例6（1），給出方程信息的圖形表達(dá)，要求編寫相應(yīng)的方程問題；轉(zhuǎn)換問題則指借助、、之間的關(guān)系，由給定和的圖形直觀，給出和或和的圖形直觀，如案例6（2）要求從速度和時間的圖象，判斷它們之間的變化規(guī)律，進而推斷路程和時間的變化規(guī)律，再反映到直觀圖象中去．審視當(dāng)前教科書，相對而言，多為正向表述的問題，逆向表述和轉(zhuǎn)換的問題較少，因此教科書編寫中，在正向表述問題之后，應(yīng)結(jié)合具體內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)力水平考慮適當(dāng)增補逆向表述的問題和轉(zhuǎn)換的問題．

案例6：

（1）請你根據(jù)下面的線段圖編一個方程問題，列方程并求解．

（2）下圖給出一輛汽車行駛速度隨時間改變的圖象，請你畫出這輛汽車行駛路程隨時間改變的圖象．

圖形的明晰程度也直接影響著學(xué)生借助幾何直觀解決問題的表現(xiàn)，根據(jù)圖形的明晰程度可以將圖形的呈現(xiàn)方式分為3類：呈現(xiàn)完整圖形、呈現(xiàn)部分圖形和不呈現(xiàn)圖形．顯然，對于同一問題這3種呈現(xiàn)方式導(dǎo)致問題解決的難度是逐步提升的，因此教科書同樣要考慮其漸進性，從呈現(xiàn)完整圖形到呈現(xiàn)部分圖形再到不呈現(xiàn)圖形，從“示范—引導(dǎo)—自主”引領(lǐng)學(xué)生進行幾何直觀的思考，如在列方程解應(yīng)用問題中，第一階段可以采用分析題意的方式，呈現(xiàn)用線段圖或表格表達(dá)問題中的信息，第二階段可以采用要求學(xué)生填空的方式呈現(xiàn)線段圖或表格，第三階段則直接要求學(xué)生能否用圖形直觀表達(dá)問題中的數(shù)學(xué)信息．

4.4 反思性

弗賴登塔爾指出，反思是重要的數(shù)學(xué)活動，它是數(shù)學(xué)活動的核心和動力[17]．新的數(shù)學(xué)觀念形成后，學(xué)習(xí)者就會試圖用新的觀念去重新認(rèn)識已經(jīng)積累起來的知識、技巧、方法和規(guī)律，把它們納入剛剛建立起來的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這是一個反思過程．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)必不可少的一部分就是加強學(xué)生的反思，因為數(shù)學(xué)并不是單純的知識，而是思想、觀念，它既是反思的材料，又是反思的結(jié)果．反思能力和其他能力一樣，也不是自然形成的，需要教師有意識地培養(yǎng)．

教科書中同樣應(yīng)設(shè)計豐富的反思性活動，引導(dǎo)學(xué)生反思借助幾何直觀解決問題的過程，反思幾何直觀的意義與價值等，這方面，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教科書尚有較大的提升空間．美國McGraw-Hill出版社出版的初中數(shù)學(xué)教材Glencoe Math其中有不少好的呈現(xiàn)，如案例7[19]，在函數(shù)有關(guān)內(nèi)容章后小結(jié)中直接提出這樣的反思性問題：為什么圖表是有用的？請列出圖表有用的3種方式，并分別舉例說明．

幾何直觀是數(shù)學(xué)中生動的、不斷增長的而且迷人的課題，在內(nèi)容上、意義上和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對幾何圖形本身的研究意義[3]．對教科書幾何直觀的研究必定是其中之一，需要理論的思考，同時需要實踐的檢驗．研究僅對初中數(shù)學(xué)教科書中幾何直觀的類型和設(shè)計原則進行了探討，教科書設(shè)計中還有很多問題值得思考和研究：什么內(nèi)容需要幾何直觀？幾何直觀怎樣呈現(xiàn)？作為教科書怎樣體現(xiàn)在不同學(xué)習(xí)階段的層次要求等．

案例7：

[1] 史寧中，王尚志．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M]．北京：高等教育出版社，2018：114．

[2] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：6．

[3] 秦德生，孔凡哲．關(guān)于幾何直觀的思考[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005（10）：9-11．

[4] 黃翔．?dāng)?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的十個核心概念[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2012，21（4）：18．

[5] 孔凡哲，史寧中．關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式[J]．課程·教材·教法，2012，32（7）：92-97．

[6] 章飛，凌曉牧．幾何直觀的內(nèi)涵、功能與培養(yǎng)途徑[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（9）（中旬）：18-20．

[7] 蔣文蔚．幾何直觀思維在科學(xué)研究及數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，1997，6（4）：67．

[8] 徐利治．談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2000，39（5）：1．

[9] 蔡宏圣．幾何直觀：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的視角[J]．課程·教材·教法，2013，33（5）：109-115．

[10] 馬復(fù)．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教科書七上[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2013：150．

[11] 夏光杰．“畫”里有“話”——以畫線段圖解決問題為例談“幾何直觀”[J]．小學(xué)教學(xué)研究，2016（3）：31-33．

[12] 傅贏芳．?dāng)?shù)學(xué)直觀的認(rèn)知分析及對教學(xué)的啟示[D]．南京：南京師范大學(xué)，2009：38，37，62．

[13] 馬復(fù)．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教科書七下[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2013：23．

[14] 王鵬遠(yuǎn)．談計算機和幾何教學(xué)的現(xiàn)代化[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998（7）：23．

[15] 張奠宙，張廣祥．中學(xué)代數(shù)研究[M]．北京：高等教育出版社，2006：II-III．

[16] 蔡圣宏．幾何直觀的內(nèi)涵及教育教學(xué)價值[J]．廣西教育，2013（10）：36．

[17] 弗賴登塔爾．?dāng)?shù)學(xué)教育再探[M]．劉意竹，楊剛，譯．上海：上海教育出版社，1999：50．

[18] 史寧中．幾何直觀與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[R]．金華：第十六屆全國新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)系列研討會，2017．

[19] ?Carter J, Cuevas G, DayR, et al. Glencoe math course 3 [M]. Columbus: McGraw-Hill Education, 2013: 258.

The Design of “Geometric Intuition” in Junior High School Mathematics Textbooks: Types and Principles

GU Ji-ling1, ZHANG Fei2

(1. College of Teacher Education, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China;2. Institute of Curriculum and Teaching, Jiangsu Second Normal University, Jiangsu Nanjing 210013, China)

Geometric intuition has the educational value of both epistemology and methodology. The types of geometric intuition in junior high school mathematics textbooks are as follows: intuitive representation, intuitive analysis, intuitive interpretation, and intuitive discovery. The geometric intuition design of junior high school mathematics textbooks should follow the principles of: accuracy, both knowledge tools and ability literacy; integrity, considering both content and type to avoid deviation; gradualness, with the type of problem representation and the clarity of the graphics being hierarchical; and reflective, whereby there must be reflective questions and activities.

junior high school mathematics; textbooks; geometric intuition; type; principle

G632.3

A

1004–9894（2021）06–0059–05

顧繼玲，章飛．初中數(shù)學(xué)教科書中“幾何直觀”的設(shè)計類型及原則[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2021，30（6）：59-63．

2021–08–11

江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——基于“三段式”研課的全日制數(shù)學(xué)專碩PCK發(fā)展研究（B-b/2018/01/47）

顧繼玲（1971—），女，江蘇建湖人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事課程與教學(xué)論、教師教育研究．章飛為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：陳雋、陳漢君]