趙 翔 李思誼 李映輝

* (西南石油大學土木工程于與測繪學院工程安全評估與防護研究院，成都 610500)

? (西南交通大學力學與工程學院，成都 610500)

引言

近年來，壓電材料因其具有能實現(xiàn)電能和機械能互相轉(zhuǎn)換的特性，在工程結(jié)構(gòu)中日益受到重視[1-2]，被廣泛應用于結(jié)構(gòu)的形狀控制、振動和噪聲控制、損傷檢測等領(lǐng)域[3-4].從機械振動中提取能量的特性極大滿足了傳感器自給供電的經(jīng)濟需求與生態(tài)需求，因此壓電材料廣泛應用于俘能器中[5-6].到目前為止，最常用的壓電俘能器采用懸臂梁式，通常是由一個結(jié)構(gòu)層和壓電材料(如壓電陶瓷PZT、壓電復合材料PVDF)層組成[7].學者們對直梁壓電振動能量俘獲系統(tǒng)進行了大量且詳細的研究.Erturk和Inman[8-9]在Euler-Bernoulli 梁假設下，研究了在基座橫向運動時懸臂式壓電俘能器橫向振動的精確解析解.另外考慮到常用的單自由度諧波激勵對預測懸臂梁的運動可能會產(chǎn)生不準確的結(jié)果，推導了修正因子以改進單自由度橫向和縱向振動激勵模型.Zhao 等[10]應用格林函數(shù)法對懸臂式Timoshenko直梁壓電俘能器進行了動力學分析，得到了強迫振動的解析解，探究了各類因素對電壓響應的影響.Zhou 和Lei[11]研究了非對稱三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的非線性動力學特性，以提高不同激勵下的能量收集性能.Huang 等[12]對電阻-電感諧振電路非線性能量采集器的穩(wěn)態(tài)響應機制進行了理論研究.Fang 等[13]根據(jù)哈密頓原理提出了利用離心軟化效果分析旋轉(zhuǎn)沖擊能量俘獲的理論模型.

而曲梁形式的壓電俘能器的優(yōu)點在于可用于多方向振動能量收集[14]，在微型電子系統(tǒng)以及復雜邊界的工程結(jié)構(gòu)中應用廣泛[15].王劍等[16]構(gòu)建了空間壓電曲梁單元形狀控制模型并得到了結(jié)構(gòu)的最優(yōu)形狀控制電壓.周勇等[17]提出了一種基于面內(nèi)驅(qū)動的層合壓電懸臂曲梁形式微位移驅(qū)動結(jié)構(gòu)，忽略方程中曲率半徑的影響獲得了該曲梁在外荷載作用下控制方程的解析解.丁維高和謝進[18]利用哈密頓原理，研究了在水平與數(shù)值方向簡諧振動激勵的作用下壓電曲梁俘能器的機電耦合的解析解.Kathpalia 等[19]建立了采用智能陶瓷壓電材料的彎曲式壓電傳感器的分析模型，并獲得了封閉式機電頻率響應方程.Chen 等[20]采用數(shù)值方法分析了具有彈性約束的功能梯度壓電曲梁的自由振動特性和瞬時響應.Tabatabaei-Nejhad 等[21]研究了嵌入壓電層的層壓曲梁的平面外振動特性，考慮了扭轉(zhuǎn)和彎曲變形造成的剪切變形和旋轉(zhuǎn)慣性效應.何燕麗和趙翔[22]利用格林函數(shù)法求解Prescott 型曲梁俘能器強迫振動的響應.

曲梁結(jié)構(gòu)如今廣泛地應用于各種領(lǐng)域的工程結(jié)構(gòu)中，在外荷載激勵下難免造成損傷產(chǎn)生裂紋，從而嚴重影響材料結(jié)構(gòu)的整體性能和使用壽命[23-24].對損傷曲梁的振動特性研究也一直是國內(nèi)外研究的熱點[24-27].為識別結(jié)構(gòu)中的損傷發(fā)展了許多檢測方法，分別有超聲波法、電渦流法、磁粉法和紅外識別法[28]，以及基于結(jié)構(gòu)振動特性的損傷識別法，后者具有明顯的非破壞性，方便、快速、便宜的優(yōu)點被廣泛采用[28].另外，還有基于壓電效應的主動感應法對結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測和損傷檢測方法.孫威等[29]利用智能壓電傳感器對混凝土構(gòu)件的裂縫損傷發(fā)展狀況進行監(jiān)測，探索一種基于壓電波動法的裂縫損傷監(jiān)測方法.Hou 等[30]將壓電智能材料和壓電陶瓷材料應用于傳感器，對地震力作用下的混凝土結(jié)構(gòu)整體剪切應力進行監(jiān)測研究.Markovic 等[31]建立了使用壓電智能傳感器的主動監(jiān)測系統(tǒng)和損壞檢測的有效有限元模型，對基于壓電波動法的埋入式壓電陶瓷混凝土梁損傷識別系統(tǒng)進行模擬分析.由此，本文提出可以采用逆方法，即通過振動引起的壓電俘能器的信號響應變化分析曲梁的振動問題，從而對結(jié)構(gòu)進行損傷監(jiān)測.

目前已經(jīng)有不少學者對裂紋曲梁的振動問題和曲梁式壓電俘能器進行了研究，但是有關(guān)損傷曲梁式壓電俘能器強迫振動問題的研究較少.在上文已經(jīng)闡述了裂紋存在給結(jié)構(gòu)帶來的負面影響，因此對含裂紋損傷的曲梁壓電俘能器的研究是有實際意義的.本文不僅研究其強迫振動問題，還采用逆方法，即利用損傷曲梁振動時的俘能器電壓響應變化，提出了一種監(jiān)測結(jié)構(gòu)損傷的方法.

本文建立了含裂紋損傷的曲梁壓電俘能器的力電耦合模型，得到其強迫振動的解析解并基于壓電俘能器的響應監(jiān)測曲梁結(jié)構(gòu)的損傷情況.基于文獻[22]中Prescott 型曲梁壓電俘能器的解析解，引入局部剛度模型描述裂紋損傷截面的力學特性，應用格林數(shù)法和傳遞矩陣法推導含多裂紋曲梁壓電俘能器強迫振動下的解析解.根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理，對力電耦合系統(tǒng)解耦，推導了該裂紋損傷模型的輸出電壓的解析式.數(shù)值模擬了壓電俘能器在曲梁結(jié)構(gòu)處于振動狀態(tài)下的響應信號，提出了對結(jié)構(gòu)進行損傷監(jiān)測的方法，以期為曲梁式壓電俘能器的振動研究以及損傷結(jié)構(gòu)的監(jiān)測和優(yōu)化設計提供理論參考.

1 損傷曲梁壓電俘能器的力電耦合模型

建立如圖1所示的含裂紋損傷的懸臂式曲梁壓電俘能器模型.俘能器中的壓電層材料比結(jié)構(gòu)層材料的柔性好，因此結(jié)構(gòu)層上更容易產(chǎn)生裂紋.如圖1(a)所示，該模型結(jié)構(gòu)層上存在n個開口裂紋，假設受到外力作用時，裂紋截面處的局部剛度發(fā)生變化，曲梁的撓度出現(xiàn)不連續(xù)性，曲梁的未損傷部分沒有受到影響[32].因此，在裂紋損傷截面處建立局部柔度模型用來描述截面的力學特性，將裂紋處視為一個剛度為Keq的等效無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧，該彈簧連接著相鄰的兩個完整部分，可表示為

圖1 損傷曲梁壓電俘能器模型Fig.1 The model of curved piezoelectric energy harvester with n cracks

式中EI為壓電曲梁的有效剛度，hs是結(jié)構(gòu)層曲梁的高度，局部柔度的無量綱常數(shù)，在本模型中采用

式中h′=hc/hs是裂紋深度與曲梁高度的比值.

如圖1(b)所示，壓電曲梁被n個裂紋分成n+1段完整部分，每段長度為Li(i=1，2，···，n+1) 并且由一個等效無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧連接.為了得到裂紋壓電曲梁的格林函數(shù)，需要分別研究每段的變形情況.因此，建立n+1個局部坐標系oixiyi(i=1，2，···，n+1)[33]表示出出每段的格林函數(shù)后，轉(zhuǎn)換局部坐標為全局坐標即即可得到壓電曲梁的格林函數(shù).

已知文獻[22]中建立的Prescott 曲梁模型，沒有考慮曲梁軸向力以及軸向慣性項，僅考慮了曲梁的徑向位移.因此曲梁壓電俘能器的振動控制方程是一個四階偏微分方程，引用文獻[22]中的格林函數(shù)，該格林函數(shù)是強迫振動下的壓電曲梁徑向位移W(x)的解

式中x0表示單位力作用的位置，，，是徑向位移Wi(i=1，2，3)的各階導數(shù)，表示壓電俘能器的電壓.G1(x，x0)表示由外力引起的位移解，G2(x，x0)，G3(x，x0) 是由電耦合效應引起的位移解，且有

式(4)和式(5)中

且si(i=1，2，3，4) 是下列代數(shù)方程的根

式(6)中，R是曲梁的半徑，μ 和 γ 表示單位長度曲梁的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量，c1表示阻尼系數(shù)，A表示截面面積. ?1和 ?2是力電耦合系數(shù)，具體表達式見文獻[22].

在本文的后續(xù)推導中需要用到軸向位移，根據(jù)曲梁控制方程[22]可推出軸向位移V(x)

根據(jù)式(3)～ 式(9)得到由外荷載引起的軸向位移的格林函數(shù)

在第i(i=1，2，···，n-1) 個裂紋位置處和在第n個裂紋位置處各狀態(tài)矢量的傳遞關(guān)系[34]如式(12)和式(13)所示，曲梁的軸向位移、彎矩相等，剪力大小相等但在第n處方向相反，截面轉(zhuǎn)角始終不連續(xù)

式中，表示截面轉(zhuǎn)角;Ji和Jn表示第i處和第n處的等效扭轉(zhuǎn)彈簧的局部柔度，是剛度Keq的倒數(shù).

將局部格林函數(shù)式(11) 帶入傳遞關(guān)系式(12)和式(13)中可得到兩個矩陣形式的傳遞方程

根據(jù)傳遞方程式(14a)和式(14b)建立未知常數(shù)向量U1和Un+1的關(guān)系

考慮到本文采用的是懸臂式壓電俘能器，已知懸臂梁的邊界條件是

將邊界條件(19)帶入傳遞式(18)即可求解未知常數(shù)向量U1和Un+1，再通過式(14a)和式(14b)可以定義其余未知常數(shù)向量.

因此，可以得到所有局部坐標系下的格林函數(shù)，轉(zhuǎn)換坐標后，含n個裂紋的曲梁壓電俘能器的格林函數(shù)為

2 損傷力電耦合系統(tǒng)解耦

根據(jù)線性系統(tǒng)和格林函數(shù)的疊加原理，建立裂紋曲梁的力學位移與電力學方程之間的解析關(guān)系，含裂紋曲梁壓電俘能器的位移W(x) 為

假設在基礎(chǔ)加速度作用下壓電曲梁上的外力f(x，t)是簡諧力，可將外力[35]寫作

式中，A0是指位移的振幅.

結(jié)合文獻[22]中已知的輸出電壓和本文求解的多裂紋曲梁壓電俘能器的格林函數(shù)解析式，可以得到本模型的輸出電壓

因此，壓電俘能器的功率為

3 數(shù)值結(jié)果與討論

本文探究了弧長L=0.1 m，寬b=0.01 m 受簡諧激勵的懸臂曲梁壓電俘能器，曲梁由上層的壓電層和下層的結(jié)構(gòu)層組合，其厚度分別為0.005 m 和0.005 m.曲梁幾何和材料參數(shù)、壓電參數(shù)取值如表1 所示.其次，從裂紋幾何參數(shù)(裂紋深度和位置)對裂紋壓電曲梁進行了模擬，裂紋深度比h′分別為0.02，0.04 和0.06，用裂紋位置L1表示離固定端的距離.在以下算例中，沒有考慮阻尼的影響.為了方便起見，引入阻尼效應的無量綱化

表1 裂紋壓電曲梁的幾何參數(shù)和壓電參數(shù)取值Table 1 Geometrical and electromechanical parameters of the cracked beam

3.1 解的有效性驗證

令裂紋深度為零，含裂紋的曲梁可退化為完整曲梁模型.利用這一點將含裂紋壓電曲梁的解析解與文獻[22]得到的完整壓電曲梁模型的解作對比，驗證結(jié)果是否一致.如圖2 所示，本文的位移頻率響應結(jié)果與文獻中的結(jié)果基本吻合，從而驗證了本文解的有效性.

圖2 位移-頻率響應的對比圖Fig.2 The displacement for comparison of present solutions and the solutions from reference

3.2 裂紋損傷對壓電俘能器電壓-頻率響應的影響

本節(jié)探究了壓電俘能器電壓響應在裂紋幾何參數(shù)影響下的變化.一方面為相關(guān)設計提供了理論依據(jù)，另一方面介紹了如何通過電壓響應的變化對結(jié)構(gòu)進行損傷監(jiān)測.

圖3 繪制了不同裂紋深度時壓電俘能器的電壓-頻率響應圖.從圖中可以看出，頻率在到5 kHz的時候，各裂紋深度的電壓響應之間有重疊部分.當振動頻率大于此重疊頻率振動時，損傷壓電曲梁的響應效果與完整曲梁有了顯著差異.第一階頻率9088.6 Hz (虛線處)的峰值隨著裂紋深度加深成比例的減小，很快激勵出二階頻率9144.4 Hz，峰值的波動較小并且同樣成比例減小深度加深至0.7 左右后，一階頻率甚至出現(xiàn)在9088.6 Hz 之前，且峰值極低.特別說明，此時的二階頻率9144.4 Hz 時開路條件下壓電曲梁的一階頻率值.

圖3 不同裂紋深度的電壓-頻率響應(L1=0.06 m)Fig.3 The voltage frequency responses with different crack depths(L1=0.06 m)

對于淺裂紋(0＜h′＜0.2)，激勵出正向峰值的三階頻率;而在較深裂紋(h′＞0.2)的情況下，三階頻率的峰值遠遠小于淺裂紋時三階頻率的峰值，且隨著裂紋加深頻率向一階頻率方向偏移.因此，在不同裂紋深度時，壓電曲梁的電壓響應變化情況的趨勢一致的.

裂紋損傷可能會出現(xiàn)在曲梁結(jié)構(gòu)的任何位置，由圖3 可知，裂紋深度的深淺引起的電壓-頻率響應變化的差別較大.因此在研究俘能器在裂紋位置變化下的電壓響應時，分別考慮了淺裂紋和深裂紋兩種情況.

如圖4 所示，隨著裂紋位置不斷從曲梁固定端靠近曲梁中部，一階固有頻率逐漸增加.但在圖4(a)中，一階頻率的峰值會不斷增大，二階頻率9088.6 Hz和三階頻率9144.4 Hz 的峰值變大，且四階頻率也向右偏移.而在圖4(b)中，壓電俘能器在9088.6 Hz 前就被激勵出了一階和二階頻率，且頻率皆向右偏移.當裂紋位置從曲梁中部不斷靠近曲梁的自由端時，一階頻率和二階頻率仍是9088.6 Hz 和9144.4 Hz，且峰值變大，而三階頻率同樣發(fā)生向右偏移.

圖4 不同裂紋位置下的電壓-頻率響應Fig.4 The voltage frequency responses with different crack locations

總的來說，不同裂紋深度和位置的損傷曲梁壓電俘能器的電壓響應的趨勢是一致的，不同的是被激勵出的頻率以及峰值.

因此想要檢測結(jié)構(gòu)的損傷情況，就要根據(jù)結(jié)構(gòu)振動響應引起的俘能器的電壓響應變化.一旦有裂紋出現(xiàn)，健康曲梁的一階頻率就不再是損傷曲梁的一階頻率，且隨著裂紋加深該頻率處峰值變小，由此可以判斷出出現(xiàn)損傷時裂紋的深度情況.如若損傷曲梁被激勵出的一階頻率小于健康曲梁的頻率，說明曲梁的固定端到中部這一段結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)了裂紋，此時的裂紋深度也可以根據(jù)損傷曲梁是否在健康曲梁的一階頻率值前出現(xiàn)反向峰值的二階頻率.相反，如若損傷曲梁被激勵出的一階頻率等于健康曲梁的一階頻率，則損傷出現(xiàn)的范圍在曲梁的中部至自由端.至此，本文提出的根據(jù)結(jié)構(gòu)振動引起的壓電俘能器信號響應變化監(jiān)測結(jié)構(gòu)損傷的逆方法得以驗證.

從上述裂紋幾何參數(shù)對壓電俘能器電壓響應的分析中可以看出，在很多情況下固有頻率都會發(fā)生偏移.因此，利用固有頻率是否發(fā)生偏移這一條件僅能夠監(jiān)測結(jié)構(gòu)中是否有損傷產(chǎn)生，并不能準確檢測出結(jié)構(gòu)的損傷情況.

3.3 阻尼比對損傷壓電曲梁電壓-頻率響應的影響

考慮到結(jié)構(gòu)中阻尼的影響不可忽視，研究了電壓與阻尼之間的關(guān)系，以預測在有阻尼的壓電曲梁發(fā)生裂紋損傷時可能出現(xiàn)的情況.從圖5 中可以看出隨著阻尼增大，電壓響應如預期般減小.在阻尼比取值到0.8 時，共振峰基本消失，響應曲線趨于平緩.并且?guī)缀踉谒星闆r下，引入阻尼都會降低電壓.

圖5 不同阻尼比下的電壓-頻率響應(L1=0.04 m，h’=0.4)Fig.5 The voltage frequency responses with different damping coefficients ( L1=0.04 m， h’ =0.4)

3.4 功率對損傷壓電曲梁電壓-頻率響應的影響

圖6 繪制了不同裂紋深度下壓電曲梁的輸出功率的頻率響應.可以看出功率響應的變化情況與圖3 電壓響應變化相同，在一階、二階頻率處的峰值也是成比例減小.

圖6 不同裂紋深度下的功率-頻率響應(L1=0.06 m)Fig.6 The frequency responses of electric power with difference crack depth (L1=0.06 m)

4 結(jié)論

本文重點研究了裂紋損傷的曲梁壓電俘能器的力電耦合強迫振動，運用格林函數(shù)法推導出該振動問題的解析解.在數(shù)值計算中，通過與健康壓電曲梁的文獻解進行對比，驗證了解的有效性.最后通過研究曲梁壓電俘能器在裂紋幾何參數(shù)影響下電壓響應變化情況對結(jié)構(gòu)進行損傷監(jiān)測，得出結(jié)論:

(1) 裂紋出現(xiàn)時，損傷曲梁的電壓響應在健康曲梁的一階頻率處成比例變小，且隨即被激勵出二階頻率;

(2)通過對電壓響應的監(jiān)測可以確定的損傷裂紋的深度和在結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的位置范圍，證明了逆方法的可行性;

(3)通過監(jiān)測由振動響應引起的俘能器電壓變化能準確地反映結(jié)構(gòu)的健康狀況.