基于解析法的加筋板封閉梯形聲腔的響應(yīng)分析

王園 李磊 盤朝奉 郭豪 張建潤(rùn) 任乃飛

摘要： 基于模態(tài)疊加法和聲振耦合理論建立了加筋板結(jié)構(gòu)與梯形聲場(chǎng)間的耦合模型;研究了點(diǎn)力到筋的距離、筋的剛度、質(zhì)量和根數(shù)的變化對(duì)耦合系統(tǒng)響應(yīng)的影響。結(jié)果表明：由于加筋導(dǎo)致的板振動(dòng)能量和梯形聲腔聲勢(shì)能的衰減程度與點(diǎn)力到筋間的距離密切相關(guān)，當(dāng)點(diǎn)力直接作用在筋上或者點(diǎn)力到筋的距離小于板的四分之一彎曲波長(zhǎng)時(shí)，振動(dòng)能量和聲勢(shì)能在較寬的頻段都出現(xiàn)衰減現(xiàn)象，反之則不會(huì)出現(xiàn)衰減現(xiàn)象。梯形聲腔聲勢(shì)能和固支板振動(dòng)能量的衰減級(jí)隨著筋彎曲剛度的增加而變大，而筋的質(zhì)量對(duì)能量衰減的影響與分析的頻段范圍有關(guān)。筋的根數(shù)增加并不會(huì)使得聲振耦合系統(tǒng)中聲勢(shì)能和板振動(dòng)能量的衰減級(jí)一直呈現(xiàn)增大現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞： 聲振耦合; 梯形聲場(chǎng); 加筋板; 模態(tài)疊加法

中圖分類號(hào)： TB532; O422.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2021）05-1045-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.05.019

引 言

彈性壁面封閉非規(guī)則聲腔結(jié)構(gòu)在工程領(lǐng)域中有著大量的應(yīng)用，如車輛乘座室、船舶艙室、飛機(jī)乘座艙等。對(duì)于這些非規(guī)則聲場(chǎng)與彈性壁面結(jié)構(gòu)間的耦合，羅超等采用數(shù)值方法先計(jì)算出非規(guī)則聲場(chǎng)的模態(tài)信息，然后再結(jié)合模態(tài)耦合法對(duì)非規(guī)則聲場(chǎng)與其彈性壁面間構(gòu)成耦合系統(tǒng)進(jìn)行分析[1]。Li等利用模態(tài)疊加法計(jì)算得到梯形聲場(chǎng)的模態(tài)信息，然后再結(jié)合聲振耦合理論構(gòu)建了梯形聲場(chǎng)與簡(jiǎn)支約束彈性壁面間的聲振耦合模型，推導(dǎo)了梯形聲場(chǎng)與簡(jiǎn)支板結(jié)構(gòu)間模態(tài)耦合系數(shù)[2]和受激勵(lì)后的動(dòng)態(tài)響應(yīng)[3]。Wang等結(jié)合模態(tài)疊加法和聲振耦合理論研究了固支約束彈性壁面與梯形聲場(chǎng)間的耦合特性和受激勵(lì)后的響應(yīng)[4]，并且進(jìn)一步研究了彈性壁面不同邊界約束時(shí)的聲振耦合特性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)[5]。除了利用模態(tài)疊加法和聲振耦合理論以外，還存在變分法[6?8]、小波伽遼金法[9]、等幾何分析法[10]等。由上述研究可知，對(duì)于非規(guī)則聲場(chǎng)與其彈性壁面間耦合研究中所考慮的都是平板，鮮有加筋板方面的報(bào)道。但加筋板封閉聲腔結(jié)構(gòu)在工程應(yīng)用中大量存在，因此很有必要開展此類結(jié)構(gòu)的聲振耦合研究。

對(duì)于加筋板結(jié)構(gòu)與封閉聲場(chǎng)間聲振耦合的理論研究，于士甲等提出先利用ANSYS獲得加筋板結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息，然后再結(jié)合能量模態(tài)分析法計(jì)算加筋板結(jié)構(gòu)與矩形聲場(chǎng)所構(gòu)成耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)[11];馬璽越等[12?13]利用模態(tài)疊加法和聲振耦合理論建立了雙層加筋板與板間矩形隔腔間聲振耦合模型，然后基于此模型做了進(jìn)一步研究。而對(duì)于工程應(yīng)用中常見的加筋板結(jié)構(gòu)與非規(guī)則聲場(chǎng)間的聲振耦合分析，國(guó)內(nèi)外鮮有報(bào)道。這是因?yàn)榘褰Y(jié)構(gòu)不僅要與非規(guī)則聲場(chǎng)進(jìn)行耦合，還要與筋進(jìn)行耦合，導(dǎo)致對(duì)耦合系統(tǒng)理論模型進(jìn)行構(gòu)建和求解比較困難。

加強(qiáng)筋與平板間的耦合會(huì)改變板的模態(tài)特性，從而進(jìn)一步影響其與聲腔聲場(chǎng)間的耦合。對(duì)于筋與平板間耦合，高雙等采用里茨能量泛函變分原理對(duì)加筋薄板的自由振動(dòng)特性進(jìn)行求解[14]。Dozio等基于模態(tài)疊加法研究了有限尺寸加筋薄板的自由振動(dòng)特性[15]。Lin等亦基于模態(tài)疊加法研究了激勵(lì)到筋的距離對(duì)加筋板結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，研究表明激勵(lì)到筋的距離與板的振動(dòng)響應(yīng)密切相關(guān)[16];Lin等[17]進(jìn)一步研究了附有多根筋的簡(jiǎn)支約束板的模態(tài)特性和控制機(jī)理。除了上述文獻(xiàn)提到的求解方法，還有微分求積法[18]、改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)法[19?20]等。

本文對(duì)固支約束加筋板結(jié)構(gòu)與非規(guī)則聲場(chǎng)構(gòu)成耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行詳細(xì)的研究，類似于文獻(xiàn)[1?8]將非規(guī)則聲腔設(shè)定為梯形聲腔。首先基于模態(tài)疊加法分別構(gòu)造加筋板結(jié)構(gòu)和梯形聲場(chǎng)的理論模型，然后利用聲振耦合理論建立它們之間的耦合模型，并通過軟件仿真驗(yàn)證所構(gòu)建理論模型的準(zhǔn)確性?；跇?gòu)建的聲振耦合模型研究了激勵(lì)與加強(qiáng)筋的相對(duì)位置對(duì)耦合系統(tǒng)中板振動(dòng)能量和聲腔聲場(chǎng)能量的影響，進(jìn)一步研究了筋的剛度、質(zhì)量和根數(shù)變化對(duì)板振動(dòng)能量和梯形聲場(chǎng)能量變化的影響。

1 計(jì)算公式

1.1 加筋板結(jié)構(gòu)與梯形聲場(chǎng)間聲振耦合模型

設(shè)梯形聲腔處為加筋彈性壁面，其余為剛性壁面，板和加強(qiáng)筋的邊界實(shí)施固支約束，如圖1所示。加強(qiáng)筋位于板在聲腔外的一側(cè)，并設(shè)筋與板之間為不可滑動(dòng)的線連接，且筋的寬度不超過板厚。沿板的X向和Y向分別布置根和根筋，位于 處的第m根筋在連接處存在相互作用的線力Fcm和線力矩，位于 處第n根筋在連接處存在線力和線力矩。所有筋的材料屬性相同，且具有相同的截面尺寸。固支約束板的振動(dòng)微分方程和梯形聲腔內(nèi)聲場(chǎng)波動(dòng)方程分別為[12，15]：

對(duì)于梯形聲場(chǎng)的內(nèi)部聲壓p，可通過其剛性壁面邊界梯形聲腔模態(tài)擴(kuò)展得到[5]

對(duì)于梯形聲腔，在固支約束加筋板結(jié)構(gòu)與梯形聲場(chǎng)的交界面處存在著邊界條件，其中表示梯形聲腔內(nèi)空氣密度，單位法向矢量指向外部為正。

分別對(duì)方程（2）和（14）乘以和，然后將兩式相減的結(jié)果沿梯形聲腔進(jìn)行積分，并利用第二格林定理將體積分轉(zhuǎn)變?yōu)槊娣e分，再結(jié)合梯形聲腔的邊界條件，以及引入模態(tài)損耗因子，最后對(duì)其模態(tài)振型進(jìn)行擴(kuò)展可得：

通過式（28）可得到梯形聲腔聲壓模態(tài)幅值，將此聲場(chǎng)模態(tài)幅值代入式（24）即可得到加筋板的振動(dòng)位移模態(tài)幅值，加強(qiáng)筋的振動(dòng)位移和扭轉(zhuǎn)角幅值可通過基板與筋的位移、轉(zhuǎn)角的連續(xù)性條件獲得。然后將求得的梯形聲場(chǎng)和加筋板振動(dòng)位移的模態(tài)幅值分別代入方程（12）和（7）即可得到聲場(chǎng)聲壓和板振動(dòng)位移。

1.2 加筋前后基板和梯形聲場(chǎng)的能量變化

梯形聲腔上固支板實(shí)施加筋后，板振動(dòng)能量衰減級(jí)LTp[13]和梯形聲場(chǎng)聲勢(shì)能衰減級(jí)LEe分別為：

2 理論計(jì)算與分析

如圖1所示，設(shè)位于梯形聲腔頂面處的固支約束加筋板的長(zhǎng)和寬分別為 m和 m，聲腔的高度為 m，傾斜角°。加筋板基板的厚度 m。加強(qiáng)筋的形狀為等截面的矩形，其截面積為?；搴图訌?qiáng)筋材料相同，均為鋁，密度為，楊氏模量為，泊松比為。聲腔內(nèi)媒質(zhì)為空氣，其密度，聲速。設(shè)梯形聲腔聲場(chǎng)和加筋板的模態(tài)損耗因子分別均為0.001和為0.01，其中加筋板是通過復(fù)楊氏模量來引入阻尼。在下面的分析中，一個(gè)幅值為1 N的法向簡(jiǎn)諧點(diǎn)力始終作用在基板（0.1，0.76） m處。

2.1 耦合系統(tǒng)理論模型驗(yàn)證

本文用于梯形聲場(chǎng)、基板、筋間耦合計(jì)算的模態(tài)個(gè)數(shù)上限分別取為，。為驗(yàn)證準(zhǔn)確性，用商業(yè)軟件ANSYS和LMS Virtual. Lab對(duì)聲振耦合系統(tǒng)進(jìn)行建模仿真。設(shè)筋位于基板yn=3Ly/4 處。圖2為兩種方法所計(jì)算的點(diǎn)力激勵(lì)下聲腔內(nèi)一典型場(chǎng)點(diǎn)處聲壓級(jí)，場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0.1，0.1，0.1） m，可知在所考慮頻段內(nèi)結(jié)果基本吻合，說明此理論模型是準(zhǔn)確的。

2.2 筋到激勵(lì)點(diǎn)的距離對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響

當(dāng)固支約束板上有平行于X軸（）的單根筋時(shí)，通過改變筋的位置來改變激勵(lì)到筋的距離，圖3為此時(shí)耦合系統(tǒng)中基板振動(dòng)能量衰減級(jí)曲線和梯形聲場(chǎng)聲勢(shì)能級(jí)衰減曲線，其中橫坐標(biāo)采用三分之一倍頻程形式，此坐標(biāo)形式可以減少單個(gè)系統(tǒng)模態(tài)響應(yīng)對(duì)能量衰減分析的影響。為了更清晰地觀察各中心頻率處能量變化的原因，圖4給出了橫坐標(biāo)為連續(xù)頻譜時(shí)的能量衰減曲線。此處分析設(shè)置加強(qiáng)筋在基板上的布放位置分別為，， m，對(duì)應(yīng)點(diǎn)力激勵(lì)加強(qiáng)筋上、點(diǎn)力距筋較近和較遠(yuǎn)三種情況。由于加強(qiáng)筋位于和時(shí)關(guān)于板是對(duì)稱的，從而兩加筋板的共振頻率一樣，模態(tài)振型對(duì)稱。由圖3和4分析可得：

1） 當(dāng)點(diǎn)力作用在加強(qiáng)筋上時(shí)（ m），相較于平板，梯形聲場(chǎng)能量級(jí)和基板振動(dòng)能量級(jí)在整個(gè)分析頻段都出現(xiàn)了能量衰減現(xiàn)象（正和值），如圖3（a）和（b）所示。由文獻(xiàn)[16]可知，當(dāng)點(diǎn)力作用在筋上時(shí)，加筋板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是由筋彎曲剛度所控制的。由于筋的彎曲剛度是基板的4.62倍，從而板振動(dòng)能量在加筋后變小，也導(dǎo)致與板結(jié)構(gòu)耦合的聲腔能量在加筋后也變小。再結(jié)合圖4（a）和（b）可知，在整個(gè)所分析的頻段，板振動(dòng)能量級(jí)和梯形聲場(chǎng)能量均出現(xiàn)了明顯的衰減現(xiàn)象。

2）當(dāng)加強(qiáng)筋位于時(shí)，相較于平板，聲腔聲場(chǎng)能量在中心頻率315 Hz以下出現(xiàn)衰減現(xiàn)象;板振動(dòng)能量在所分析的中心頻率處都出現(xiàn)了明顯的能量衰減現(xiàn)象，但中心頻率315 Hz處的能量衰減明顯變小;中心頻率315 Hz范圍內(nèi)的304 Hz對(duì)應(yīng)板的四分之一彎曲波長(zhǎng) m，此長(zhǎng)度為點(diǎn)力到筋的距離;由文獻(xiàn)[16]可知，當(dāng)點(diǎn)力到筋的距離小于板的四分之一彎曲波長(zhǎng)時(shí)，加筋板的振動(dòng)響應(yīng)是由筋的彎曲剛度所控制的，且筋的彎曲剛度遠(yuǎn)大于板的，因此導(dǎo)致加筋后的板振動(dòng)能量以及與其耦合的聲腔聲能量在此中心頻率下出現(xiàn)能量衰減現(xiàn)象。

3）當(dāng)加強(qiáng)筋位于處時(shí)，梯形聲場(chǎng)聲勢(shì)能和板振動(dòng)能量的衰減級(jí)曲線均出現(xiàn)了波動(dòng)現(xiàn)象;這是因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)力到筋的距離大于板的四分之一彎曲波長(zhǎng)，導(dǎo)致加筋板振動(dòng)響應(yīng)是由基板的彎曲剛度所控制;且加筋會(huì)使板控模態(tài)的共振頻率出現(xiàn)轉(zhuǎn)移，造成共振頻率從一個(gè)中心頻率轉(zhuǎn)移到另外一個(gè)中心頻率范圍內(nèi)，從而使加筋前后能量出現(xiàn)波動(dòng)現(xiàn)象，如圖4（a）和（b）所示。雖然筋位于處和處時(shí)加筋板的自由振動(dòng)特性一樣，但由于它們到激勵(lì)的距離不一樣，導(dǎo)致對(duì)應(yīng)耦合系統(tǒng)的響應(yīng)不同，進(jìn)而使得能量衰減級(jí)也不同。

2.3 筋的參數(shù)對(duì)聲振耦合系統(tǒng)響應(yīng)的影響

當(dāng)固支約束板上筋位于 m處時(shí)，下面分別研究筋的剛度、質(zhì)量變化對(duì)聲振耦合系統(tǒng)響應(yīng)的影響。由于筋的扭轉(zhuǎn)剛度遠(yuǎn)小于其彎曲剛度，使得其對(duì)聲振耦合系統(tǒng)響應(yīng)的影響較小，因此這里只考慮筋的彎曲剛度對(duì)聲振耦合系統(tǒng)的影響。

圖5（a）和（b）為筋分別為原彎曲剛度、2倍和4倍原彎曲剛度時(shí)梯形聲腔聲勢(shì)能衰減級(jí)和板振動(dòng)能量衰減級(jí)。分析可知，隨著筋的彎曲剛度增加，梯形聲場(chǎng)和板振動(dòng)的能量衰減級(jí)在大部分所分析的中心頻率處逐漸增加。這是由于此時(shí)加筋板的振動(dòng)響應(yīng)是由筋的彎曲剛度所控制，并且筋的彎曲剛度遠(yuǎn)大于板的，因此耦合系統(tǒng)中各部分衰減量隨著筋的彎曲剛度的增加而變大。但在一些中心頻率處，筋的剛度增大到原來的2倍時(shí)，板振動(dòng)和梯形聲場(chǎng)的能量基本不變，如中心頻率為160和250 Hz;另外在中心頻率為315 Hz時(shí)，梯形聲場(chǎng)聲勢(shì)能衰減級(jí)隨著彎曲剛度的增大而變小，但板振動(dòng)能量基本不變。這是由于部分加筋板的共振頻率隨著筋剛度的增加而發(fā)生明顯轉(zhuǎn)移，造成板控模態(tài)從一個(gè)中心頻率轉(zhuǎn)移到另外一個(gè)中心頻率造成的。

圖6為筋的質(zhì)量分別為原質(zhì)量、2倍和4倍原質(zhì)量時(shí)對(duì)耦合系統(tǒng)中各部分能量衰減的影響。在中心頻率50 Hz以下以及中心頻率160 Hz處，筋質(zhì)量變化對(duì)板振動(dòng)能量和梯形聲場(chǎng)能量衰減基本沒有影響;中心頻率在63?125 Hz之間，隨著筋的質(zhì)量增加，板振動(dòng)能量和梯形聲場(chǎng)能量的衰減逐漸變小，但變化較小;而在中心頻率500 Hz處，固支板振動(dòng)能量和梯形聲場(chǎng)能量衰減程度隨著筋質(zhì)量的增加而變大。

2.4 筋的根數(shù)變化對(duì)聲振耦合系統(tǒng)響應(yīng)的影響

當(dāng)固支約束板上依次布置1，2，3和4根筋時(shí)，圖7（a）和（b）分別為4種不同筋根數(shù)時(shí)聲振耦合系統(tǒng)中梯形聲場(chǎng)能量衰減級(jí)曲線和板振動(dòng)能量衰減級(jí)曲線?？芍噍^于只在板一個(gè)位置處加筋時(shí)，當(dāng)板上， 兩個(gè)位置處實(shí)施加筋時(shí)的板振動(dòng)能量和聲腔聲勢(shì)能的衰減級(jí)在多數(shù)中心頻率處出現(xiàn)增大現(xiàn)象，特別是板振動(dòng)能量級(jí)。但是當(dāng)在板上，， 三個(gè)位置處，以及，，，四個(gè)位置處加筋時(shí)，板振動(dòng)能量和梯形聲腔聲勢(shì)能的衰減級(jí)相較于板上兩根筋時(shí)變化較小，沒有出現(xiàn)明顯的增大現(xiàn)場(chǎng)，但在一些中心頻率處出現(xiàn)波動(dòng)現(xiàn)象。從而可知增加板上筋的根數(shù)并不一定出現(xiàn)板振動(dòng)能量和梯形聲腔聲勢(shì)能的衰減級(jí)放大現(xiàn)象。

3 結(jié) 論

本文基于模態(tài)疊加法和聲振耦合理論構(gòu)建了固支約束加筋板結(jié)構(gòu)與梯形聲場(chǎng)間耦合模型，研究了筋的位置、彎曲剛度、質(zhì)量、根數(shù)對(duì)聲振耦合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。結(jié)論如下：

（1） 由于加筋而產(chǎn)生的梯形聲場(chǎng)聲勢(shì)能和加筋板振動(dòng)能量的衰減程度與點(diǎn)力到加強(qiáng)筋的距離密切相關(guān)，當(dāng)筋的彎曲剛度遠(yuǎn)大于板的彎曲剛度，且點(diǎn)力直接作用在加強(qiáng)筋上或者點(diǎn)力到筋的距離小于板的四分之一彎曲波長(zhǎng)時(shí)，聲腔聲勢(shì)能和板振動(dòng)能量在所分析的大部分頻段都出現(xiàn)了衰減;反之則只會(huì)出現(xiàn)由于加筋而產(chǎn)生的共振頻率轉(zhuǎn)移，不會(huì)出現(xiàn)連續(xù)衰減現(xiàn)象。從而可為工程中的加筋板封閉空腔這類聲學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)筋的合理布置提供指導(dǎo)。

（2） 當(dāng)點(diǎn)力直接作用在加強(qiáng)筋上時(shí)，梯形聲腔聲勢(shì)能和固支板振動(dòng)能量的衰減級(jí)隨著筋彎曲剛度的增加整體上變大;當(dāng)點(diǎn)力直接作用在加強(qiáng)筋上時(shí)，板質(zhì)量的變化對(duì)梯形聲腔聲勢(shì)能和板振動(dòng)能量的衰減級(jí)的影響在所考慮的不同頻段表現(xiàn)出不同的特點(diǎn)，低頻段沒有影響，中間頻段隨著質(zhì)量的增加衰減量變小，而高頻段則隨著質(zhì)量的增加而能量衰減變大。

（3） 梯形聲腔聲勢(shì)能和固支板振動(dòng)能量的衰減級(jí)隨著板上筋的根數(shù)增加并不一定變大。

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作者簡(jiǎn)介： 王 園（1984-），男，博士，講師。電話：18362880958;E-mail： wangyuan@ujs.edu.cn