郝衛(wèi)強, 劉麗娟, 沈巧銀

(1. 常州工程職業(yè)技術學院, 江蘇 常州 213164; 2. 南京大學常州高新技術研究院, 江蘇 常州 213164)

等度洗脫和梯度洗脫是液相色譜的兩種基本操作模式。在等度洗脫中,實驗參數(shù)如流動相組成(即強洗脫溶劑在流動相中的體積分數(shù),φ)等為一常數(shù)。在梯度洗脫中,φ則會隨時間(t)的改變而發(fā)生變化。與等度洗脫相比,梯度洗脫有助于縮短分析時間,減少色譜峰的寬度,在實踐中有著廣泛應用[1,2]。然而溶質(zhì)的保留因子(k)以及傳質(zhì)系數(shù),如溶質(zhì)沿色譜柱軸向的擴散系數(shù)(D)以及在固定相和流動相之間的吸附動力學系數(shù)(kf)等,也會隨著φ的改變而發(fā)生變化。在色譜理論中,色譜過程所涉及的對流、擴散、吸附等可通過由偏微分方程組構成的色譜模型進行描述[3,4]。物理參數(shù)k、D、kf等往往出現(xiàn)在偏微分方程的系數(shù)之中。對于等度洗脫,這些參數(shù)為常數(shù),因此等度洗脫所對應的色譜模型為常系數(shù)偏微分方程組。然而對于梯度洗脫,k、D、kf則會隨著φ的改變而發(fā)生變化,因此其所對應的色譜模型為變系數(shù)偏微分方程組,這就增加了數(shù)學分析的難度。

“譜帶壓縮效應”是梯度洗脫的重要特征。在梯度洗脫中,沿著流速方向,譜帶后沿所處的流動相洗脫強度將高于前沿。因此,位于譜帶后沿的溶質(zhì)的遷移速率快于前沿,進而導致譜帶壓縮。在色譜中,溶質(zhì)的遷移速率等于u/(1+k),其中u為流動相的線性流速[3]。因此,譜帶壓縮的程度與k在譜帶區(qū)間的分布相關。對于等度洗脫,k為常數(shù),因此譜帶壓縮效應在等度洗脫中并不存在。經(jīng)典的范德姆特(van Deemter)理論塔板高度方程基于等度洗脫推導得到,因此并未包含譜帶壓縮效應的影響[5]。但是對于梯度洗脫,由范氏方程所描述的因擴散或吸附等造成的譜帶展寬現(xiàn)象(即理論塔板高度H>0)依然存在。在梯度洗脫中譜帶壓縮和譜帶展寬現(xiàn)象同時并存,這也增加了分離機理研究的難度。Gritti和Guiochon[6,7]指出,目前對于譜帶壓縮效應的研究尚未引起足夠的重視。

1 Poppe公式

對于最簡單的梯度洗脫情形,梯度曲線為線性,

Φ(t)=φ0+Bt

(1)

其中,Φ(t)為輸入系統(tǒng)的流動相組成隨時間t(min)變化的程序,φ0為初始流動相組成,B為梯度斜率,溶劑強度模型為Snyder等[8,9]提出的線性溶劑強度模型(linear solvent strength model, LSSM),

lnk=lnk0-Sφ

(2)

其中,lnk0和S為溶劑強度參數(shù),Poppe等[10]基于平衡-擴散色譜模型(即將導致譜帶展寬的所有傳質(zhì)因素集中體現(xiàn)在軸向擴散系數(shù)D的大小上,通常用符號Da替代D[3,4]),推導得到第一個具有嚴格數(shù)學意義,也是在2008年之前唯一一個可用于譜帶壓縮因子(G)計算的數(shù)學公式(以下簡稱Poppe公式)[6],

(3)

其中,σL為色譜峰沿色譜柱軸向的標準偏差(cm),H為理論塔板高度(cm),L為色譜柱長(cm),參數(shù)p通過公式(4)進行計算,

(4)

其中,t0為死時間(min),kφ0為溶質(zhì)在初始流動相中的保留因子。Poppe公式在推導的過程中還遵循以下兩個假設[6,10]: (1)H不隨φ的改變而發(fā)生變化;(2)梯度曲線在遷移過程中未發(fā)生變形,即固定相對流動相組成溶劑的吸附可忽略不計。在得到G值后,色譜峰寬(W)可通過下式進行計算：

(5)

其中,N為色譜柱的理論塔板數(shù)(N=L/H),φR為溶質(zhì)流出色譜柱時所對應的流動相組成,kφR為φR情形中的保留因子。然而,實踐中由公式(3)～(5)計算得到的峰寬理論值往往小于實驗測定值[11,12]。Snyder等[13]嘗試引入經(jīng)驗參數(shù)J,即將公式(5)中的G替換為GJ,從而消除這種偏差。然而,J的物理意義至今仍不明確,這在一定程度上限制了人們對于譜帶壓縮效應的認識。

2 Poppe公式的改進

在實踐中l(wèi)nk-φ曲線往往呈現(xiàn)出非線性的特征[14,15]。Carr等[16]指出,受制于LSSM的局限,著名色譜軟件DryLab將無法準確預測梯度洗脫中的色譜圖。為了更為準確地描述lnk與φ之間的關系,一些學者提出了具有如下形式的擬線性或非線性溶劑強度模型[17-19],

lnk=lnk0-S1φ+S2φ2

(6)

(7)

(8)

其中,lnk0、S1、S2為溶劑強度參數(shù)。Neue等[20]通過研究指出,為了正確認識梯度洗脫中的譜帶壓縮效應,需要將lnk-φ曲線的非線性特征考慮在內(nèi)。在計算中,Neue等[20]將kφR的實驗測定值替換基于LSSM得到的理論值,由此計算得到W的理論值與實驗值之間的誤差可降低至7%。Neue等[20]研究工作的不足是尚未將lnk-φ曲線的非線性特征對G值的影響進行校正。

作為對Poppe工作的改進,Gritti和Guiochon[6,7]基于非線性溶劑強度模型,以平衡-擴散色譜模型為研究對象,探討了G的通用數(shù)學表達式。本文作者則根據(jù)傳輸色譜模型(即將導致譜帶展寬的所有傳質(zhì)因素集中體現(xiàn)在吸附動力學系數(shù)kf的大小上,通常用符號kfL替代kf[3,4])展開研究,得到了具有如下形式的理論塔板高度方程[21],

(9)

其中,σt為色譜峰沿時間坐標的標準偏差(min),tR為保留時間(min),tD為流動相從輸液系統(tǒng)中的混合器到達色譜柱入口所必需的時間(min),Hap為表觀理論塔板高度(cm),k、H中的下標為其所對應的流動相組成。公式(9)與Gritti和Guiochon得到的結(jié)果基本一致[22]。不同之處在于公式(9)進一步考慮了梯度延遲時間tD對色譜峰寬的影響。在實踐中,任何一臺HPLC儀都不可避免地會存在梯度延遲。這就意味著在分離的過程中,在梯度曲線追上溶質(zhì)之前,溶質(zhì)將會隨著初始流動相在色譜柱中進行遷移。溶質(zhì)在初始流動相中的遷移行為可通過無量綱值Z0/L=tD/(t0kφ0)進行度量,其中Z0為溶質(zhì)隨初始流動相在柱中的遷移距離(cm)[23]。由于不同HPLC儀的tD都不一樣,研究tD對溶質(zhì)色譜行為的影響對于分離結(jié)果的準確預測,以及分析方法在不同儀器之間的轉(zhuǎn)移將具有重要意義。

當H隨φ的變化可忽略不計時,由公式(9)可得到G的一個通用表達式[23],

(10)

對于Poppe所研究的LSSM-線性梯度洗脫情形,由(10)式可得：

(11)

(12)

當tD/(t0kφ0)被忽略不計時(Poppe在推導公式(3)時采用了Snyder等[8,9]提出的忽略了tD/(t0kφ0)影響的保留時間公式),由公式(11)可得到Poppe公式(這時q=1/(1+p))[23]。當lnk-φ曲線的非線性對G的影響被考慮在內(nèi)時,如通過Schoenmakers等[17]提出的二次溶劑強度模型(quadratic solvent strength model, QSSM,即公式(6))描述lnk與φ之間的關系,對于公式(1)描述的線性梯度洗脫,由公式(10)可得[23]：

(13)

(14)

基于公式(13)計算得到的峰寬理論值與實驗值更為吻合[23,24]。對于Neue等[20]研究得到的實驗數(shù)據(jù),當考慮lnk-φ曲線的非線性,以及H隨φ的變化對G的影響時,計算得到的峰寬理論值與實驗值之間的誤差可由7%降低至2%[24]。這一結(jié)果表明,以往研究報道的梯度洗脫中峰寬的理論值與實驗值之間存在較大偏差(即通過Snyder提出的經(jīng)驗參數(shù)J進行衡量),可能更多的是由于計算方法不當所致。

3 理想情形中的譜帶壓縮效應

基于理想色譜模型對梯度洗脫的分離機理展開研究,將有助于認識譜帶壓縮效應的極限情形[25]。在理想色譜模型中,引起譜帶展寬的傳質(zhì)動力學因素被忽略不計(即H=0)。因此,譜帶在遷移的過程中將僅受到譜帶壓縮效應的影響,壓縮程度將最大化。對于分析型液相色譜(即溶質(zhì)的濃度位于吸附等溫線的線性區(qū)間),假定進樣函數(shù)是寬度為Tinj的矩形進樣。對于理想情形中的等度洗脫,由于譜帶的形狀不會隨溶質(zhì)在柱中的遷移而發(fā)生改變,因此色譜柱出口處的譜帶寬度(WG)將等于進樣寬度Tinj。而在梯度洗脫中,由于存在譜帶壓縮效應,WG

(15)

上式適用于任意形式的溶劑強度模型以及梯度曲線。需要注意,Gideal(=kφ0/kφR)出現(xiàn)在了(12)式的分母之中。對于具有其他溶劑強度形式(如QSSM)的線性梯度洗脫,都可以將G(H>0)表達為Gideal(H=0)的函數(shù)[24]。

4 結(jié)論

在實踐中除了流動相組成梯度,還存在溫度、pH值、離子強度等多種梯度形式。例如,Gritti[26]嘗試設計了一種新的加熱裝置,從而實現(xiàn)溫度沿色譜柱軸向的梯度變化。與等度洗脫相比,梯度洗脫在增加分離操作靈活性的同時,也增加了理論研究的難度。雖然梯度洗脫的分離機理非常復雜,但是其依然有規(guī)律可循。通過對梯度洗脫中的譜帶壓縮效應展開研究,將有助于深化人們對于梯度洗脫機理的認識,從而為實踐中色譜分離條件的選擇提供指導。