馮再勇，葉玲華，向崢嶸，謝小韋

(1.南京理工大學(xué)自動化學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院a.基礎(chǔ)部；b.財務(wù)處，江蘇 南京 210031)

分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是變量或其整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的弱奇異積分[1-5]。分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義中的核函數(shù)稱為記憶核函數(shù)[6-7]，它反映了分數(shù)階系統(tǒng)的記憶特性。分數(shù)階系統(tǒng)適合刻畫具有“過程記憶性”、“歷史遺傳性”等特點的多種物理過程[8-11]。

分數(shù)階廣義系統(tǒng)的動態(tài)層是用分數(shù)階導(dǎo)數(shù)刻畫的微分系統(tǒng)，靜態(tài)層則是用代數(shù)方程描述的代數(shù)系統(tǒng)。因此，分數(shù)階廣義系統(tǒng)適合于描述狀態(tài)變量間既存在分數(shù)階微分約束，又存在代數(shù)約束的復(fù)雜系統(tǒng)[12]。目前學(xué)術(shù)界對于分數(shù)階廣義系統(tǒng)的研究集中于：①探討分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的解。如Kaczorek T，F(xiàn)eng Z Y等[13-15]利用分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的等價標(biāo)準(zhǔn)型，研究了系統(tǒng)解的存在唯一性等基礎(chǔ)理論及系統(tǒng)求解方法(包括經(jīng)典解和分布解)。②研究無脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、容許性、系統(tǒng)鎮(zhèn)定[12,16-18]等問題。文獻[12]是研究分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的奠基性工作，它分別針對導(dǎo)數(shù)階數(shù)0<α<1和1<α<2兩種情況研究了無脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。此外，容許性對于廣義系統(tǒng)具有重要意義，其主要特點之一就是系統(tǒng)無脈沖。文獻[16-17]研究了分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的容許性條件。文獻[18]基于[17]的工作，研究了導(dǎo)數(shù)階數(shù)1<α<2時，基于狀態(tài)觀測器的容許系統(tǒng)的系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題。③關(guān)于分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的應(yīng)用研究，典型的應(yīng)用包括分數(shù)階電路系統(tǒng)等[19]。易見，目前關(guān)于分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的研究，幾乎都是在系統(tǒng)無脈沖的基礎(chǔ)上開展的。

對于分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)而言，無脈沖要求系統(tǒng)經(jīng)受限等價變換后，快子系統(tǒng)的系數(shù)矩陣N為零矩陣。而更多情況下，特別是一些依據(jù)實際問題建立的分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)模型，系數(shù)矩陣N往往不滿足無脈沖條件，此時前述研究結(jié)論便不一定適用。

研究控制系統(tǒng)的能控性和能觀性是進行系統(tǒng)控制和設(shè)計的基礎(chǔ)，已有關(guān)于分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)完全能控性和能觀性的研究工作包括[24-26]，它們都沒有考慮系統(tǒng)含脈沖項的情況。本文基于我們的前期研究結(jié)果[20]，以系統(tǒng)分布解為基礎(chǔ)，研究含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的完全能控和完全能觀問題。本文證明了含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)完全能控和能觀的充要條件，給出了判斷含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)完全能控和能觀的秩判據(jù)，為關(guān)于分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的研究、應(yīng)用提供基礎(chǔ)和依據(jù)。

1 分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)及其能控(觀)性概念

本文討論如下形式的分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)：

(1)

其中t∈T，x(t),y(t),u(t)分別是系統(tǒng)的狀態(tài)變量、輸出變量和控制輸入變量。維數(shù)分別為x(t)∈Rn,y(t)∈Rm,u(t)∈Rr，系數(shù)矩陣E,A∈Rn×n,B∈Rn×r,C∈Rm×n,D∈Rm×r。分數(shù)階導(dǎo)數(shù)采用Caputo導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)階數(shù)0<α<1?？紤]到系統(tǒng)(1)解的存在唯一性，假設(shè)矩陣對(E,A)是正則的，且不要求系統(tǒng)無脈沖。

系數(shù)矩陣對(E,A)正則，故存在可逆矩陣P1和P2。對(1)左乘矩陣P1，并令x=P2[x1,x2]T，可將(1)等價地變換為(2)：

(2)

其中x1(t)∈Rn1,x2(t)∈Rn2,A1∈Rn1×n1,B1∈Rn1×r,N∈Rn2×n2,B2∈Rn2×r。N是冪零矩陣，設(shè)其指數(shù)為h，有Nh=0,Ni≠0,i=1,2,…h(huán)-1。與一般廣義線性系統(tǒng)相對應(yīng)，我們稱系統(tǒng)(2.1)和(2.2)分別為系統(tǒng)(2)的慢子系統(tǒng)和快子系統(tǒng)。下面考察系統(tǒng)(2)的狀態(tài)響應(yīng)。

慢子系統(tǒng)(2.1)是分數(shù)階線性系統(tǒng)，文獻[15]證明了其狀態(tài)響應(yīng)如下。

引理1[15]慢子系統(tǒng)(2.1)的狀態(tài)響應(yīng)具有如下形式：

(3)

引理2[20]快子系統(tǒng)(2.2)的狀態(tài)響應(yīng)如下：

x2(t,u,x20)=x2i(t,x20)+x2u(t,u)

(4)

(0)]。h是冪零矩陣N的指數(shù)，lk=「kα?，k=0,1,…,h-1。

注1引理2中的狀態(tài)響應(yīng)含有脈沖函數(shù)及其分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，它是分布解。研究表明，分布解中脈沖函數(shù)的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)(即脈沖項)從系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的角度，刻畫了分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的記憶特性。

注2引理2不要求快子系統(tǒng)的系數(shù)矩陣N=0，因此它也適用于刻畫含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的運動分析。

與線性系統(tǒng)的能控性[21-22]概念類似，分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)(1)的完全能控性定義如下：

定義1若對于初始時刻t0∈T的一個非零初始狀態(tài)x0，存在一個時刻t1∈T,t1>t0和一個無約束的容許控制u(t)，t∈[t0,t1]，使系統(tǒng)(1)的狀態(tài)由x0轉(zhuǎn)移到t1時刻時，x(t1)=0則稱此非零狀態(tài)x0在時刻t0為能控的。

定義2若狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都在時刻t0,t0∈T為能控的，則稱系統(tǒng)(1)在時刻t0為完全能控的。

考察系統(tǒng)的完全能觀性，一般不考慮系統(tǒng)的控制輸入u(t)，但需要結(jié)合系統(tǒng)的輸出y(t)進行研究。此時，分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)形式如(5):

(5)

系統(tǒng)(5)經(jīng)過受限等價變換，可被等價地變換為系統(tǒng)(6)：

(6)

其中x1(t)∈Rn1,x2(t)∈Rn2,y1(t)∈Rm,y2(t)∈Rm,A1∈Rn1×n1,C1∈Rm×n1,C2∈Rm×n2。N∈Rn2×n2，是冪零矩陣，設(shè)其指數(shù)為h，有Nh=0,Ni≠0,i=1,2,…h(huán)-1，Caputo導(dǎo)數(shù)階數(shù)0<α<1。系統(tǒng)(6.1)和(6.2)是系統(tǒng)(6)的慢子系統(tǒng),系統(tǒng)(6.3)和(6.4)是系統(tǒng)(6)的快子系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出為y=y1+y2。

根據(jù)線性系統(tǒng)能觀性[21-22]概念，分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的能觀性定義如下：

定義3對于分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(5)的一個非零初始狀態(tài)x(t0)(t0∈T)，若存在一個時刻t1∈T,t1>t0使得在觀測時間t∈[t0,t1]內(nèi)由輸出y(t)能夠唯一確定初始狀態(tài)x(t0)，則稱此狀態(tài)x(t0)是能觀的。

定義4若狀態(tài)空間中，所有非零初始狀態(tài)x(t0)，t0∈T都是能觀的，則稱系統(tǒng)(5)是(狀態(tài))完全能觀的，簡稱能觀的。

2 含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的能控性研究

含脈沖分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)(2)的慢子系統(tǒng)(2.1)是個一般分數(shù)階線性系統(tǒng)。關(guān)于分數(shù)階線性系統(tǒng)的能控性判定，引理3給出了明確的結(jié)論。

引理3[23]分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(2)的慢子系統(tǒng)(2.1)完全能控的充要條件是：

(7)

我們重點研究含脈沖分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)(2)的快子系統(tǒng)(2.2)的能控性問題。結(jié)合引理2中快子系統(tǒng)(2.2)的分布解，我們給出以下快子系統(tǒng)的能控性判定定理，即定理1：

定理1快子系統(tǒng)(2.2)完全能控的充要條件是：

rankQC2=rank[B2,NB2,…,Nh-1B2]=n2

(8)

即，快子系統(tǒng)的能控性矩陣QC2=[B2,NB2,…,Nh-1B2]行滿秩。

證明根據(jù)定義1，即需要證明存在無約束的容許控制輸入u(t)和時刻t，能夠使得系統(tǒng)(2.2)的狀態(tài)由x20轉(zhuǎn)移到原點x(t)=0。由引理2可知，快子系統(tǒng)(2.2)的分布解為：

欲使得x2(t)=0，即要求存在控制輸入u(t)滿足：

(9)

(10)

定理1是判定含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)快子系統(tǒng)完全能控的定理。以此為基礎(chǔ)，我們可以得到更為簡潔的PBH秩判據(jù)。

定理2(PBH秩判據(jù))含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(2)的快子系統(tǒng)(2.2)完全能控的充要條件是：

rank[N,B2]=n2

(11)

證明由線性系統(tǒng)的PBH秩判據(jù)可知，定理1的能控性條件，等價于矩陣[λI-N?B2]對于矩陣N的每一個特征值λi都有：rank[λiI-N?B2]=n2。

考慮到冪零矩陣N的特殊結(jié)構(gòu)，可知其特征值λi均等于0，于是定理1的能控性條件等價于：

rank[-N,B2]=rank[N,B2]=n2

證畢！

綜合上述含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(2)的慢子系統(tǒng)(2.1)和快子系統(tǒng)(2.2)的能控性條件，可得到含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的能控性判定定理，即定理3。

定理3含脈沖分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)(1)完全能控的充要條件是經(jīng)受限等價變換后，慢子系統(tǒng)(2.1)和快子系統(tǒng)(2.2)均完全能控，即：

(12)

3 含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的能觀性研究

含脈沖分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)(6)的慢子系統(tǒng)(6.1)和(6.2)，是分數(shù)階線性系統(tǒng)。關(guān)于分數(shù)階線性定常系統(tǒng)的能觀性判定，有如下引理4：

引理4[23]系統(tǒng)(6)的慢子系統(tǒng)(6.1)和(6.2)是完全能觀的充要條件是：

(13)

下面我們以分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的分布解為基礎(chǔ)，研究含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)快子系統(tǒng)的能觀性定理，即定理4。

定理4含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(6)的快子系統(tǒng)(6.3)和(6.4)完全能觀的充要條件是：

(14)

即，快子系統(tǒng)的能觀性矩陣QO2列滿秩。

輸出的矩陣形式可以表示為：

(15)

由于m

(16)

上式也可以寫成：

Y=Mx2(0)=M0QO2x2(0)

(17)

欲使(17)具有唯一解，其充要條件是系數(shù)矩陣M和增廣矩陣[M?Y]具有相同的秩且秩等于n2，故rankM=rank(M0QO2)=n2。由乘積矩陣秩的性質(zhì)n2=rankM0QO2≤min(rankM0,rankQO2)，可知rankQO2≥n2。又QO2∈Rmh×n2有n2列，故rankQO2≤n2。綜上得到：rankQO2=n2。

證畢！

以此為基礎(chǔ)，我們可以得到快子系統(tǒng)的能觀性PBH秩判據(jù)。

定理5(PBH秩判據(jù))含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(6)的快子系統(tǒng)(6.3)和(6.4)完全能觀的充要條件是：

(18)

證畢！

基于上述討論，我們可以得到含脈沖分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)的能觀性判定定理，即定理6。

定理6含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(5)完全能觀的充要條件是經(jīng)受限等價變換后，慢子系統(tǒng)(6.1)～(6.2)和快子系統(tǒng)(6.3)～(6.4)均完全能觀，即：

(19)

4 相關(guān)算例

我們可選擇適合的控制輸入u1,u2，讓這兩個狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)趨向于0。比如，取分段連續(xù)的控制輸入：

t/s圖1 導(dǎo)數(shù)階數(shù)為0.6時的u1,u2

t/s圖2 導(dǎo)數(shù)階數(shù)為0.6時的x21,x22

t/s圖3 導(dǎo)數(shù)階數(shù)為0.2時的u1,u2

t/s圖4 導(dǎo)數(shù)階數(shù)為0.2時的x21,x22

5 結(jié)論

針對含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)，本文以受限等價變換為工具，結(jié)合分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)含脈沖項的分布解，證明了含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的完全能控性和完全能觀性定理，并給出了簡便實用的含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的能控性和能觀性秩判據(jù)。算例說明，本文所提出的含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的完全能控(觀)定理和判據(jù)便捷有效。此外，我們知道，對偶線性系統(tǒng)的能控性和能觀性之間滿足對偶原理。含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)的形式和結(jié)構(gòu)如何，對偶原理是否仍然成立值得在后繼工作中加以研究。