挖掘數(shù)學史，促進學生學習發(fā)展
——《教學月刊·小學版》（數(shù)學）2021年第6期導讀有感

□許霜霜

數(shù)學史是研究數(shù)學發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的科學。它向人們呈現(xiàn)的不僅僅是數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展歷程，還有隱藏在數(shù)學知識背后的文化內(nèi)涵。近年來，關于數(shù)學史與數(shù)學教育（History and pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）的理論與實踐研究在我國開創(chuàng)了繁榮發(fā)展的局面，數(shù)學史作為數(shù)學文化的核心部分越來越受到關注。

本期雜志17篇文章中有14篇聚焦HPM，形成系列專題研究，相信本期雜志定會成為關注數(shù)學文化、關注數(shù)學史研究的相關教師的“案頭書”。下面從理論探討、教學實踐、數(shù)學文化三個方面對本期相關內(nèi)容加以綜述，以供廣大讀者借鑒參考。

一、HPM的理論探討

（一）研究價值

數(shù)學史是人類發(fā)展的結晶史，正因為有前人的不斷探索與研究，才有如今簡約的數(shù)學概念、公式、定理。華東師范大學的汪曉勤教授將HPM研究價值歸納為“知識之美”“方法之美”“探究之樂”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”六大價值。這與四基、四能、核心素養(yǎng)、情感態(tài)度與價值觀等課程改革的理念是相吻合的，也是數(shù)學學科育人的重要舉措。

蘇龍霞老師在《價值、內(nèi)容、方法：讓數(shù)學史更好地走進小學數(shù)學課堂》一文中提出，教師在教學時，要從價值取向、內(nèi)容取向、方法取向三個方面對數(shù)學史料進行辯證取舍。數(shù)學史融入數(shù)學課堂的價值取向是指實現(xiàn)教與學的統(tǒng)一，從而達成真正意義上的深度學習。以此提出兩點建議：其一，教師的教要觸及本質；其二，學生的學要明確方向。

（二）研究進展

盡管小學HPM存在教育取向的數(shù)學史匱乏、實踐中出現(xiàn)“高評價、低應用”的現(xiàn)狀、實證研究不足等問題，但眾多一線教師對HPM的實踐、新的教育理念的涌現(xiàn)、課程改革的不斷推進，極大地推動了小學HPM的發(fā)展。

岳增成老師在《小學HPM新進展》一文中提出，中國的HPM發(fā)展經(jīng)歷了“自下而上”與“自上而下”兩個階段：發(fā)軔于中學，HPM研究者與中學教師合作開發(fā)案例的過程中，總結經(jīng)驗，升華理論；發(fā)展于中小學，將本土化的HPM理論應用于中小學教學。課程改革的不斷推進帶動了小學HPM的快速發(fā)展，引發(fā)了小學HPM在理論輻射、價值認知、使用方式、內(nèi)容載體、實施空間、理論聯(lián)結、研究范式等方面的新動態(tài)。

（三）學習形式

華東師范大學汪曉勤教授提出了數(shù)學教學中運用數(shù)學史的四種方式，分別是：附加式、復制式、順應式、重構式。顧宇恒、蔡宏圣老師在《基于數(shù)學史實施深度學習》一文中對小學數(shù)學教學中如何更好地運用數(shù)學史的四種方式，促進學生深度學習提出了建議：超越歷史史實，更多地指向意義與動機；超越列舉呈現(xiàn)，更多地進行知識間勾連；超越史料本身，更多地呈現(xiàn)思考過程；超越數(shù)學結論，更多地進行探索再創(chuàng)造。

曹春艷、岳增成等老師在《小學數(shù)學教科書數(shù)學文化呈現(xiàn)比較與教學初探——以人教版和北師大版中“你知道嗎”欄目為例》一文中對人教版與北師大版中“你知道嗎”欄目進行了呈現(xiàn)數(shù)量、呈現(xiàn)風格、呈現(xiàn)內(nèi)容以及呈現(xiàn)語言四個方面的比較分析，提出：教師教學用書對該欄目沒有特別說明，教師對該內(nèi)容的教學存在意識淡薄、思考不足的現(xiàn)象，往往采用選擇性使用或學生自行閱讀的方式，即數(shù)學史的附加式運用，這樣不利于將課程形態(tài)的數(shù)學文化轉化成為教育形態(tài)的數(shù)學文化。

以上兩文中均建議：從深度學習的要義去審視，“你知道嗎”欄目的教學，要關注欄目的教育意蘊，彰顯其特有的學習價值；要關注欄目內(nèi)容的設計與開發(fā)，適度加工，讓其教學意義超越數(shù)學史本身，更多地指向領悟數(shù)學知識的意義與激發(fā)學生的學習。

二、HPM的教學實踐

HPM的教學實踐是指將數(shù)學史融入數(shù)學課堂教學的實踐研究，包括HPM課例的設計、實施、評價與反饋等方面。本期中的8個教學實例，主要聚焦在設計與實施上。8個案例試圖通過對相關內(nèi)容數(shù)學史料的收集、整理、分析以及有效利用，探索如何從數(shù)學史料中體悟探究的過程，如何從數(shù)學史料中把握探究的程度，如何從數(shù)學史料中明晰探究的方向。結合具體的“課”進行研究，探索有效利用數(shù)學史料的具體策略。

（一）讀史理序，重構學習知識的探究之序

宦銘里、李紹平、洪燕君老師在《數(shù)學史融入“長方形和正方形的認識”的課堂教學》一文中，基于相關數(shù)學史料的研究，按照“長方形→正方形→四邊形”的探究順序對教學進行了重構。通過觀看數(shù)學史微視頻了解長方形和正方形的由來和發(fā)展；通過“找、量、比、折、畫”等探究活動，體會“方出于矩”的數(shù)學思想，掌握長、正方形的特征。

飛惠玲、袁科虹老師在《理論互動，“三序”融合——以“圓的認識”案例生成為例》一文中提出，將知識的歷史發(fā)展順序、教材的知識邏輯順序、學生的認知發(fā)展順序“三序”融合，是數(shù)學史融入小學數(shù)學教學的難點所在。

（二）融史選材，設計問題探究的學習活動

李建良、林永偉老師在《利用數(shù)學史料，解決復雜問題，發(fā)展綜合能力——小學五年級開展“勾股定理”教學的嘗試與思考》一文中，結合相關史料，借鑒初中數(shù)學的一些做法，設計了“以等腰直角三角形和各邊上正方形面積關系初探、借助‘勾三股四弦五’進一步探究、通過‘趙爽弦圖’嘗試進行實驗證明”三個學習活動，使學生經(jīng)歷了從特殊到一般的過程，發(fā)現(xiàn)并驗證勾股定理，引發(fā)學生的深入思考，發(fā)展學生的綜合能力。

劉樹霞、鄭玲玲老師在《挖知識源流，助文化互融——以基于數(shù)學史的“三角形的面積”教學為例》一文中，分析了不同時空中與三角形面積計算有關的歷史素材，以幾何學的起源為開端，順應式地融入了古希臘等底等高的三角形和平行四邊形面積關系的命題；構建了直角三角形的面積到銳角和鈍角三角形的面積的探究活動，學生較為自然地探究出割補、倍拼的方法；在古今對照的學習活動中，了解古人的方法，拓展知識面，知曉原來也可由三邊長度得到三角形的面積。

（三）依史設問，激發(fā)學生深入探究的動機

張偉明老師在《在“你知道嗎”中親歷知識的演變——例談HPM視角下“年、月、日”的教學》一文中，將教材中“你知道嗎”這一欄目里相關的數(shù)學史融入課堂教學，陳愛君老師在《重構學習深度理解——HPM視角下“圓的面積”教學實踐與思考》一文中，基于學生在圓面積公式推導中產(chǎn)生的“為什么曲邊可以等同于直線”的困惑，將歷史上圓面積計算的典型方法融入教學（劉徽的割圓術、阿基米德的細分同心圓、開普勒的分割變形），重構以數(shù)學史料為探究載體的學習方式，讓學生在方法的選擇和理解中感悟極限思想在解決問題過程中的獨到價值。

細讀這些教學案例，我們會看到HPM融入數(shù)學課堂的不同的學習路徑，表明HPM在教學實踐方面具有廣闊的研究空間，為深入研究提供了方向。

三、HPM與數(shù)學文化

課程標準對于課堂教學中的數(shù)學文化有具體、明確的表述：教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數(shù)學在自然與社會中的應用以及數(shù)學發(fā)展史的有關材料，幫助學生了解在人類文明發(fā)展過程中數(shù)學所起的作用，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，感受數(shù)學家治學的嚴謹，欣賞數(shù)學的優(yōu)美，數(shù)學的起源與發(fā)展史、數(shù)學美、數(shù)學游戲、數(shù)學家與數(shù)學、數(shù)學工具、數(shù)學應用活動等都可以作為課堂教學中數(shù)學文化的具體元素。

陳燕、劉雪芳老師在《用詩性課堂品數(shù)學文化——以“詩歌中數(shù)字的魅力”教學為例》一文中，構建了詩性數(shù)學文化課堂，展現(xiàn)了詩歌美、數(shù)字美，讓學生感受到我國古典文化的博大精深。課堂教學中呈現(xiàn)了詩歌中的“約數(shù)”、詩句中的“夸張數(shù)”、詩中的概數(shù)，整節(jié)課詩詞文化與數(shù)學水乳交融。從知識教學的角度，本節(jié)課打破了學生對數(shù)字的已有認知；從生活和生命的角度，本節(jié)課拓展了數(shù)字的內(nèi)涵與應用，提高了學習的深度。

除了數(shù)學與詩歌的結合能讓數(shù)學“好玩”，在數(shù)學文化的領域里還有美麗的黃金分割、奇妙的分形世界、迷人的平面鑲嵌、離奇的等寬曲線、出人意料的悖論等等，還可以看到數(shù)學與文學、數(shù)學與美術、數(shù)學與音樂的交融……這樣的結合，其目標是幫助學生習得基本的知識技能，更重要的是豐富數(shù)學課堂，讓學生覺得數(shù)學好玩、數(shù)學美妙、數(shù)學有用，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。所以以數(shù)學文化為主、脫離數(shù)學課本的數(shù)學文化課堂正在興起。

雖然小學一線教師期待能有直接融入數(shù)學的史料或者將史料融入教學的“屠龍之技”，但是數(shù)學史融入課堂教學發(fā)揮育人價值，需要建立在教師自身對數(shù)學史知識有豐富儲備與理解的基礎上，將學術形態(tài)的數(shù)學史轉變?yōu)榻逃螒B(tài)的數(shù)學史。

潘麗云老師在《小學數(shù)學教師提升數(shù)學史素養(yǎng)的意義與路徑——以“豎式乘法”教學為例》一文中提出，教師的數(shù)學史素養(yǎng)在知識、史觀、能力三個方面的內(nèi)涵界定是教學實踐的指南和教學評價的依據(jù)，以“豎式乘法”為例，闡述在數(shù)學史料學習、數(shù)學史融入教學實踐、數(shù)學史育人價值的觀念形成等方面提升教師數(shù)學史素養(yǎng)的具體實施路徑。

通讀每篇文章，深感每篇文章都充滿了作者的智慧和藝術，讀者能獲得的“營養(yǎng)成分”很高！能用——學以致用，不能用——學以備用！對數(shù)學史的研究只有前進時，沒有終結時，對數(shù)學教育本質的理解將從數(shù)學發(fā)展的歷史中獲得啟迪。