淺析對(duì)數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)價(jià)值*

湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 (411201) 易娓娓 陳佘喜

新修訂的 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》 明確提出了要通過數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，要不斷引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化和審美價(jià)值[1].教師在傳授知識(shí)和技能的過程中，應(yīng)該注重知識(shí)性、趣味性和思想性的統(tǒng)一，將科學(xué)素質(zhì)教育與人文素質(zhì)教育有機(jī)融合，提高教學(xué)的實(shí)效性.對(duì)數(shù)函數(shù)是建立在對(duì)數(shù)基礎(chǔ)之上的一類重要的基本初等函數(shù)，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)教學(xué)的難點(diǎn)之一.本文試圖從科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化和審美價(jià)值等方面就對(duì)數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)價(jià)值做一個(gè)簡(jiǎn)單的分析，使學(xué)生感悟?qū)?shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)價(jià)值，并希望在使學(xué)生理解對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、把握對(duì)數(shù)函數(shù)的本質(zhì)的同時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也能得到發(fā)展.

1.對(duì)數(shù)函數(shù)的科學(xué)價(jià)值

恩格斯認(rèn)為“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)”.數(shù)學(xué)科學(xué)不僅推動(dòng)人們更深入地認(rèn)識(shí)客觀世界的變化規(guī)律，也是人類智慧的一種表達(dá)方式.現(xiàn)代數(shù)學(xué)的知識(shí)體系是用公理化方法和邏輯構(gòu)建起來的，其重要概念都是通過抽象客觀事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式上的本質(zhì)特征進(jìn)行概括，采用形式化的符號(hào)語言來表述的.

對(duì)數(shù)函數(shù)的定義式y(tǒng)=logax(a>0且a≠1) 表明該函數(shù)的變化規(guī)律是因變量y總與以a為底的自變量x的對(duì)數(shù)相對(duì)應(yīng).這是繼一次函數(shù)、一元一次方程、指數(shù)函數(shù)等概念之后的又一個(gè)形式化的定義.對(duì)于初學(xué)者而言，困難之處在于對(duì)數(shù)函數(shù)的定義式并非是由他們所熟悉的四則運(yùn)算或冪運(yùn)算來表達(dá)的，因而往往對(duì)于“函數(shù)y=2log4x是否為對(duì)數(shù)函數(shù)”這類問題的回答莫衷一是.但是，教師在教學(xué)過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生注意到“y=2log4x=log2x”及函數(shù)相等的定義，就能夠作出“y是x的以2為底的對(duì)數(shù)函數(shù)”的正確判斷.通過這一的問題討論，揭示了對(duì)數(shù)函數(shù)定義的形式表達(dá)式的含義.這不僅有助于學(xué)生進(jìn)一步深刻理解函數(shù)的概念，而且對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)后繼的幾個(gè)形式化定義的三角函數(shù)的概念，以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的更深刻的形式化或公理化定義(如極限、向量空間等)也有幫助.

對(duì)數(shù)函數(shù)所涉及的對(duì)數(shù)運(yùn)算，不僅對(duì)數(shù)據(jù)的處理帶來了很大幫助，而且可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的乘法與除法運(yùn)算，體現(xiàn)了將問題轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.例如，對(duì)于幾何數(shù)列{an}(a>0且a≠1) 與其指數(shù)所對(duì)應(yīng)的算術(shù)數(shù)列{n}，幾何數(shù)列中任意兩項(xiàng)的乘積所得的項(xiàng)的指數(shù)恰是這兩項(xiàng)的指數(shù)之和，即這兩項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的算術(shù)數(shù)列中的兩項(xiàng)之和，也就是說，幾何數(shù)列{an}中的乘法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為算術(shù)數(shù)列{n}中的加法運(yùn)算，即對(duì)數(shù)的加法.事實(shí)上，正是受上述想法的啟發(fā)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾與瑞士數(shù)學(xué)家比爾吉在十七世紀(jì)初各自獨(dú)立地發(fā)明了對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的發(fā)明，使得一個(gè)很大的數(shù)可以縮小為它的對(duì)數(shù)來處理，將兩個(gè)數(shù)的乘法運(yùn)算通過對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，這樣就方便了計(jì)算并減少錯(cuò)誤[2].

對(duì)數(shù)函數(shù)在高中教科書中是作為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)來學(xué)習(xí)的，靈活運(yùn)用一個(gè)函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的性質(zhì)，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.例如，設(shè)方程2x+x-3=0的根為a，方程log2x+x-3=0的根為b，求a+b的值.為此，我們將兩個(gè)方程分別變形為2x=-x+3與log2x=-x+3，就容易知道a是曲線y=2x與直線y=-x+3的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，b是曲線y=log2x與直線y=-x+3的交點(diǎn)B的橫坐標(biāo).根據(jù)同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x是對(duì)稱的，以及直線y=-x+3的圖像也關(guān)于直線y=x是對(duì)稱的，就得知A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x一定對(duì)稱，進(jìn)而可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，使問題得到解決.

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值

廣泛的應(yīng)用性是數(shù)學(xué)學(xué)科的一大特點(diǎn).馬克思曾說“一門科學(xué)只有成功地應(yīng)用了數(shù)學(xué)時(shí)，才算真正達(dá)到了完善的地步”，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚也曾指出“世間萬物，大到宇宙小到每一粒塵埃，無處沒有數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)”.了解數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，也可以引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的積極性.

在歷史上，對(duì)數(shù)的發(fā)明幫助天文學(xué)家解決了復(fù)雜的計(jì)算問題，正是因?yàn)檫@一巨大優(yōu)點(diǎn)，對(duì)數(shù)自發(fā)明以后就被迅速流傳開來，并在當(dāng)今現(xiàn)代科學(xué)的各個(gè)分支中仍然有著重要的應(yīng)用.大家熟知的衡量化學(xué)物質(zhì)酸堿度的PH值，就是基于對(duì)數(shù)性質(zhì)設(shè)計(jì)的一種對(duì)數(shù)標(biāo)度，譬如某兩種物質(zhì)的PH值相差3，那么它們實(shí)際的酸堿程度要相差103倍.類似地，還有測(cè)量地震強(qiáng)度的里氏震級(jí)、聲音強(qiáng)度的分貝等.此外，在生物學(xué)科上，種群的增長(zhǎng)曲線中時(shí)間與種群前后增長(zhǎng)倍數(shù)也能夠用對(duì)數(shù)函數(shù)來刻畫.一般地，當(dāng)人們需要評(píng)估某個(gè)量相對(duì)于另一些量的變化率時(shí)，常常用到對(duì)數(shù)函數(shù)來建立數(shù)學(xué)模型，如回歸分析中的各種對(duì)數(shù)模型.應(yīng)用對(duì)數(shù)可以保持?jǐn)?shù)據(jù)的性質(zhì)和相關(guān)關(guān)系，并使之變化幅度縮小而更加平穩(wěn).

在對(duì)數(shù)函數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生善于從實(shí)際問題中抽象出其在數(shù)學(xué)上的本質(zhì)特征，利用對(duì)數(shù)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型以解決實(shí)際問題.這不僅能使學(xué)生深刻體會(huì)對(duì)數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，也對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和建模能力都至關(guān)重要.高中教科書中介紹了考古學(xué)家判斷文物年代的碳14法，即根據(jù)文物中碳14的含量來判斷文物的年代，而文物中碳14的含量與文物的年代這兩組量之間的關(guān)系就是一個(gè)對(duì)數(shù)表達(dá)式.類似地，在銀行復(fù)利計(jì)算中，當(dāng)本金為A、年利率為r時(shí)，那么本息和為B時(shí)所需要的年限則為n=(lnB-lnA)/ln(1+r)；又如，也可以要學(xué)生考慮這樣的問題：某種細(xì)胞每一刻鐘分裂一次，個(gè)數(shù)增加為原來的兩倍，問20個(gè)細(xì)胞要繁殖為100萬個(gè)以上，大約需要多少時(shí)間？通過對(duì)這樣一些簡(jiǎn)單問題建立對(duì)數(shù)函數(shù)模型或利用對(duì)數(shù)來求解數(shù)學(xué)模型的練習(xí)，將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，有助于逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

3.對(duì)數(shù)函數(shù)的文化與審美價(jià)值

數(shù)學(xué)與人類文明的進(jìn)步具有密切的聯(lián)系，也是推動(dòng)人類社會(huì)發(fā)展的動(dòng)力之一.數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展[3].數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)文化的一個(gè)重要方面，教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)美，不僅有助于他們掌握數(shù)學(xué)的概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識(shí)，而且有助于培養(yǎng)和提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象美.如logaab=b可以刻畫幾何數(shù)列{an}與算術(shù)數(shù)列{n}之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而loga(AB)=logaA+logaB則可以刻畫這兩個(gè)數(shù)列運(yùn)算之間的聯(lián)系，即將{an}中任意兩數(shù)的乘法運(yùn)算歸結(jié)為它們?cè)趝n}中的對(duì)數(shù)的加法運(yùn)算.符號(hào)log則簡(jiǎn)潔地表達(dá)了這種聯(lián)系，并透過公式嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问浇Y(jié)構(gòu)，揭示了對(duì)數(shù)的本質(zhì)意義.

自然界中各種各樣的對(duì)稱圖案，總是引人入勝，讓人情不自禁贊嘆大自然的美.數(shù)學(xué)中的對(duì)稱圖形，也是數(shù)學(xué)美的重要體現(xiàn).對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象也體現(xiàn)了某種對(duì)稱美.當(dāng)然，一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，不像偶函數(shù)或者奇函數(shù)的圖像那樣本身具有對(duì)稱的特點(diǎn)，但是，認(rèn)識(shí)到一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)與其它某個(gè)函數(shù)之間的圖像具有對(duì)稱關(guān)系，學(xué)生則能夠在理解知識(shí)間聯(lián)系的同時(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.例如，同底的對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，底互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱.而且，當(dāng)?shù)讛?shù)變化時(shí)，雖然它們各自的圖像也發(fā)生變化，但是圖像間的對(duì)稱關(guān)系并不改變，也就是說，函數(shù)圖像之間的這種對(duì)稱關(guān)系在底數(shù)的變化下保持不變.

總之，在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師要善于挖掘教材中的文化元素，注意滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中體會(huì)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn).這對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)價(jià)值觀的逐步形成，以及不斷發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是有促進(jìn)作用的.