齊霄霏 ，楊麗華

（1.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006；2.運(yùn)城學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，山西 運(yùn)城 044000）

0 引言

在量子信息科學(xué)中，每個(gè)量子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于一個(gè)復(fù)可分Hilbert空間H，H中的任意單位向量用表示。令B(H)表示H上所有有界算子構(gòu)成的代數(shù)。稱ρ∈B(H)為量子態(tài)，若ρ是跡為1的正算子。記H上全體量子態(tài)構(gòu)成的集合為S(H)。特別地，稱ρ∈B(H)為純態(tài)，若其是秩一投影，即具有形如的形式，這里是H上的任意單位向量，表示的對(duì)偶向量；否則，稱ρ為混合態(tài)。如果H=H1?H2?…?Hn是n個(gè)Hilbert空間的張量積，則稱S(H)為n體復(fù)合量子系統(tǒng)［1］。

量子關(guān)聯(lián)是量子力學(xué)區(qū)別于經(jīng)典力學(xué)的主要特征，也是實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算和量子通信的重要物理資源。作為一類重要的量子關(guān)聯(lián)，量子非局域性一直是量子信息理論的核心研究課題之一。量子非局域性的研究起源于貝爾（Bell）的開創(chuàng)性工作［2］，其研究表明，量子世界所允許的測(cè)量結(jié)果之間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)性是不能夠通過我們所熟悉的時(shí)空機(jī)制來解釋的。量子非局域性的檢測(cè)可以通過Bell不等式來鑒別，違反Bell不等式即意味著非局域性的存在（例如，可參見文獻(xiàn)［3-7］及其參考文獻(xiàn)）。非局域性的研究在量子密碼學(xué)［8］、量子通信［9］等領(lǐng)域中有著非常廣泛的應(yīng)用。

量子網(wǎng)絡(luò)是實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)距離、網(wǎng)絡(luò)式量子通信的基礎(chǔ)，它是通過量子節(jié)點(diǎn)來產(chǎn)生、處理和存儲(chǔ)量子信息，利用飛行比特作為量子信道來傳遞信息的全量子信息處理與傳輸?shù)木W(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，在量子計(jì)算、量子通信和量子測(cè)量中扮演重要角色。而量子網(wǎng)絡(luò)區(qū)別于經(jīng)典網(wǎng)絡(luò)的主要特征之一就是量子節(jié)點(diǎn)之間具有非局域關(guān)聯(lián)。近十年來，量子網(wǎng)絡(luò)的非局域性研究受到越來越多研究學(xué)者的關(guān)注，成為熱點(diǎn)課題之一，具有非常重要的科學(xué)意義和應(yīng)用前景。

對(duì)于量子網(wǎng)絡(luò)非局域性的研究，文獻(xiàn)［10］給出了稱作糾纏交換的實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)說明其對(duì)應(yīng)的量子網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)獨(dú)立糾纏比特態(tài)通過進(jìn)行適當(dāng)?shù)穆?lián)合測(cè)量可以使非直接連接的系統(tǒng)之間產(chǎn)生非局域性。Branciard等人在文獻(xiàn)［11-12］中對(duì)［10］中簡(jiǎn)單量子網(wǎng)絡(luò)的非局域性進(jìn)行了系統(tǒng)研究，發(fā)現(xiàn)對(duì)分別由兩個(gè)獨(dú)立資源S1，S2產(chǎn)生的隱態(tài)進(jìn)行聯(lián)合測(cè)量后可以產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，稱為非雙局域性（bilocality），并給出了雙局域不等式。之后，對(duì)于不同類型量子網(wǎng)絡(luò)的非局域性研究也得以逐步展開。例如，文獻(xiàn)［13］證明了對(duì)于文獻(xiàn)［12］中的簡(jiǎn)單鏈型網(wǎng)絡(luò)，所有糾纏純態(tài)均違背雙局域不等式，進(jìn)而都是非雙局域的，同時(shí)也給出了混合態(tài)是非雙局域的條件；文獻(xiàn)［14-17］分別把簡(jiǎn)單鏈型量子網(wǎng)絡(luò)的非局域性推廣到n-鏈型量子網(wǎng)絡(luò)與n-星型量子網(wǎng)絡(luò)，并得到了不同的Bell型局域不等式；Renou等人在文獻(xiàn)［18］中引入另一種類型的量子網(wǎng)絡(luò)，即三角形網(wǎng)絡(luò)，研究了該網(wǎng)絡(luò)的三局域性。對(duì)于其他類型量子網(wǎng)絡(luò)的非局域性研究，參見文獻(xiàn)［19-24］。關(guān)于量子網(wǎng)絡(luò)非局域性和傳統(tǒng)Bell非局域性的關(guān)系，可參見文獻(xiàn)［13，16］。

盡管關(guān)于量子網(wǎng)絡(luò)非局域性的研究已取得許多深刻的成果，但是許多常見類型的量子網(wǎng)絡(luò)，如樹型量子網(wǎng)絡(luò)等，還沒有文獻(xiàn)深入研究。樹型量子網(wǎng)絡(luò)被廣泛應(yīng)用在量子通信和量子模擬中［25-26］，因此研究這種網(wǎng)絡(luò)的非局域性很有必要。本文將研究一類結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單的樹型量子網(wǎng)絡(luò)，其有13個(gè)觀測(cè)者，共享12個(gè)兩體的物理資源。本文第1節(jié)將給出該類樹型量子網(wǎng)絡(luò)滿足的12局域不等式，第2節(jié)討論第1節(jié)中所得局域不等式的量子破壞，證明了所有的糾纏純態(tài)均破壞12局域不等式，從而是非12局域的。

本節(jié)最后給出量子測(cè)量的概念。假設(shè)H是有限維復(fù)Hilbert空間。對(duì)于A∈B(H)，A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置算子。特別地，若A=A*，則稱A為自伴算子。自伴算子在量子信息中也被稱為可觀測(cè)量。量子測(cè)量由空間H上的一組測(cè)量算子{Mm}?B(H)描述，其滿足完備性條件。投影測(cè)量是一類特殊的量子測(cè)量，其由一個(gè)可觀測(cè)量M來描述。將M進(jìn)行譜分解M=∑mPm，測(cè)量結(jié)果即為M的特征值m，測(cè)量狀態(tài)時(shí)，得到結(jié)果m的概率為，測(cè)量后系統(tǒng)的狀態(tài)為。

1 一類樹型網(wǎng)絡(luò)的12局域不等式

本節(jié)先給出本文研究的樹型量子網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)（見圖1）。

圖1 樹型量子網(wǎng)絡(luò)，它包括12個(gè)資源和13個(gè)觀測(cè)者Fig.1 The tree-tensor network，which consists of 12 sources and 13 observers

該網(wǎng)絡(luò)由12個(gè)物理資源S1，…，S12和13個(gè)觀測(cè)者A，B1，B2，B3，C1，C2，…，C9構(gòu)成。假設(shè)12個(gè)物理資源是相互獨(dú)立的，分別用隱變量λ1，…，λ12描述。此外，假設(shè)所有的觀測(cè)者都有兩個(gè)輸入與相應(yīng)的兩個(gè)輸出，分別記為x，y1，y2，y3，z1，z2，…，z9(∈ {0，1})與a，b1，b2，b3，c1，c2，…，c9(∈ {0，1})。若對(duì)于13個(gè)觀測(cè)者的所有輸入和所有輸出，其所產(chǎn)生的聯(lián)合概率分布滿足下面的分解形式：

則稱該樹型量子網(wǎng)絡(luò)所產(chǎn)生的關(guān)聯(lián)是局域的。此外，若上述概率分布還滿足概率條件

其中pi是λi的概率分布(i=1，2，…，12)，則稱該網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的關(guān)聯(lián)是12局域的；否則，則稱為非12局域的。

接下來討論圖1所示樹型量子網(wǎng)絡(luò)的12局域不等式。下面是本節(jié)的主要結(jié)果。

定理1圖1所示的樹型量子網(wǎng)絡(luò)若是12局域的，則其一定滿足下面的不等式：

注1由定理1可知，只要圖1所示樹型量子網(wǎng)絡(luò)所產(chǎn)生的關(guān)聯(lián)是12局域的，那么就一定滿足式（3）中的所有256個(gè)不等式。由此可知，只要違反了256個(gè)不等式中的至少一個(gè)不等式，即蘊(yùn)涵該樹型網(wǎng)絡(luò)是非12局域的。此外，不等式（3）中的界是緊的。為此，考慮下面的方案：

這里，λi是兩個(gè)觀測(cè)者之間共享的隱變量，服從分布pi(λi=0)=1(i=1，2，…，12)；τj是觀測(cè)者Cj的局域隨機(jī)資源，服從分布pj(τj=0)=r，pj(τj=1)=1-r，r∈ [0，1](j=1，2，…，9)。對(duì)于該關(guān)聯(lián)，計(jì)算可得，對(duì)任意的i1，i2，i3，i4，j1，j2，j3，j4∈ {0，1}，均有Ii1，i2，i3，i4，0=r9且Ij1，j2，j3，j4，1=(1-r)9。進(jìn)而得到對(duì)所有的i1，i2，i3，i4，j1，j2，j3，j4∈ {0，1}成立。

證明主要定理之前，需要一個(gè)引理。

對(duì)于其他各種組合(i1，…，i4，j1，…，j4)，類似可證得上面的不等式亦成立。

證畢。

2 12局域不等式的量子破壞

3 對(duì)于噪聲的魯棒性

4 結(jié)論

近十余年來，不同量子網(wǎng)絡(luò)的非局域性研究受到許多學(xué)者的關(guān)注。本文主要研究了包含13個(gè)觀測(cè)者和12個(gè)兩體物理資源的樹型量子網(wǎng)絡(luò)的非局域性，得到了該網(wǎng)絡(luò)的12局域不等式，并證明了所有的純糾纏態(tài)均違反該12局域不等式。這里，我們只考慮了純態(tài)的情形，對(duì)于混合態(tài)是否違反該12局域不等式，以及相應(yīng)的結(jié)論能否推廣到更一般的樹型量子網(wǎng)絡(luò)，有待于進(jìn)一步研究。