帶有周期點(diǎn)圓周自同胚的光滑共軛問(wèn)題

楚 鵬

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 重慶 401331)

0 引言

在動(dòng)力系統(tǒng)理論中,共軛方程是指

φ°f=g°φ，

(1)

此外,當(dāng)f和g是圓周S1上的保向Cr微分同胚時(shí),對(duì)方程(1)的研究同樣也吸引了若干著名學(xué)者的注意.早在19世紀(jì)末,Poincaré發(fā)現(xiàn)當(dāng)r=0時(shí)(這時(shí)f是一個(gè)保向自同胚),如果f的旋轉(zhuǎn)數(shù)是有理數(shù),則f有相對(duì)簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)行為.然而,旋轉(zhuǎn)數(shù)是無(wú)理數(shù)的情形則未知.直到1932年,Denjoy[7]通過(guò)研究f與剛性無(wú)理旋轉(zhuǎn)之間的共軛關(guān)系,才完全了解無(wú)理旋轉(zhuǎn)情形下f的動(dòng)力學(xué)行為.實(shí)際上,Denjoy定理告訴我們對(duì)于f∈C2和無(wú)理數(shù)ρ存在一個(gè)保向自同胚解φ，使得滿足共軛方程φ°f=τρ°φ，其中τρ=z+ρ是圓周上旋轉(zhuǎn)角度為ρ的剛性旋轉(zhuǎn).進(jìn)一步,Arnold[8]首次考慮了φ的光滑性,得到了一個(gè)局部結(jié)果,即在τρ足夠接近光滑微分同胚f時(shí)共軛方程(1)成立.后來(lái),Herman[9]得到了一個(gè)全局的光滑結(jié)果.

另一個(gè)方面,當(dāng)f和g的光滑度低于C2時(shí),1999年,K.Ciepliński[12]對(duì)于圓周上連續(xù)系統(tǒng)ft和gt給出了共軛方程φ°ft=gt°φ成立的充要條件,并且給出了此方程保向同胚解的一般形式.2002年，K.Ciepliński等[13]對(duì)于圓周上無(wú)周期點(diǎn)的離散系統(tǒng)f和g，證明了方程(1)存在唯一的連續(xù)解,且在整個(gè)圓周都是f的極限集時(shí)該解是一個(gè)同胚映射.2007年，M.C.Zdun[14]研究了圓周上具有周期點(diǎn)的保向(或逆向)自同胚,得到了方程(1)保向(或逆向)同胚解存在的充要條件,并給出了其一般構(gòu)造方法.本文在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮在圓周上具有周期點(diǎn)的保向Cr(r≥1)微分自同胚的f和g之間的共軛問(wèn)題.

定義2設(shè)一個(gè)映射ξf:M→{1,-1}，?z∈Ix?M，

(2)

接下來(lái)我們利用數(shù)論中一個(gè)非常重要的定理來(lái)定義共軛數(shù)與特征數(shù).

定義3[14]若q,n∈N+，gcd(q,n)=1，1≤q

下面是本文主要結(jié)果:

定理1設(shè)f，g:=S1→S1是周期n≥1的保向自同胚,ρ(f)=ρ(g)，且存在a∈Per(f)，b∈Per(g)和一個(gè)保向的雙射

使得

ξf(x)=ξg(gen Γ0(x))，

(3)

其中ρ(f),ρ(g)分別為f,g的旋轉(zhuǎn)數(shù),p=charf.

(i)若f和g是保向C1微分同胚,F,G分別f,g的任意一個(gè)提升,且滿足

01，

(4)

01，

(5)

(ii)進(jìn)一步,若f和g還是Cr(r>1)的,且對(duì)任意非周期點(diǎn)zx∈S1在初始區(qū)間[zx,fn(zx)]端點(diǎn)處滿足條件

(6)

其中

1 預(yù)備知識(shí)

下面我們主要給出一些符號(hào)的說(shuō)明,同時(shí)為了方便在第2、3節(jié)定理1兩部分結(jié)論的證明,在本節(jié)會(huì)提及幾個(gè)重要的引理.

我們把圓周S1視為單位模復(fù)數(shù)的集合,對(duì)于任意的u,w,z∈S1，存在唯一的t1,t2∈[0,1)，使得we2πit2=u.于是我們可以定義圓周上的一種序關(guān)系,即uwz當(dāng)且僅當(dāng)0

對(duì)于任意兩個(gè)給定的Cr微分同胚f,g:S1→S1，如果存在一個(gè)Cr微分同胚φ滿足共軛方程(1),我們稱(chēng)f與g是Cr共軛.若這里φ是保向(逆向)Cr微分同胚,則f與g稱(chēng)為保向(逆向)Cr共軛.若對(duì)于保向的Cr微分同胚f:S1→S1，存在一個(gè)嚴(yán)格遞增的Cr映射F:R→R，使得

f(e2πix)=e2πiF(x)，x∈R.

其中F滿足F(x+1)-F(x)=1,x∈R，那么F稱(chēng)為f的一個(gè)提升.

對(duì)任意給定的保向Cr微分同胚f，F(xiàn)是其任一提升,我們把

Per(f,n):={z∈S1:fn(z)=z,fk(z)≠z,1≤k

接下來(lái)我們將討論具有周期點(diǎn)的同胚映射的若干性質(zhì),即引入周期點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.從現(xiàn)在開(kāi)始,若f未進(jìn)行具體說(shuō)明,都指的是保向的且旋轉(zhuǎn)數(shù)為有理數(shù)同胚映射.

引理2對(duì)于給定的保向Cr微分同胚f和g，若方程(1)存在一個(gè)保向Cr微分同胚解φ，則ρ(f)=ρ(g)(mod 1)，charf=charg.

引理3[14]若Per(f,n)≠?，n≥2，p=charf，則對(duì)于每個(gè)a∈Per(f)，有

滿足fip(zk)=zk+i(mod n)，k=1,…,n-1，其中{z0,z1，…,zn-1}是引理1中定義的.

假設(shè)S1≠Per(f)≠?，由于Per(f)是S1的閉子集,則Κ(f)可表示為S1Per(f)上至多可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)弧的并集,故類(lèi)似引理1和引理3可定義圓周S1上各互不相交開(kāi)弧之間的關(guān)系.

則有：

f(Ix,k)=Ix,k+q(mod n)，

(7)

fip(Ix,k)=Ix,k+i(mod n)，

其中Ix,k，x∈M，k=0,…,n-1，記Ix,0=Ix.

其中MA,MB分別是圓周S1上閉子集A,B的各余區(qū)間中點(diǎn)的集合,Ix,x∈MA是互不相交的開(kāi)弧Jy，y∈MB也是互不相交的開(kāi)弧.

引理5[14]設(shè)A=Per(f)，B=Per(g)，Γ:A→B是一個(gè)保向的雙射,則存在一個(gè)唯一的保向的雙射h:MA→MB使得

(8)

2 共軛映射的全局連續(xù)性

定理1(i)的證明 由假設(shè)可知f,g是S1上保向C1微分同胚,則其對(duì)應(yīng)提升F,G是R上周期為1的嚴(yán)格遞增的連續(xù)可微函數(shù),故對(duì)?x,y∈[x0,Fp(x0)]， 則有

|F(y)-F(x)|≤F′(ξ)|x-y|≤

(9)

同理對(duì)于?x,y∈[y0,gp(y0)]，有

|G(x)-G(y)|≤LG|x-y|，

(10)

這里

由(4)式,存在足夠小的正數(shù)δ1，δ2，使得

0

(11)

F′(x)>1，?x∈[x0,x0+δ2].

(12)

同理由(5)式有

0

(13)

G'(y)>1，?y∈[y0,y0+δ2].

(14)

對(duì)于?zx∈Ix,0，有fn(zx)∈Ix,0.定義初始區(qū)間的保向C1微分同胚

|φx,0(x)-φx,0(y)|≤Lφx,0|x-y|α.

(15)

又對(duì)于?zx∈Ix,0，有fkn(zx)∈Ix,0,k∈Z，因此通過(guò)正向迭代的共軛方程,

(16)

可定義保向C1微分同胚

同理通過(guò)負(fù)向迭代的共軛方程

(17)

可定義保向C1微分同胚

令

Ψ(z):=

則

Ψ(f(z))=g(k+1)n°Ψx,0°f-(k+1)n(f(z))=

g°gkn°Ψx,0°f-kn(z)=g(Ψ(z))，

并且在連接點(diǎn)處連續(xù)是顯然的,這樣我們就得到了Ψx,k(z)是方程(1)的連續(xù)解.可類(lèi)似驗(yàn)證Ψx,-k(z)也是方程(1)的連續(xù)解.由Ψ(z)的構(gòu)造易見(jiàn)它是一個(gè)雙射,再結(jié)合引理6可知對(duì)于每個(gè)保向的雙射都是同胚的,故我們得到了Ψ(z)是滿足共軛方程(1)的保向同胚解.

則有

(18)

(19)

同理對(duì)于

(20)

記上述區(qū)間上的序列φx,k=φ.當(dāng)k∈[-M,M]時(shí),即對(duì)于

有

其中

令LG(LF-α)=b0∈(0,1)，有

|φ(y*)-φ(x*)|≤L1|y*-x*|α.

綜上所述,

|φ(x)-φ(y)|≤L|x-y|α，

?x,y∈[x0,FP(x0)].

其中L:=max{L0,L1,L2}.

3 共軛映射的局部Cr光滑性

在這部分我們主要考慮有理旋轉(zhuǎn)的保向Cr微分同胚f,g之間的共軛關(guān)系,即驗(yàn)證在非周期點(diǎn)集上存在一個(gè)保向Cr微分同胚解φ:=S1Per(f)→S1Per(g)，使得對(duì)于給定的f,g是保向Cr共軛的,并在定理的證明中給出了Cr微分同胚解φ的一般性構(gòu)造.

定理1(ii)的證明 首先考慮將Γ0延拓到周期點(diǎn)集上,即驗(yàn)證方程(1)存在唯一的保向同胚解Γ:Per(f)→Per(g)，延拓之后的保向同胚解可將圓周拆分成n個(gè)部分,如此以方便對(duì)非周期點(diǎn)集上解存在性的進(jìn)行逐段討論.

當(dāng)Per(f)=Per(f,1)時(shí),即f的周期n=1，那么根據(jù)定義3可知charf:=0，那么p=0，因此

即有Γ0=Γ，顯然滿足方程(1).

當(dāng)Per(f)=Per(f,n)，n≥2時(shí),ρ(f)=ρ(g)，令

k=0,…,n-1.

Γk(z):=gk-n°Γ0°fn-k(z)，z∈Ak，k=0,…,n-1，

(21)

又對(duì)于每一個(gè)Γk是保向的,所以Γ也是保向的,由引理6可見(jiàn),Γ是保向同胚的,下面我們來(lái)證明Γ滿足方程(1).

設(shè)?z∈Ak，則f(z)∈f[Ak]=Ak+1，這里0≤k

Γ(f(z))=Γk+1(f(z))=gk+1-n°Γ0°fn-k-1(f(z))=gk+1-n°Γ0°fn-k(z)=g°gk-n°Γ0°fn-k(z)=g°Γk(z)=gΓ(z)，

當(dāng)k=n-1，則f(z)∈f[An-1]=A0，再次利用(21)式,則有

g(Γ(z))=g(Γn-1(z))=g°gn-1-nΓ0°fn-(n-1)(z)=

Γ0(f(z))=Γ(f(z))，

因此存在滿足上述條件的Γ使得?！鉬=g°Γ成立.唯一性的證明是顯然的,故我們有唯一的保向同胚Γ:Per(f)→Per(g)滿足方程(1).

Ψx,0(fn(zx))=gn(Ψx,0(zx)).

(gn°Ψx,0°f-n)'(f2n(zx))=g'(gn-1°Ψx,0°f-n(f2n(zx)))g'(gn-2°Ψx,0°

(f-n(f2n(zx)))(f-n)'(f2n(zx))=g'(gn-1(Ψx,0(f2n(zx))))g'(gn-2(Ψx,0

(f2n(zx))(f-n)'(f2n(zx)).

(gn°H°f-n)'(f2n(zx))=g'(gn-1(H(fn(zx))))g'(gn-2(H(fn(zx))))…g'(H(fn(zx)))H'(fn(zx))(f-n)'(f2n(zx))=g'(gn-1(Ψ(fn(zx))))g'(gn-2(Ψ(fn(zx))))…g'(Ψ(fn(zx)))Ψ'(fn(zx))(f-n)'(f2n(zx))=g'(gn-1(Ψx,0(fn(zx))))g'(gn-2(Ψx,0(fn(zx))))…g'(Ψx,0(fn(zx)))Ψx,0'(fn(zx))(f-n)'(f2n(zx))，

(22)

(23)

由(22)式,利用Newton-Leibniz公式歸納得到在連接點(diǎn)f2n(zx)處

同理由(23)式可得到

接下來(lái)我們考慮φx,k在所有非周期點(diǎn)集上都是Cr的,其中特別地φx,k|Ix,0=Ψ.當(dāng)Per(f)=Per(f,1)時(shí),φx,0就是我們要找的,由上面討論顯然成立.

當(dāng)Per(f)=Per(f,n)，n≥2時(shí),設(shè)共軛方程

φx,k(z):=gk-n°φx,0°fn-k(z)，z∈Ix,kq(mod n)，k=0,…,n-1.

(24)

由(7)式可知

fn-k(Ix,kq(mod n))=fn-k-1f(Ix,kq(mod n))=fn-k-1(Ix,kq+q(mod n))=fn-k-2f(Ix,kq+q(mod n))=fn-k-2(Ix,((kq+q)(mod n)+q)(mod n)) =fn-k-2(Ix,kq+2q(mod n))=…=Ix,kq+(n-k)q(mod n)=Ix,0.

(25)

同理有

gn-k(Jh(x),kq(mod n))=Jh(x),kq+(n-k)q(mod n).

由(24)和(25)式有

φx,k(Ix,kq(mod n))=gk-n°φx,0°fn-k(Ix,kq(mod n))=gk-n°φx,0(Ix,kq+(n-k)q(mod n))=gk-n°φx,0(Ix,0)=gk-n(Jh(x),0)=Jh(x),0+(k-n)q(mod n)=Jh(x),kq(mod n),

故通過(guò)上述共軛方程可定義映射φx,k:Ix,kq(mod n)→Jh(x),kq(mod n)，k=0,…,n-1.因?yàn)槊恳粋€(gè)φx,k是關(guān)于φx,0的共軛方程,所以φx,k是保向Cr微分同胚.記φx,k=φ|Ix,kq(mod n)，接下來(lái)我們驗(yàn)證對(duì)于每一個(gè)φx,k滿足(1)式.

f(Ix,kq(mod n))=Ix,(k+1)q(mod n)，

所以,當(dāng)0≤k

φ(f(z))=φk+1f(z)=gk+1-n°φx,0°fn-k-1(f(z))=

g°gk-n°φx,0°fn-k(z)=g°φx,k(z)=g(φ(z)).

當(dāng)k=n-1時(shí),

g(φ(z))=g(φn-1(z))=g°gn-(n-1)°φx,0°fn-(n-1)(z)=

φx,0°f(z)=φ(f(z)).

最后驗(yàn)證

(26)

設(shè)y∈M，存在k∈{1,…,n-1}，使得

(27)

同時(shí),對(duì)于Iy必定存在x∈M，使得f(n-k)p(Iy)=Ix，結(jié)合(27)式,則有

其中fnp(a)=a,a∈Per(f).由定義3,有

f(k-n)p(Ix)=Ix,(k-n)pq(mod n)=Ix,kpq(mod n)=Ix,k(mod n)

又因?yàn)榇嬖谟成洇?=k→kq(modn)，使得映射χ是雙射,因此我們就得到了

同理可證(26)式.

綜上所述,我們得到了在非周期點(diǎn)集上存在一個(gè)保向的Cr微分同胚解φ:S1Per(f)→S1Per(g)滿足(1)式.