趙 磊，薛東劍，方 坤

(1.成都理工大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610059；2.四川省國(guó)土科學(xué)技術(shù)研究院，四川 成都 610045)

灰色系統(tǒng)是由我國(guó)著名學(xué)者鄧聚龍?jiān)?982年提出來(lái)的，灰色系統(tǒng)的提出解決了大量預(yù)測(cè)問(wèn)題，灰色系統(tǒng)著重于小樣本、貧信息和不確定性問(wèn)題的研究，并依據(jù)信息覆蓋，通過(guò)序列算子的作用探索事物運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律，其特點(diǎn)是“少數(shù)據(jù)建?！?，著重研究“外延明確，內(nèi)涵不明確”的對(duì)象[1]。預(yù)測(cè)的任務(wù)就是探尋研究客觀事物發(fā)展變化的規(guī)律，由于預(yù)測(cè)的對(duì)象、目標(biāo)和內(nèi)容的不同，形成了多種多樣的預(yù)測(cè)方法[2]，薛東劍等[2]采用灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行礦產(chǎn)預(yù)測(cè)，并證實(shí)了灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型在礦產(chǎn)預(yù)測(cè)中的適用性，此后灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)方法在礦產(chǎn)預(yù)測(cè)中被廣泛使用，為礦產(chǎn)資源編制工作提供了新的方法與思路。然而面對(duì)礦產(chǎn)產(chǎn)量數(shù)據(jù)的無(wú)規(guī)律性，灰色預(yù)測(cè)系統(tǒng)模型在對(duì)礦產(chǎn)預(yù)測(cè)過(guò)程中時(shí)，仍存在精度偏低等問(wèn)題。所以本次研究通過(guò)對(duì)比多種背景值改良后的灰色系統(tǒng)模型及原始灰色系統(tǒng)模型，通過(guò)對(duì)模擬值、殘差、相對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差等多個(gè)方面進(jìn)行對(duì)比分析，為礦產(chǎn)預(yù)測(cè)選擇更加合理、精確的預(yù)測(cè)方法。

模型的初始值、模型的背景值和模型的參數(shù)估計(jì)方法等是影響GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)精度的常見(jiàn)因素[3]，其中背景值構(gòu)造方法的改良在探索提高GM(1，1)精度的過(guò)程中有非常重要的意義，并且一大批學(xué)者致力于背景值構(gòu)造改良方法的研究。劉樂(lè)等[4]將x(1)(t)抽象為x(1)(t)=B·exp(A·t)+C，從而構(gòu)造出更加精確的背景值構(gòu)造公式，該公式提高了預(yù)測(cè)精度，同時(shí)還適用于高、低指數(shù)增長(zhǎng)序列的建模。李星毅等[5]利用非齊次指數(shù)函數(shù)模擬依次累加生成序列，在考慮原始模型誤差出現(xiàn)原因之后，根據(jù)序列與累加生成序列的關(guān)系重新構(gòu)造了背景值計(jì)算公式，以實(shí)際曲線在區(qū)間上與x軸圍成的面積作為新背景值。蔣詩(shī)泉等[6]基于積分幾何意義，將原區(qū)間平分成若干小區(qū)間，利用函數(shù)逼近的思想，同時(shí)利用復(fù)化梯形公式代替原公式，提出了新的GM(1，1)模型背景值優(yōu)化方法，并取得了較好的效果。江藝羨等[7]根據(jù)模型的指數(shù)性質(zhì)及積分特點(diǎn)，利用黎曼積分的核心思想，用不規(guī)則梯形面積代替?zhèn)鹘y(tǒng)梯形面積，從而提出了新的背景值構(gòu)造方法。徐寧等[8]根據(jù)GM(1，1)模型時(shí)間響應(yīng)式的函數(shù)形式，利用積分中值定理擬合真實(shí)模型背景值，在研究發(fā)展系數(shù)與背景值之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出了基于誤差最小化的GM(1，1)模型背景值優(yōu)化方法。李凱等[9]提出了利用辛普森3/8公式和牛頓插值公式的組合插值方法來(lái)構(gòu)造出新的GM(1，1)模型背景值。雖然改良后的各種模型具有較好的預(yù)測(cè)穩(wěn)定性，增強(qiáng)了GM(1，1)模型的適用性，但是對(duì)于數(shù)據(jù)較大且無(wú)規(guī)律的礦物產(chǎn)量而言，不論是原始GM(1，1)模型還是改良后的GM(1，1)模型都只能進(jìn)行短期預(yù)測(cè)，所以本文提出了利用新陳代謝模型與改良后的模型相結(jié)合，以便于進(jìn)行礦物產(chǎn)量的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，從而達(dá)到更高的精度。

1 灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型的建立

1.1 建模原理及方法

GM(1， 1)模型的算法如下：

設(shè)時(shí)間序列x0有n個(gè)觀察值：

累加生成新序列：X1=｛x1(1),x1(2)…x1(n)｝，其中

X1(k)為X0(k)的一次累加序列，記作1-AGO，有：

(1)式為GM(1，1)模型的基本形式，也稱(chēng)作灰微分方程；其中a、b分別為發(fā)展系數(shù)和內(nèi)生控制灰數(shù)為待估計(jì)參數(shù)變量，通常利用最小二乘法可以解得：

其中：

B矩 陣 中z(1)(k)=1/2{x(1)(k)+x(1)(k-1)}；k=2，3，…，n，z(1)(k)即為模型的背景值。

(3)式即為灰微分方程式(1)的白化方程，時(shí)間響應(yīng)式為：

利用(4)式累減得可到還原序列，即預(yù)測(cè)方程：

1.2 GM(1，1)建模數(shù)據(jù)合格性檢驗(yàn)

計(jì)算建模序列的級(jí)比：

若數(shù)據(jù)符合(6)式，則認(rèn)為建模序列是合格的。其中：

若不滿(mǎn)足上述條件，則需要對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行一定的變換處理，從而達(dá)到建模要求。

1.3 預(yù)測(cè)結(jié)果精度檢驗(yàn)

灰色模型精度檢驗(yàn)一般有三種方法：相對(duì)誤差大小檢驗(yàn)法，關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)法和后驗(yàn)差檢驗(yàn)法。常用的為后驗(yàn)差檢驗(yàn)法。

(2)計(jì)算殘差。

(3)分別計(jì)算原始序列x0的方差S1和殘差e(k)的方差S2。

(4)計(jì)算后驗(yàn)差比。

其中C表示原始數(shù)據(jù)離散程度的大小。

(5)計(jì)算小誤差概率并查表觀察效果(表1)。

表1 精度等級(jí)對(duì)照表

小誤差頻率：P=P{|ε(k)-ε(k)|＜0.6745S1}，其中P表示殘差與殘差平均值之差小于0.6745S2的點(diǎn)的數(shù)量。

2 灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型的改良

在傳統(tǒng)的GM(1，1)模型的建模過(guò)程中，常利用梯形面積代替積分與X軸圍成的面積，從而在預(yù)測(cè)結(jié)果上產(chǎn)生了誤差，同時(shí)GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)精度取決于a和b的值，同時(shí)模型中a，b的值又取決于背景值z(mì)(1)(k)，因此本文選取原始GM(1，1)模型以及三種背景值改良后的GM(1，1)模型進(jìn)行對(duì)比分析。

2.1 模型一

令區(qū)間[k-1，k]=[p，q]，在區(qū)間[k-1，k]中平均插入n-1個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間[k-1，k]平均分成了n個(gè)小區(qū)間，則每個(gè)點(diǎn)的表達(dá)式為xk=p+kh；k=0，1，…，n，其中h=(q-p)/nh，對(duì)每個(gè)小區(qū)間進(jìn)行積分并求和得到：

最終得到背景值公式：

2.2 模型二

2.3 模型三

最終根據(jù)待定系數(shù)A、D、C并結(jié)合式z(1)(k)=1/A[x(1)(k)-x(1)(k-1)]+C=[x(0)(k)/A]+C得到新背景值構(gòu)造公式為：x(1)(k)≠x(1)(k-1)時(shí)，

3 四川省水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預(yù)測(cè)

3.1 產(chǎn)量數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)分析

水泥用灰?guī)r2011年至2019年產(chǎn)量數(shù)據(jù)來(lái)自2011年至2019年《四川省礦產(chǎn)資源年報(bào)》、《四川省統(tǒng)計(jì)年鑒》，具體產(chǎn)量數(shù)據(jù)可見(jiàn)下表2。

表2 四川省水泥用灰?guī)r2011～2019年產(chǎn)量

利用表2水泥用灰?guī)r2011～2019年9組產(chǎn)量數(shù)據(jù)進(jìn)行建模：X(0)={5855.2，6267.9，6789.1，7564.2，7464.7，7811.9，8420.6，8670.9，9355.3}

表3 水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預(yù)測(cè)結(jié)果

表4 水泥用灰?guī)r預(yù)測(cè)產(chǎn)量誤差分析結(jié)果

原始GM(1，1)模型及三種基于背景值改良的GM(1，1)模型預(yù)測(cè)精度都達(dá)到了1級(jí)，但是水泥用灰?guī)r產(chǎn)量數(shù)據(jù)較大，所以對(duì)精度要求較高，通過(guò)對(duì)三種改良模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的平均誤差進(jìn)行分析對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，M3改良模型較原始GM(1，1)模型及其他改良模型都有一定優(yōu)勢(shì)，成功降低了水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預(yù)測(cè)的誤差。原始產(chǎn)量數(shù)據(jù)與M3模型預(yù)測(cè)值擬合度如圖1所示。

從表4和圖1可以看出原始產(chǎn)量數(shù)據(jù)與M3模型預(yù)測(cè)值擬合度較高，M3模型預(yù)測(cè)值最高相對(duì)誤差為5.37%，平均相對(duì)誤差為1.72%，預(yù)測(cè)精度為1級(jí)，適合對(duì)水泥用灰?guī)r進(jìn)行中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)研究。

圖1 2012～2019年水泥用灰?guī)r原始值與預(yù)測(cè)值

3.2 新陳代謝模型與改良模型M3結(jié)合

在原始數(shù)據(jù)序列中，新預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)x(0)(n+1)代替舊數(shù)據(jù)x(0)(1)，新預(yù)測(cè)序列則更新為：

反復(fù)進(jìn)行此過(guò)程，直到完成預(yù)測(cè)任務(wù)，這個(gè)新數(shù)據(jù)代替舊數(shù)據(jù)，并反復(fù)利用新序列來(lái)進(jìn)行GM(1，1)建模的過(guò)程就是灰色新陳代謝模型，通過(guò)這個(gè)過(guò)程可以提高預(yù)測(cè)精度。

利用表2水泥用灰?guī)r2011～2019年9組產(chǎn)量數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，通過(guò)預(yù)測(cè)公式計(jì)算得到2020年水泥用灰?guī)r產(chǎn)量為9 819.7萬(wàn)t。

利用新陳代謝模型將x(0)(10)代替原x(0)(1)形成新的建模序列，計(jì)算得到2021年水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型：

同理可得未來(lái)4年水泥用灰?guī)r預(yù)測(cè)模型。

2021～2025年水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型分別為：

3.3 水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預(yù)測(cè)結(jié)果分析

通過(guò)上述2021～2025年水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型得到預(yù)測(cè)結(jié)果(表5)。

表5 水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預(yù)測(cè)結(jié)果

未來(lái)五年的產(chǎn)量預(yù)測(cè)結(jié)果表明，水泥用灰?guī)r產(chǎn)量呈上升趨勢(shì)。水泥用灰?guī)r在水泥工業(yè)中占主導(dǎo)地位，是國(guó)民經(jīng)濟(jì)及人民生活必不可少的原料，其工業(yè)總產(chǎn)值穩(wěn)步上升，需求呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)，水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預(yù)測(cè)結(jié)果與需求趨勢(shì)一致。

4 結(jié)論

(1)本次研究以四川省第四輪礦產(chǎn)資源規(guī)劃為背景，利用表2中水泥用灰?guī)r2011～2019年產(chǎn)量數(shù)據(jù)，分別采用原始GM(1，1)模型及三種背景值改良后的GM(1，1)模型，利用水泥用灰?guī)r2011～2019年產(chǎn)量對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)，在四種預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)精度都為一級(jí)的情況下，對(duì)四種模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行對(duì)比分析，最終選擇出了更加適合水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預(yù)測(cè)的模型。

(2)礦物產(chǎn)量受政策、價(jià)格等因素變化而波動(dòng)，舊數(shù)據(jù)已經(jīng)不再適合繼續(xù)作為GM(1，1)建模數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，新陳代謝模型利用新數(shù)據(jù)代替舊數(shù)據(jù)，將改良后的GM(1，1)模型與新陳代謝模型相結(jié)合，利用水泥用灰?guī)r2011～2019年產(chǎn)量數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，成功預(yù)測(cè)出未來(lái)5年水泥用灰?guī)r產(chǎn)量，水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預(yù)測(cè)結(jié)果呈現(xiàn)上升趨勢(shì)。

此次研究為動(dòng)態(tài)建模過(guò)程，提高了對(duì)水泥用灰?guī)r產(chǎn)量長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，為其他礦物產(chǎn)量的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)提供了方法和思路，也為礦產(chǎn)資源規(guī)劃提供了更加精確的數(shù)據(jù)，合適的預(yù)測(cè)模型和精確的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)是礦產(chǎn)規(guī)劃順利完成的有力保障。