易偉松，劉熹微，何展航,朱 杰，佘梟雄，馮 晨，夏媛惠

(1.華中農(nóng)業(yè)大學 理學院，湖北 武漢 430070；2.華中農(nóng)業(yè)大學 資源與環(huán)境學院，湖北 武漢 430070)

轉(zhuǎn)動慣量(Moment of Inertia)是剛體繞軸轉(zhuǎn)動時慣性的量度，有著重要的物理意義，等同于平動物體的質(zhì)量。轉(zhuǎn)動慣量在科學實驗、工程技術(shù)、航天、電力、機械、儀表等領域也是一個重要參量。轉(zhuǎn)動慣量與剛體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置有關，按測量準度從高到低依次為扭擺法、落體法、三線擺等[1]，基于這些方法的改進研究也有報道[2-4]。

隨著信息技術(shù)快速發(fā)展，智能手機普及化程度愈來愈高，智能手機搭載傳感器越來越多，使得利用智能手機探索物理實驗與教學的研究方興未艾[5]。利用智能手機傳感器測量剛體轉(zhuǎn)動慣量也成為研究熱點，陳國華等基于落體法利用智能手機磁傳感器測量剛體轉(zhuǎn)動慣量[6]，徐錢欣等基于三線擺法利用智能手機陀螺儀傳感器測量物體轉(zhuǎn)動慣量[7]，吳星星等利用智能手機旋轉(zhuǎn)傳感器測量轉(zhuǎn)動慣量[8]。

在智能手機傳感器中，磁力計(magnetometer)作為高精度傳感器逐漸內(nèi)置于智能手機，使得利用智能手機方便快捷測量磁場成為可能。內(nèi)置于智能手機的磁力計有霍爾效應傳感器(HES)、各向異性磁電阻傳感器(AMRS)、巨磁電阻傳感器(GMRS)和隧道磁電阻傳感器(TMRS)四種，測量精度都能夠達到微特斯拉(μT)[9]。本研究基于扭擺法，研究智能手機磁力計定量測量剛體轉(zhuǎn)動慣量方法，并與常用方法及理論計算值進行計較，評價測量效果。

1 實驗原理

轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量，是研究和描述剛體轉(zhuǎn)動規(guī)律的一個重要物理量。在實驗室里，可以利用扭擺法測量轉(zhuǎn)動慣量，扭擺周期與轉(zhuǎn)動慣量存在關系

(1)

在扭擺法測轉(zhuǎn)動慣量，常用方法是利用轉(zhuǎn)動慣量測試儀測量扭擺周期(圖1)，然后利用公式(1)計算剛體轉(zhuǎn)動慣量。創(chuàng)新方法是利用智能手機磁力計測量扭擺周期(圖2)，也是利用公式(1)計算剛體轉(zhuǎn)動慣量。

圖1 TH-1型轉(zhuǎn)動慣量測試儀

圖2 利用手機測量扭擺轉(zhuǎn)動慣量示意圖

對于質(zhì)量分布均勻、具有規(guī)則幾何形狀的剛體，轉(zhuǎn)動慣量理論值可以根據(jù)定義式進行計算。

(2)

(3)

2 實驗步驟

2.1 利用轉(zhuǎn)動慣量測試儀測量剛體轉(zhuǎn)動慣量

扭擺法是大學物理實驗轉(zhuǎn)動慣量測量常用方法，實驗儀器涉及扭擺、塑料圓柱、金屬圓筒、游標卡尺、電子天平、轉(zhuǎn)動慣量測試儀等[10]。

常用實驗思路：首先分別測得金屬圓盤、加塑料圓柱和加金屬圓筒的扭擺周期(擺角為90°，光電門位于擋光桿平衡位置處，十個周期累積的平均周期)，其次測量塑料圓柱直徑和質(zhì)量，計算其轉(zhuǎn)動慣量理論值，然后將該理論值作為實驗值代入公式(1)計算金屬圓筒實驗值，最后測量金屬圓筒內(nèi)外直徑和質(zhì)量，計算其轉(zhuǎn)動慣量理論值，并與實驗值進行比較。

2.2 利用智能手機定量測量剛體轉(zhuǎn)動慣量

利用智能手機測量剛體轉(zhuǎn)動慣量無須轉(zhuǎn)動慣量測試儀，只需利用小磁球和內(nèi)置磁力計智能手機，并安裝物理實驗軟件。實驗步驟如下：

(1)內(nèi)置磁力計的智能手機安裝最新版物理實驗應用——Phyphox，由德國亞琛工業(yè)大學第二物理研究所開發(fā)，專為基于智能手機完成物理實驗而設計[11]。

(2)利用小磁球確定智能手機磁力計位置坐標，并做好標記[12]。

(3)將小磁球固定于金屬圓盤邊緣，并與智能手機磁力計對齊(圖2)，分別測得金屬圓盤、加塑料圓柱和加金屬圓筒的扭擺周期(擺角為90°，十個周期累積的平均周期)，然后按照上述常用實驗思路計算轉(zhuǎn)動慣量，將利用智能手機實驗結(jié)果與常用方法及理論計算值進行比較，評價智能手機測量效果。

3 實驗結(jié)果

3.1 利用轉(zhuǎn)動慣量測試儀測量結(jié)果

利用轉(zhuǎn)動慣量測試儀，采用常用實驗思路測量結(jié)果(表1)，其中直徑和周期都是三次測量取平均值。

表1 利用轉(zhuǎn)動慣量測試儀測量結(jié)果

3.2 智能手機磁力計坐標及三軸定位

實驗用智能手機為蘋果iPhone6p，磁力計位于手機左上角，距離上端15mm，距離左邊18mm。不同手機品牌及型號，磁力計位置和三軸方向可能不同。

3.3 利用智能手機磁力計測量轉(zhuǎn)動慣量結(jié)果

(1)利用智能手機磁力計測量周期

智能手機磁力計測量扭擺過程磁感應強度隨時間變化，磁場極大值就是小磁球離手機最近的位置，強度幾乎沒有變化。磁場極小值表示小磁球離手機最遠的位置，因為阻尼作用，扭擺振幅不斷減小，磁場極小值隨之不斷增大，周期也隨之增加。將金屬圓盤實驗原始數(shù)據(jù)導出，分別截取振幅基本沒有變化部分和振幅顯著減小部分，分別計算十個周期的平均周期(圖3)，分別為0.64s和0.65s。依照類似的方法，可以根據(jù)磁場變化情況計算出塑料圓柱和金屬圓筒的扭擺周期分別為0.92s(0.93s)和1.41s(1.42s)。

圖3 根據(jù)磁場變化計算扭擺周期

(2)利用智能手機測得轉(zhuǎn)動慣量及百分偏差

將上述周期(前半段振幅還沒有顯著減少部分的平均周期)和剛體參數(shù)代入公式(1)，可以得到金屬圓盤、塑料圓柱和金屬圓筒轉(zhuǎn)動慣量實驗值(表2)，將實驗值與理論值進行比較，得到百分偏差。

表2 利用智能手機磁力計測量結(jié)果

4 分析討論

基于扭擺法測量剛體轉(zhuǎn)動慣量，無論是利用轉(zhuǎn)動慣量測試儀，還是利用智能手機磁力計都可以準確測出剛體轉(zhuǎn)動慣量；轉(zhuǎn)動慣量測試儀精度較高，百分偏差小于1%，基于智能手機測量精度稍低(2.4%)，仍在可接受范圍。本實驗結(jié)果證實了利用智能手機磁力計，結(jié)合物理實驗應用程序，定量測量剛體轉(zhuǎn)動慣量方法的可行性。

利用轉(zhuǎn)動慣量測試儀與利用智能手機測量剛體轉(zhuǎn)動慣量原理相同，都是基于扭擺法。在不考慮摩擦力、空氣阻力、彈簧形變等因素情況下，無阻尼自由擺動為簡諧振動，然而在實際測量過程中由于上述因素無法避免，因此扭擺的擺幅不斷減小，實際扭擺屬于欠阻尼擺動，詳細誤差分析參見文獻[10,13]。利用智能手機測量轉(zhuǎn)動慣量可以記錄扭擺振幅變化情況，以及振動周期隨擺角減小而增加的變化[13]，有助于學生加深對阻尼振動的認知，這是常規(guī)測量方法無法獲取的信息。

由于智能手機磁力計具有較高的靈敏度和精度，因此只要物理實驗中待測物理量具有周期性，都可以增加小磁球，通過手機磁力計測量周期，據(jù)此計算待測物理量。例如彈簧勁度系數(shù)[14,15]、轉(zhuǎn)速[16,17]等都可以使用上述方法測量。隨著信息技術(shù)不斷發(fā)展，智能手機普及化程度升高，智能手機內(nèi)置傳感器豐富，將極大地拓展智能手機在物理實驗和教學中的應用領域。在疫情防控背景下，智能手機有助于居家物理實驗開展，可望成為移動物理實驗室[18]。

5 結(jié) 語

文章利用智能手機磁力計和手機應用程序(phyphox)，基于扭擺法定量測量剛體轉(zhuǎn)動慣量，實驗結(jié)果證實了該方法的可行性，測量精度較高。在物理實驗中引入智能手機，不僅能夠降低實驗成本，而且還能夠激發(fā)學生學習興趣，增強學生探究欲望。