耦合非線性薛定諤方程在凝聚體中的應用

楊曉紅，連高社

(太原工業(yè)學院理學系,山西太原 030008)

玻色-愛因斯坦凝聚是近些年來物理學領域中的一個研究熱點[1-4],具有非常重要的研究意義和應用價值。當原子被冷卻到一個臨界溫度以下時,理想Bose 子氣體將會發(fā)生相變,導致一種新的物質狀態(tài),這種變相稱為玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensate,簡寫B(tài)EC)。而處于這種新狀態(tài)的物質被稱為玻色-愛因斯坦凝聚體(Bose-Einstein condensates,縮寫為BECs)。

用平均場理論處理非均勻玻色-愛因斯坦凝聚系統(tǒng)的基本方程為[5]:

這就是著名的GP方程。其中φ()表示宏觀波函數(shù),是m玻色原子質量,g為耦合常數(shù),與s波散射長度as相關。as可正可負,正代表兩體相互作用為排斥,負表示兩體相互作用為吸引。在實驗中s波散射長度的大小和正負都可以利用費施巴赫共振(Feshbach)技術來調節(jié)。

對于兩個相互作用的凝聚體使用零溫的平均場理論,因此可忽略凝聚態(tài)原子間的碰撞和熱云,則這個凝聚態(tài)系統(tǒng)的宏觀動力學由兩個耦合的GP方程來描述?？紤](1+1)維的情況,對方程進行無量綱處理,耦合方程可以寫為[5]:

此時外部簡諧勢為:

gij為非線性相互作用系數(shù)。

已經有很多方法被提出來求解(2),比如F展開法、函數(shù)展開法、相似變換法以及Hirota方法等等。

當允許散射長度和外部勢阱為隨時間變化的函數(shù),不忽略原子間的熱云時,則必然導致凝聚體中原子的增益或損耗。因此當處理雙組分的玻色-愛因斯坦凝聚體時,應在二耦合的GP方程中包含兩個不同的增益或損耗項。則上述方程(2)寫成如下形式[6]:

G1(t)、G2(t)分別代表波函數(shù)ψ1、ψ2的增益或損耗。當Gi(t)＞0,表示凝聚體波函數(shù)中熱云的損耗;反之當Gi(t)＜0,則表示為增益。gij(t)表示相互作用強度,vi(t) 表示外部簡勢。當g11(t)=g21(t),g12(t)=g22(t),g11(t)=-g12(t),時,用Lax 對和規(guī)范變換可求出方程的孤子解。

當自旋自由度被釋放,這種帶有自旋自由度的玻色氣體,被稱為旋量玻色氣體。首先,通過雙線性方法求得二耦合變系數(shù)薛定諤方程的孤子解,并利用Maple[7]對孤子解作圖。最后,發(fā)現(xiàn)調節(jié)凝聚體穩(wěn)定性的各種方法。

1 模型

考慮87Rb原子由兩種超精細態(tài)組成的旋量玻色-愛因斯坦凝聚,這種凝聚體通過拋物勢阱被限制,同時被隨時間變化的耦合場耦合。假設凝聚體是一維的,在平均場近似理論下,這個系統(tǒng)可以被變系數(shù)二耦合非線性薛定諤方程描述[8]

在方程(4)中ψ1,ψ2分別是旋量凝聚體的波函數(shù),a(t)表示短暫的散射長度,λ(t)和v(t)分別表示兩個凝聚體之間的阱頻率和耦合,G(t)表示凝聚體熱云的增益或(損耗)。

2 分析

根據可積條件[8]:

根據Hirota雙線性變換[9-12]構造變換:

式中,g(x,t)，h(x,t) 都是復函數(shù),而是f(x,t)實函數(shù)。對構造變換的(5)式分別求出ψ1t,ψ1xx,ψ2t,ψ2xx,代入方程(4)式并根據可積條件進行整理,分析得出如下雙線性形式:

其中Dt,Dx是雙線性算子,有如下形式的微分算子:

其中，p(x,t)是變量x與t的可微函數(shù),是b(x′,t′)變量x′與t′的可微函數(shù),m和n是非負整數(shù);式(7)稱為函數(shù)p與b對施行m次Dx,又對t施行n次的雙線性導數(shù)。基于表達式(6),方程組(4)的孤子解可由以下展開式得到:

ε是參量,gi和hi(i=1,3,5,…)是x和t的復函數(shù),fj(j=2,4,6,…)是x和t的實函數(shù)。把(8)式代入雙線性形式(6)式中,令ε的同冪次項系數(shù)為零,得到如下雙線性形式:

其中，θ(x,t)=k(t)x+w(t)，A，B為復數(shù),k(t)為實函數(shù),w(t)為復函數(shù)。

當ε=1 時,(10a),(10b),(10c)代入(9a),(9b),(9c)中可知:

則耦合非線性薛定諤方程的孤子解為:

圖1 孤子解ψ1,2的演化圖像

圖2 孤子解ψ1,2的演化圖像

圖3 孤子解ψ1,2的演化圖像

凝聚體的穩(wěn)定特性跟凝聚體中的原子間相互作用以及外部囚禁勢阱對原子的作用直接相關。所以,可以通過控制特征參量的值來控制孤子的傳輸特性與穩(wěn)定性。經作圖發(fā)現(xiàn)克服不穩(wěn)定性既可以通過改變任意函數(shù)F(t)(與圖1相比較)如圖2;也可以通過改變耦合系數(shù)v(t)(與圖1 相比較)如圖3;或者可以調節(jié)散射長度a(t)(與圖1 相比較)如圖4;研究克服凝聚體不穩(wěn)定性的各種方法為實現(xiàn)量子信息傳輸提供一定的理論依據同時增大了其作為量子信息載體的可能性。

圖4 孤子解ψ1,2的演化圖像

3 結語

還可進一步研究得出耦合方程的二孤子解、三孤子解等并分析二、三孤子的傳輸特性和穩(wěn)定性。