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      求解大型稀疏線性方程組的加權(quán)擬極小殘差算法

      2021-12-20 03:06:30陳曉花
      關(guān)鍵詞:迭代法算例殘差

      陳曉花

      (蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué) 隴橋?qū)W院,甘肅 蘭州 730101)

      0 引言

      對(duì)于大規(guī)模線性稀疏系統(tǒng)

      Ax=b

      (1)

      其中A∈Rn×n是稀疏且非奇異矩陣,x,b(∈Rn)為n維向量,其求解近年來(lái)傾向于運(yùn)用迭代法.在眾多迭代法中,目前最為活躍和有發(fā)展前途的方法是Krylov子空間方法.而Krylov子空間中有兩類(lèi)方法應(yīng)用比較廣泛,一類(lèi)是基于Arnoldi過(guò)程構(gòu)造Krylov子空間

      Km(A,r0)=span(r0,Ar0,…,Am-1r0)

      (2)

      的正交基的方法,如目前應(yīng)用最多的GMRES(Generalized minimum residual method)算法[1],F(xiàn)OM算法等,對(duì)這類(lèi)算法的研究也是目前國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn),如Azeddine Essai在文獻(xiàn)[2]中提出了一種稱為Weighted GMRES的方法,利用加權(quán)技術(shù)加快了GMRES算法的收斂速度;另一類(lèi)是基于Lanczos雙正交化過(guò)程產(chǎn)生Krylov子空間

      Km(A,v1)=span(v1,Av1,…,Am-1v1)

      (3)

      Km(AT,ω1)=span{ω1,ATω,…,(AT)m-1ω1}

      (4)

      的算法,如QMR(Quassi Minimal Residual)算法[3],BiCG(Bi-orthogonal Conjugate Gradient)算法,BiCGSTAB算法等.本文結(jié)合文獻(xiàn)[2]中的加權(quán)思想,對(duì)QMR算法進(jìn)行了改進(jìn),即得到了WeightedQMR算法.數(shù)值試驗(yàn)表明,對(duì)某些問(wèn)題該算法的收斂速度優(yōu)于QMR算法.

      1 Lanczos雙正交過(guò)程

      算法1 Lanczos雙正交過(guò)程[3]

      (1)選取兩個(gè)向量v1,w1,使得(v1,w1)=1.

      (2)令β1=δ1≡0,w0=v0≡0.

      (3)Forj=1,2,…,m,Do:

      (4)αj=(Avj,wj)

      (11)EndDo.

      構(gòu)造三對(duì)角矩陣Tm如下:

      令Vm=[v1,…,vm],Wm=[w1,…,wm],則有如下的命題成立:

      命題1[3]如果上述算法1在m步之前不會(huì)發(fā)生中斷,則{vi}(i=1,2,…,m)和{wi}(i=1,2,…,m)分別是子空間:

      Km(A,v1)=span(v1,Av1,…,Am-1v1)

      (5)

      和Km(AT,ω1)=span{ω1,ATω,…,(AT)m-1ω1}的基,向量{vi}(i=1,2,…,m)與{wi}(i=1,2,…,m)滿足關(guān)系式(vj,wi)=0,i≠j,1≤i,j≤m,(vi,wi)=1,1≤i≤m且有如下的等式成立:

      (6)

      (7)

      (8)

      2 加權(quán)QMR算法

      2.1 加權(quán)Lanczos雙D-正交過(guò)程

      下面利用上述D-內(nèi)積的定義,給出加權(quán)的Lanczos雙D-正交化過(guò)程.

      算法2 Lanczos雙D-正交過(guò)程

      (3)Forj=1,2,…,m,Do:

      (11)EndDo.

      (9)

      其中

      (10)

      (11)

      (12)

      (13)

      若i

      =0

      (14)

      2.2 加權(quán)擬極小殘差算法(WQMR)

      (15)

      算法3 WQMR算法

      3 數(shù)值算例

      算例1 本例中矩陣取自矩陣市場(chǎng)(http://math.nist.gov/MatrixMarket/),條件數(shù)為3.5319e+004,非零元素個(gè)數(shù)為2423,階數(shù)為153,其結(jié)構(gòu)如圖1所示,其迭代次數(shù)與殘差圖如圖2所示:

      圖1 算例1矩陣結(jié)構(gòu)圖

      圖2 迭代次數(shù)與殘差圖

      算例2 矩陣結(jié)構(gòu)如下:

      A=01-10???1-10?è??????÷÷÷÷100×100,迭代次數(shù)與殘差如圖3:圖3 迭代次數(shù)與殘差如圖

      算例3 矩陣結(jié)構(gòu)如下:

      A=1111-111??-1???1???1??1-11?è?????????÷÷÷÷÷÷÷300×300,計(jì)算結(jié)果如圖4:圖4 計(jì)算結(jié)果比較

      算例4 系數(shù)矩陣為如下三對(duì)角矩陣:

      A=3-2-13-2?????-2-13?è????????÷÷÷÷÷÷200×200迭代次數(shù)與殘差圖如圖5:圖5 迭代次數(shù)與殘差圖

      4 結(jié)論

      利用D-內(nèi)積改進(jìn)Lanczos雙正交過(guò)程,得到加權(quán)的Lanczos雙D-正交過(guò)程,進(jìn)而得到加權(quán)擬極小殘差算法(WQMR),數(shù)值算例表明,對(duì)于某些帶狀矩陣,該算法是有效的,且收斂性優(yōu)于QMR算法.但該算法的優(yōu)越性很大程度上是依賴于權(quán)值d,對(duì)給定的矩陣A,如何選取最優(yōu)的權(quán)值d,目前還在研究當(dāng)中.

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