捕捉幾何錯誤 洞見數(shù)學之美*

劉 鵬 (浙江省義烏市北苑中學 322015)

童桂恒 (浙江省金華第四中學 321001)

楊光偉 (浙江師范大學教師教育學院 310005)

1 問題提出

近些年，數(shù)學美作為數(shù)學教育領域研究的核心議題之一，其理論之維與實踐路徑不斷發(fā)展的同時，也衍生出一系列問題．初中階段的幾何領域中，許多一線教師對數(shù)學美的理解存在一些誤區(qū)，普遍認為數(shù)學美就是指一些對稱、簡單的幾何圖形，而復雜、錯誤的幾何圖形便不具有數(shù)學美的特征．事實上，這樣的理解是片面的，并沒有正確認識數(shù)學美的本質(zhì)．其原因主要有兩點：一是對理論的理解存在一些缺陷；二是對具有數(shù)學美的幾何素材研究得較少，從而在一定程度上阻礙了數(shù)學美在課堂教學中的發(fā)展．

實際上，具有“幾何錯誤”的圖形中也蘊含了數(shù)學美，只不過由于課內(nèi)的素材所呈現(xiàn)的多以正確、易于判斷的幾何圖形為主，很難有新的突破點．這就需要教師對數(shù)學美的相關素材進行廣泛的涉獵，以填補課內(nèi)的空白．基于此，結合對數(shù)學美的理解與自身閱讀經(jīng)歷，與各位讀者分享在閱讀過程中對于素材的發(fā)現(xiàn)，以及如何尋找包含幾何錯誤的圖形與數(shù)學美之間的聯(lián)系，從而為數(shù)學美融入幾何教學提供進路與方略．

2 幾何錯誤與數(shù)學美

這里所探討的幾何錯誤，是指視覺上所看到的幾何錯誤，不是由于不細心或缺乏理解而產(chǎn)生的錯誤．幾何圖形常常具有欺騙性，對于呈現(xiàn)在我們眼前的圖形，我們往往會受到視覺上的干擾，認為得到的結論一定是正確的，導致視覺受到欺騙從而發(fā)生錯誤的判斷．例如，圖1中的兩條線段，看上去第一條更長一些，實際上兩條線段的長度是相等的．這樣的幾何錯誤是由于忽視了幾何圖形確定幾何性質(zhì)和證明幾何關系的重要性，以至于對數(shù)學美也產(chǎn)生了一定的誤解．不僅是在線段問題上，甚至是在對稱圖形中也會出現(xiàn)這樣的情況．

圖1

幾何學的學習作為發(fā)展美學教育的重要途徑之一，不僅能夠培養(yǎng)學生的幾何直觀素養(yǎng)，也能夠發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)美、欣賞美的能力．張奠宙先生曾指出，數(shù)學教學中的美學教育有四個層次：美觀、美好、美妙、完美[1]．即“美觀”強調(diào)數(shù)學對象形式上的對稱、和諧、簡潔等，給人以美感；“美好”強調(diào)數(shù)學對象的正確性；“美妙”注重學習數(shù)學的感受；“完美”則是追求統(tǒng)一、完美無缺．

從幾何來看，可以進一步理解為：“美觀”指圖形的外表美觀；并且這種美觀需要嚴格的邏輯證明，這就是“美好”的體現(xiàn)；在幾何證明中展示多種數(shù)學思想方法，體會方法的樂趣，又稱之為“美妙”；最后，回過頭來思考，對于具有數(shù)學美的幾何圖形的產(chǎn)生過程，是否可以更為簡約、自然或是作進一步的推廣？這樣的探究才能稱得上是“完美”．基于此，筆者根據(jù)自己對數(shù)學美中“四美”的理解，結合一個具體的幾何圖形實例加以分析．

3 案例分析

3.1 生活與數(shù)學的“美觀”共情

筆者在閱讀過程中，發(fā)現(xiàn)了一類關于正八邊形的圖形以及作圖方法[2]，將其整理如表1．

表1 正八邊形的作圖方法

初看這5個圖形，均給人一種視覺上的美感．每一個圖形中均包含了圓、等腰三角形、等腰直角三角形、正方形等不同的幾何圖形．這些數(shù)學對象均能夠給人一種形式上的和諧、優(yōu)美的感覺．據(jù)記載，作法1由藝術家兼幾何學家奧古斯丁·希爾施富格爾于1543年首次發(fā)現(xiàn)，是藝術與數(shù)學相結合的產(chǎn)物；作法3是金匠海因里?！ぬm登薩克于1564年首次發(fā)現(xiàn)，是手工藝與數(shù)學相結合的產(chǎn)物；作法5是由阿基米德作出的，我們都知道他是數(shù)學家、哲學家、物理學家，可以說是多個知識領域的智慧結晶，自然不意外．美觀作為數(shù)學美的第一層次，從形式上看，體現(xiàn)在數(shù)學圖形使人看起來舒服．從來源上看，數(shù)學美源于生活中藝術、手工藝、多個學科領域等，將它們與數(shù)學相融合．由直觀的美學印象從生活中的事物遷移到數(shù)學中，以幾何圖形的性質(zhì)與結構呈現(xiàn)數(shù)學美，這正是一個數(shù)學美與生活中的美相輔相成的過程．

3.2 “美好”與“美妙”共舞

針對上述圖形，筆者第一反應是猜測如此對稱美觀的幾何圖形，應該都是正八邊形吧．展開證明，卻發(fā)現(xiàn)了一些幾何錯誤！結合五種作法，給出相應的具體解析或證明：

圖2 圖3 圖4

如此優(yōu)美的幾何圖形，竟然不是正八邊形！

解析4如圖5，因為△AEG和△BEH是全等的等腰直角三角形，得GE=EH．且直線GF和EF均為角平分線，得∠FGE=∠FEG=22.5°，∠GFE=135°，得△FGE為等腰三角形，GF=FE．同理，得△IEH為等腰三角形，EI=IH，∠IEH=∠IHE=22.5°．可由角邊角關系推出△GFE和△HIE全等，得到鄰邊EF=EI.同理可得陰影部分圖形的所有鄰邊相等．同時，也可以得到∠FEI=135°，從而推得所有的內(nèi)角都相等．因此，作法4正確．

圖5 圖6

四美的呈現(xiàn)是一個漸進的過程，“美觀”的幾何圖形必須上升到“美好”的層次．作為數(shù)學美的第二個層次，從幾何圖形的性質(zhì)與結構出發(fā)，只有認識到幾何圖形的正確性，才能體現(xiàn)“美好”．正八邊形既是一個軸對稱圖形，更是一個中心對稱圖形．多數(shù)學生會以為通過觀察、操作所得到的幾何圖形具有對稱美、和諧美的特征，就一定是正八邊形．本例凸顯了觀察與經(jīng)驗理解的局限性以及邏輯推理的重要性．筆者根據(jù)正八邊形的定義，對五個作法展開了簡單的解析，將直觀經(jīng)驗轉化為演繹推理，發(fā)現(xiàn)了作法2與作法5所得到的八邊形并非是正八邊形，與視覺上所看到的截然不同．兩種作法得到的均是等邊不等角的八邊形，可見“美觀”的外表需要“美好”的幾何證明來驗證，而不是憑借簡單的視覺，那樣往往會產(chǎn)生錯誤．

“美妙”作為數(shù)學美的第三個層次，體現(xiàn)在“美好”的幾何圖形探究過程中，所運用的數(shù)學思想方法上．首先，以上五個證明均滲透了數(shù)形結合的思想，將幾何證明代數(shù)化．通過這樣的例子，能夠進一步感受代數(shù)中的證明和幾何中的觀察、操作之間的聯(lián)系，實現(xiàn)從實驗幾何到代數(shù)幾何的跨越．其次，我們看解析1與解析4，均從圖形的基本性質(zhì)和屬性出發(fā)，解析1采用假設法這一數(shù)學方法，將邊長具體化，利用等腰三角形的特殊性，得到八邊形邊長的數(shù)量關系和位置關系，解析4直接由多個等腰三角形與角平分線的性質(zhì)得到八邊形的內(nèi)角關系，由角的關系再推得邊之間的關系，層層遞進；再次，作法2與作法5的證明，在假設法的基礎上結合反證法與三角函數(shù)的運用，通過假設邊長計算得到內(nèi)角的三角函數(shù)值，與tan 22.5°進行大小比較來證明結論，使得思維含量進一步增大．對學生來說，不僅能夠想到三角函數(shù)來證明幾何，還能求特殊角一半的三角函數(shù)值，這是多種數(shù)學方法與知識的交匯，更是方法的美妙結合；最后，解析3中引入了方程思想，設未知數(shù)，根據(jù)正方形的邊長與圓的半徑之間的等量關系建立方程，得出八邊形邊長的關系．由此可見，一個看似簡單的幾何圖形背后，卻能夠隱藏著如此多的數(shù)學思想方法，怎么能不讓人感到美妙？可以想象，當學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、解決問題的過程后，是否也會和筆者一樣體會到數(shù)學的妙不可言，對數(shù)學產(chǎn)生由衷的興趣呢？

3.3 幾何與“完美”共生

從數(shù)學發(fā)展來看，數(shù)學美經(jīng)歷了美觀—美好—美妙的三個層次，并沒有止步于此，而是做到至善至美，追求極致，便產(chǎn)生了“完美”．正如懷特海先生所說：“數(shù)學的魅力在于來自一般原理的互相影響的大量推論，它們之間的復雜關系，與爭論的出發(fā)點之間的明顯的疏遠，形式多樣的方法，抽象的特征所帶來的不朽真理．”[3]正是這種魅力引發(fā)筆者猜想，如果沒有圓規(guī)能否得到正八邊形呢?探索后找到一種折疊的方法：

如圖7所示，由一張長方形紙片，將其對折兩次，再按照45°角進行折疊，折出45°角的折線之后，通過直尺取折線上到圖形中心等距離的點，得到正八邊形．可以看出，得到正八邊形的方法在幾何中絕不僅僅只有作圖法，還有折疊法等．總體看，從古至今，不論是歐氏幾何公理體系的建立還是解析幾何與微積分的創(chuàng)立，或是勾股定理證明的無盡探索等，無論是對一個方程解的探究還是對動點問題的分類討論，都是追求“完美”的表現(xiàn)，或許這才是數(shù)學美的最高境界吧！

圖7

4 四美漸進

在正八邊形作圖的相關問題探究中，先是從幾何圖形“美觀”的外表，聯(lián)系生活實際，深入到邏輯證明的“美好”，再從幾何圖形的證明過程中分析歸納出各種方法的“美妙”，最后，擴展聯(lián)想出得到正八邊形的其他途徑，不能說得上是“完美”，卻是以追求“完美”為最終目標．實際上是一個“四美漸進”的過程，張奠宙先生所提出美觀、美好、美妙、完美四個層次，并非是孤立的，毫無關聯(lián)的，而是相互聯(lián)系與作用的．尤其是在幾何領域中，本文對數(shù)學美的解讀又有了新的含義．簡而言之，我們只有在生活中關注點滴細節(jié)，或是在課內(nèi)與課外挖掘蘊含數(shù)學美的各種素材，見微知著，勤于反思，才能領悟數(shù)學美的真諦．那么，當我們發(fā)現(xiàn)了這些素材，如何能夠在教學或探究中使用這些素材，如何能夠將數(shù)學美真正地融入課堂教學，這些又需要教師們進一步思考與實踐．