黃施茜，黃佩珍

（南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京210016）

隨著微電子技術(shù)不斷發(fā)展，集成電路的特征尺寸不斷減小。集成電路中的內(nèi)連導(dǎo)線承擔(dān)著傳遞電信號(hào)的重要作用，在復(fù)雜的工作環(huán)境下會(huì)出現(xiàn)各種各樣的失效問題，其可靠性對(duì)集成電路的可靠性造成重大影響，成為科學(xué)界廣泛研究的熱點(diǎn)問題之一。

從上世紀(jì)六十年代起，人們就開始對(duì)集成電路內(nèi)連導(dǎo)線進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察［1-4］，并初步了解了金屬內(nèi)連導(dǎo)線的失效機(jī)制。在此基礎(chǔ)上，發(fā)展出了大量的理論分析方法。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，結(jié)合理論分析，數(shù)值模擬的方法逐漸成為內(nèi)連導(dǎo)線微結(jié)構(gòu)演化的主要研究方法。

基于Herring［5］經(jīng)典理論，Suo［6］系統(tǒng)推導(dǎo)了界面遷移和表面擴(kuò)散下微結(jié)構(gòu)演化的基本理論和弱解描述，并對(duì)熱蝕溝的形成和晶粒生長現(xiàn)象進(jìn)行了簡單的數(shù)值模擬。He 等［7-9］研究了應(yīng)力、電場(chǎng)誘發(fā)表面擴(kuò)散下晶內(nèi)微裂紋的演化。Zhou 等［10-11］研究了內(nèi)連導(dǎo)線線寬對(duì)梯度應(yīng)力場(chǎng)和電場(chǎng)誘發(fā)表面擴(kuò)散下晶內(nèi)微裂紋演化的影響。近幾年，相場(chǎng)法逐漸成為熱門的數(shù)值模擬方法之一。李二麗等［12］用相場(chǎng)法模擬了在力場(chǎng)及熱場(chǎng)作用下橢圓形孔洞的演化?？诐龋?3］研究了不同外場(chǎng)對(duì)孔洞形貌演化的影響規(guī)律并探討了孔洞愈合機(jī)理的可行性。李海波［14］用相場(chǎng)法模擬了各向異性壓電材料中夾雜和孔洞的演化。

從上述可以看出，對(duì)內(nèi)連導(dǎo)線內(nèi)部微裂紋演化的研究已經(jīng)有了一定的實(shí)驗(yàn)、理論和數(shù)值基礎(chǔ)，但是這些研究工作大多著眼于表面擴(kuò)散下的微裂紋或微孔洞的演化。界面遷移下微結(jié)構(gòu)演化的研究相對(duì)較少，僅見余文韜等［15］數(shù)值模擬了應(yīng)力誘發(fā)界面遷移機(jī)制下的晶內(nèi)及沿晶微裂紋演化路徑。Jing等［16］數(shù)值模擬了夾雜-基體彈性模量比、初始形態(tài)比、外部應(yīng)力和線寬對(duì)夾雜形態(tài)演化的影響。而界面遷移機(jī)制也是導(dǎo)致微結(jié)構(gòu)形態(tài)演化的主要機(jī)制之一，至今未見電場(chǎng)誘發(fā)界面遷移機(jī)制下的微裂紋演化研究。

故本文基于Suo 推導(dǎo)的界面遷移機(jī)制下的微結(jié)構(gòu)演化弱解描述，建立電場(chǎng)誘發(fā)界面遷移下的有限單元法，對(duì)晶內(nèi)微裂紋的形貌演化進(jìn)行數(shù)值模擬研究，主要探討界面之間的化學(xué)勢(shì)差對(duì)晶內(nèi)微裂紋形貌演化的臨界電場(chǎng)和形貌變化的影響。

1 二維晶內(nèi)微裂紋的模型

圖1 中晶內(nèi)微裂紋形貌由初始形態(tài)比β0確定，其中，a和h0分別為微裂紋的長、短半軸長，V0為導(dǎo)線遠(yuǎn)端電場(chǎng)大小。假設(shè)電壓在電場(chǎng)邊界上均勻分布，電流在導(dǎo)體內(nèi)部的流動(dòng)符合歐姆定律；第三維的電場(chǎng)分量為零，且電場(chǎng)能和表面能互不影響。此外，假設(shè)晶體和環(huán)境之間的化學(xué)勢(shì)差Δg不變。

圖1 二維晶內(nèi)微裂紋模型Fig. 1 Two-dimensional intragranular microcrack model

2 基本理論

2.1 弱解描述

界面遷移機(jī)制下，固體和環(huán)境之間的物質(zhì)通過蒸發(fā)和凝結(jié)過程進(jìn)行交換，從而使微結(jié)構(gòu)的形貌發(fā)生改變。在這個(gè)過程中，微結(jié)構(gòu)演化的驅(qū)動(dòng)力主要來自表面能γs、電壓V以及固相和氣相之間的化學(xué)勢(shì)差Δg，具體表達(dá)式為［8］

其中，κ為裂面表面曲率，在凸面上為正，e為元電荷，Z*為原子有效化合價(jià)，Ω為原子體積，V為原子所在點(diǎn)的電勢(shì)。驅(qū)動(dòng)力p大于零時(shí)，固體物質(zhì)增加，驅(qū)動(dòng)力p小于零時(shí)，固體物質(zhì)減少。

在界面遷移的過程中，界面上的每一點(diǎn)都遵循運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，即

式（2）中，vn為界面法向速度，m為界面遷移率。

系統(tǒng)的總自由能減少量為

式（3）中，δrn為界面法向虛位移。

將式（2）代入式（3），得到界面遷移的弱解描述為

2.2 有限元方法

由于本文討論的是二維問題，故利用圖2 所示的線性單元離散微裂紋表面形狀。整個(gè)裂面系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可由單元上各節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)得到。

圖2 線性單元Fig. 2 A linear element

單元長度為l，傾角為θ，節(jié)點(diǎn)1、2 的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，法向量為n= (sinθ，- cosθ)。

由于微裂紋系統(tǒng)受表面能、電勢(shì)能和化學(xué)勢(shì)差的作用，故線性單元的自由能增量為

將式（5）進(jìn)行積分，得出有限元的控制方程為

式（6）中，He為粘度矩陣，xe為廣義速度矩陣，f e為廣義力矩陣。

3 數(shù)值計(jì)算與討論

基于以上所建立的有限元控制方程，利用Fortran語言編制相應(yīng)的有限元程序，重點(diǎn)討論化學(xué)勢(shì)差對(duì)界面遷移機(jī)制下內(nèi)連導(dǎo)線中晶內(nèi)微裂紋演化的影響。本文取銅為研究材料，采用無量綱參數(shù)，即電勢(shì)能與表面能相對(duì)大小χ=V0||e Z*h0Ωγs，無量綱時(shí)間t=tmγsh20，無量綱化學(xué)勢(shì)差Δg= Δgh0γs。

3.1 化學(xué)勢(shì)差對(duì)微裂紋演化過程的影響

圖3 中給出了初始形態(tài)比β0= 4，χ= 0.2 時(shí)，不同化學(xué)勢(shì)差Δg下晶內(nèi)微裂紋的演化圖。由圖3（a）可知，當(dāng)Δg= -0.058 時(shí)，化學(xué)勢(shì)差小于零，即環(huán)境的化學(xué)勢(shì)高于晶體的化學(xué)勢(shì)，物質(zhì)由氣相進(jìn)入固相中，有利于微裂紋收縮。此時(shí)，由于驅(qū)動(dòng)力p大于零，固體物質(zhì)增加，驅(qū)使晶粒向內(nèi)生長，裂面朝著遠(yuǎn)離固體的方向運(yùn)動(dòng)，微裂紋發(fā)生收縮，并且最終趨于圓形。當(dāng)Δg=0.29時(shí)，雖然化學(xué)勢(shì)差大于零（即環(huán)境的化學(xué)勢(shì)低于晶體的化學(xué)勢(shì)），物質(zhì)由固相進(jìn)入氣相中，有利于微裂紋向外發(fā)生擴(kuò)展。但系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)力p仍舊大于零。因此，在微裂紋演化的初期，微裂紋的短軸向外擴(kuò)展，而長軸依舊保持向內(nèi)收縮，同時(shí)微裂紋不斷趨于圓柱化（圖3（b））。隨著化學(xué)勢(shì)差的增大，系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)力p小于零，導(dǎo)致物質(zhì)從固相進(jìn)入氣相，微裂紋向外發(fā)生擴(kuò)展，如圖3（c）所示。在微裂紋發(fā)生擴(kuò)展演化的初期，短軸發(fā)生擴(kuò)展，長軸先向內(nèi)收縮而后向外發(fā)生擴(kuò)展。在此過程中，短軸發(fā)生擴(kuò)展的速度要大于長軸發(fā)生擴(kuò)展的速度，最終也將趨于圓形，而后保持圓形向外擴(kuò)展。

由圖3 可以看出，不管是擴(kuò)展還是收縮，在表面能、電勢(shì)能和化學(xué)勢(shì)差的共同作用下，晶內(nèi)微裂紋都將趨于圓形，即晶內(nèi)微裂紋的形態(tài)比β都將趨近于1，下面詳細(xì)探討化學(xué)勢(shì)差對(duì)微裂紋形態(tài)比的影響。

圖3 β0 = 4，χ = 0.2時(shí)的晶內(nèi)微裂紋演化圖Fig. 3 Evolution of intragranular microcracks for β0 = 4,χ = 0.2

3.2 化學(xué)勢(shì)差對(duì)形態(tài)比的影響

圖4 所示為初始形態(tài)比β0= 4 的晶內(nèi)微裂紋演化過程中形態(tài)比β隨時(shí)間的變化圖。由圖4（a）可以看出，在其他條件相同而化學(xué)勢(shì)差不同的情況下，微裂紋圓柱化時(shí)間隨著Δg的增大而增大，也就是說Δg阻礙微裂紋的圓柱化。但隨著電場(chǎng)的增大，削弱了Δg對(duì)微裂紋圓柱化過程的影響（圖4（b））。

圖4 β0 = 4的微裂紋形態(tài)比隨時(shí)間變化圖Fig. 4 The aspect ratio as a function of time for the microcrack with the initial aspect ratio β0 = 4

通過大量的數(shù)值模擬分析發(fā)現(xiàn)，在給定初始形態(tài)比β0和化學(xué)勢(shì)差Δg的情況下，隨著電場(chǎng)的不同，晶內(nèi)微裂紋的演化也存在著如圖3 所示的擴(kuò)展和收縮現(xiàn)象，并存在臨界電壓χc。當(dāng)χ＜χc時(shí)，晶內(nèi)微裂紋發(fā)生收縮；當(dāng)χ≥χc時(shí)，晶內(nèi)微裂紋發(fā)生擴(kuò)展。下面詳細(xì)討論化學(xué)勢(shì)差Δg對(duì)臨界電壓χc的影響。

3.3 化學(xué)勢(shì)差對(duì)臨界電壓的影響

圖5 所示是不同初始形態(tài)比下臨界電壓隨化學(xué)勢(shì)差的變化圖。由圖5 可見，化學(xué)勢(shì)差對(duì)臨界電壓的影響近似呈線性。且在相同條件下，化學(xué)勢(shì)差越大，臨界電壓越小，即在晶體與環(huán)境的化學(xué)勢(shì)差較大時(shí)，需要較小的電壓便可使晶內(nèi)微裂紋發(fā)生擴(kuò)展。說明在同時(shí)考慮表面能、化學(xué)勢(shì)差和電勢(shì)能影響下的晶內(nèi)微裂紋演化過程中，當(dāng)Δg＜0 時(shí)，化學(xué)勢(shì)差和表面能共同作用，與電勢(shì)能相競(jìng)爭，促使微裂紋發(fā)生收縮；當(dāng)Δg＞0 時(shí)，化學(xué)勢(shì)差和電勢(shì)能共同作用，與表面能相競(jìng)爭，促使微裂紋發(fā)生擴(kuò)展。晶內(nèi)微裂紋演化的過程是三者相互競(jìng)爭的結(jié)果，且初始形態(tài)比越大，則微裂紋發(fā)生擴(kuò)展所需的臨界電壓χc越小，說明初始形態(tài)比越大微裂紋更易發(fā)生擴(kuò)展。

圖5 不同初始形態(tài)比下的臨界電壓隨化學(xué)勢(shì)差的變化Fig. 5 The critical voltage as a function of the difference ofchemical potential at the different initial aspect ratio

4 結(jié)論

本文有限元模擬了電場(chǎng)下晶內(nèi)微裂紋的演化，詳細(xì)討論了化學(xué)勢(shì)差、形態(tài)比和電場(chǎng)對(duì)微裂紋演化的影響，得出以下結(jié)論。

（1）化學(xué)勢(shì)差Δg對(duì)晶內(nèi)微裂紋的形貌演化過程有著顯著影響。

（2）相同條件下，Δg越大，則晶內(nèi)微裂紋圓柱化所需時(shí)間更長，即Δg對(duì)晶內(nèi)微裂紋的圓柱化有一定的抑制作用。

（3）當(dāng)Δg＜0 時(shí)，化學(xué)勢(shì)差和表面能共同作用，與電勢(shì)能相競(jìng)爭，促使微裂紋發(fā)生收縮；當(dāng)Δg＞0 時(shí)，化學(xué)勢(shì)差和電勢(shì)能共同作用，與表面能相競(jìng)爭，促使微裂紋發(fā)生擴(kuò)展。