摘要：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)正式提出后，對(duì)數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)提出了更高的要求。基于教師的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)（MPCK）的理論研究，提出數(shù)學(xué)單元教學(xué)是最有效的發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)決策。教師所具備的MPCK是數(shù)學(xué)單元教學(xué)有效實(shí)施的關(guān)鍵，因此以初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)為例，在函數(shù)單元教學(xué)活動(dòng)中對(duì)教師所需的MPCK做具體的理論分析，促進(jìn)課堂教學(xué)中的教師專業(yè)發(fā)展。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)卧虒W(xué);MPCK;函數(shù)

1.問題提出

新一輪課程改革以發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，自數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)正式提出以來(lái)，研究設(shè)計(jì)單元數(shù)學(xué)教學(xué)的文章不斷涌現(xiàn)，單元教學(xué)重新走進(jìn)教育研究者的視野，它與發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)有著密不可分的關(guān)系。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的體現(xiàn)無(wú)法從單一的知識(shí)點(diǎn)中體現(xiàn)，而是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)體系始終，單元教學(xué)從主題的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，進(jìn)行知識(shí)整合設(shè)計(jì)，從更高地層次上對(duì)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié)與應(yīng)用，有利于培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。然而，數(shù)學(xué)單元教學(xué)是否能夠順利地進(jìn)入課堂，并得到有效實(shí)施，這對(duì)于數(shù)學(xué)教師提出了更高的專業(yè)性要求。本文以初中數(shù)學(xué)“函數(shù)”單元教學(xué)為例，對(duì)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科專業(yè)知識(shí)在理論研究與教學(xué)實(shí)踐方面進(jìn)行具體分析。

2.單元教學(xué)模式簡(jiǎn)介

單元教學(xué)并不是一個(gè)新詞，研究的重點(diǎn)集中在單元教學(xué)的概念理論層面。喻平[1]從設(shè)計(jì)與應(yīng)用層面對(duì)數(shù)學(xué)單元教學(xué)提出了四種結(jié)構(gòu)模式，從單元教學(xué)的可操作性出發(fā)，提出了以問題解過(guò)程線索為主題的單元教學(xué)模式、以建立個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)模式、以概念生長(zhǎng)作為主題的單元教學(xué)模式、以數(shù)學(xué)思想方法解決問題為主題的單元教學(xué)模式。這四種單元教學(xué)模式的具體應(yīng)用，包涵教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容分析、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)分析、學(xué)生學(xué)情分析、數(shù)學(xué)教材分析、數(shù)學(xué)知識(shí)重難點(diǎn)分析、教學(xué)方式分析各個(gè)方面，因此，單元教學(xué)的有效實(shí)施，在于數(shù)學(xué)教師是否有與之相匹配的課堂教學(xué)知識(shí)。

3.數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)（MPCK）簡(jiǎn)介

美國(guó)著名教育學(xué)家Shulman于1986年提出“Pedagogical Content Knowledge”，簡(jiǎn)稱PCK，國(guó)內(nèi)學(xué)者翻譯為學(xué)科教學(xué)知識(shí)，研究者們對(duì)其本質(zhì)界定為關(guān)于教師如何將學(xué)科知識(shí)傳授給不同興趣和能力的學(xué)習(xí)者，促使學(xué)習(xí)者更有效地學(xué)習(xí)的知識(shí)[2]。而數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)[3]（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，簡(jiǎn)稱MPCK）可以理解為數(shù)學(xué)教師關(guān)于某一特定的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容如何進(jìn)行表述、呈現(xiàn)和解釋，使得學(xué)生更容易接受和理解的知識(shí)。李渺，寧連華[4]認(rèn)為，對(duì)于中小學(xué)數(shù)學(xué)教師而言，MPCK 是由數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）、一般教學(xué)法知識(shí)（PK）、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（CK）以及教育技術(shù)知識(shí)（TK）融合而成?？傮w來(lái)看，MPCK的效用在于是數(shù)學(xué)教師如何將所學(xué)到的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生能夠?qū)W習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，MPCK體現(xiàn)了一個(gè)教師所具備的專業(yè)素養(yǎng)，目的是為了提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4.函數(shù)單元教學(xué)中教師的MPCK具體分析

以初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)為例，基于李渺和寧連華分析出的MPCK各成分的理論基礎(chǔ)，對(duì)教師MPCK結(jié)合函數(shù)單元教學(xué)活動(dòng)提出具體要求。

4.1數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）

MK包含四個(gè)維度，分別是數(shù)學(xué)觀念、學(xué)科內(nèi)容知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)史知識(shí)。

從數(shù)學(xué)觀念維度看，數(shù)學(xué)教師首先需要對(duì)函數(shù)單元教學(xué)有基本的認(rèn)知。初中數(shù)學(xué)函數(shù)包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，函數(shù)在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2011版課標(biāo)”）屬于數(shù)與代數(shù)部分，對(duì)函數(shù)表征、函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)應(yīng)用提出了具體的要求。以課程標(biāo)準(zhǔn)為準(zhǔn)則，從單元教學(xué)角度出發(fā)分析初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)體系，教師首先需要對(duì)函數(shù)的本質(zhì)進(jìn)行深刻理解，以函數(shù)本質(zhì)屬性為線索，滲透函數(shù)思想解決問題，對(duì)函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)有整體認(rèn)知的基礎(chǔ)上，對(duì)具體函數(shù)進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，從一般函數(shù)到具體函數(shù)的應(yīng)用，易于學(xué)生理解掌握函數(shù)知識(shí)，從而獲得創(chuàng)造性數(shù)學(xué)成果。

從數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識(shí)維度看，函數(shù)是學(xué)生在小學(xué)階段從未接觸過(guò)的數(shù)學(xué)概念，因此教師在函數(shù)單元教學(xué)時(shí)一定要注重函數(shù)概念起始對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)。在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。初中數(shù)學(xué)對(duì)于函數(shù)概念的定義是一種變量與變量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。而教師在講解一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)時(shí)，往往會(huì)忽略函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是讓學(xué)生陷入一種函數(shù)是y與x之間的解析式的錯(cuò)誤認(rèn)知。數(shù)學(xué)教師在單元教學(xué)中從一般函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，過(guò)渡到具體函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從概念界定，到函數(shù)性質(zhì)分析與實(shí)際應(yīng)用，能夠時(shí)刻體現(xiàn)函數(shù)的本質(zhì)屬性，不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生從函數(shù)的角度思考問題，對(duì)于高中進(jìn)一步將函數(shù)學(xué)習(xí)函數(shù)高層次的抽象定義打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

從數(shù)學(xué)思想方法維度看，教師對(duì)函數(shù)概念要進(jìn)行有意義的建構(gòu)，掌握數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)化的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)解決實(shí)際問題的能力。函數(shù)本質(zhì)上回答了運(yùn)動(dòng)與變化之間的關(guān)系，因此在單元教學(xué)中，教師可以選擇將創(chuàng)設(shè)情境與提出數(shù)學(xué)問題相結(jié)合，以“問題串”為教學(xué)核心，引導(dǎo)學(xué)生在情境中提升學(xué)生函數(shù)思維。例如在函數(shù)單元教學(xué)的綜合實(shí)踐活動(dòng)中，教師可以讓學(xué)生通過(guò)本單元的學(xué)習(xí)，選擇生活中的常見情境，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，描述生活中的函數(shù)現(xiàn)象，通過(guò)函數(shù)課題活動(dòng)，感受函數(shù)在解決運(yùn)動(dòng)變化問題中的重要作用。

從數(shù)學(xué)史知識(shí)維度看，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知過(guò)程與該概念的歷史發(fā)展過(guò)程有很大的相似程度。函數(shù)概念的歷史發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，函數(shù)最初是以表格、曲線形態(tài)呈現(xiàn)的，萊布尼茲于1714年正式命名“函數(shù)”，函數(shù)逐漸由幾何形態(tài)走向代數(shù)形態(tài)，從函數(shù)是解析式開始，到函數(shù)“對(duì)應(yīng)說(shuō)”、“關(guān)系說(shuō)”，函數(shù)概念逐漸抽象化，最終形成書本上的函數(shù)概念。教師在進(jìn)行函數(shù)單元教學(xué)時(shí)可以對(duì)函數(shù)概念發(fā)展史進(jìn)行總結(jié)拓展，引領(lǐng)學(xué)生跟隨數(shù)學(xué)家的腳步，思考數(shù)學(xué)家是如何一步一步發(fā)現(xiàn)、發(fā)展并應(yīng)用函數(shù)的。從數(shù)學(xué)史中，教師能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)是人類為了社會(huì)發(fā)展在不斷探索的過(guò)程中形成。而函數(shù)是17世紀(jì)的科學(xué)家為了解決天體運(yùn)動(dòng)如何測(cè)量問題引出的一個(gè)基本概念，本質(zhì)上可以解釋現(xiàn)實(shí)生活中運(yùn)動(dòng)與變化的現(xiàn)象。教師對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)的掌握更加有助于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實(shí)世界，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4.2一般教學(xué)法知識(shí)（PK）

PK包含四個(gè)維度，分別是教育觀念、教育理論知識(shí)、課程知識(shí)以及教學(xué)知識(shí)。

從教育觀念維度看，教師應(yīng)有單元教學(xué)意識(shí)。新課程改革要求培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)生要會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述現(xiàn)實(shí)世界，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐精神與創(chuàng)新意識(shí)?；诤诵乃仞B(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)是用系統(tǒng)論的觀點(diǎn)對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行有邏輯的重組、整合成相對(duì)完整的教學(xué)單元，以函數(shù)為例，教師對(duì)函數(shù)單元教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)思路為“總分總”結(jié)構(gòu)強(qiáng)化核心素養(yǎng)培養(yǎng)。

從教育理論知識(shí)維度看，教師要掌握單元教學(xué)的理論層面的知識(shí)，并將理論研究應(yīng)用于課堂實(shí)踐，要求教師深入挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容，在課堂上體現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值，提出對(duì)學(xué)生思維有啟發(fā)性的問題，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

從課程知識(shí)維度看，2011版課標(biāo)是教師對(duì)函數(shù)單元教學(xué)課程內(nèi)容理解的基礎(chǔ)。2011版課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出在義務(wù)教育階段，函數(shù)需要掌握的四大主題內(nèi)容，包括一般函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，具體要求可以歸納為函數(shù)表征、函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)應(yīng)用三大階段。教師對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的理解越深，對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容的把握越精準(zhǔn)，因此教師要認(rèn)真閱讀、深入理解課程標(biāo)準(zhǔn)中的函數(shù)課程知識(shí)，從課程知識(shí)結(jié)構(gòu)上整體把握函數(shù)單元教學(xué)邏輯。

從教學(xué)知識(shí)維度看，在正式開課之前，教師設(shè)立明確的函數(shù)單元教學(xué)目標(biāo)，函數(shù)概念起始課時(shí)，教師給出數(shù)學(xué)化情境，學(xué)生基于函數(shù)多種表征方式理解函數(shù)概念，打破函數(shù)與函數(shù)解析式混淆的思維模式。教師通過(guò)提出數(shù)學(xué)問題，學(xué)生依據(jù)數(shù)學(xué)情境，進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、歸納等多種方式的合情推理，教師逐漸增加問題的層次深度，將一般函數(shù)與具體函數(shù)進(jìn)行邏輯思維聯(lián)結(jié)，最后引導(dǎo)學(xué)生形成函數(shù)整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的思維導(dǎo)圖，這對(duì)于函數(shù)知識(shí)構(gòu)建起到畫龍點(diǎn)睛之筆。

4.3數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識(shí)（CK）

CK包含三個(gè)維度，分別為學(xué)生發(fā)展的知識(shí)、學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知因素與非認(rèn)知因素知識(shí)以及學(xué)習(xí)環(huán)境的知識(shí)。

從學(xué)生發(fā)展的知識(shí)維度看，初中階段的學(xué)生的思維發(fā)展處于從具體形象到抽象的過(guò)渡時(shí)期，教師依據(jù)學(xué)生發(fā)展的一般規(guī)律，設(shè)計(jì)函數(shù)單元教學(xué)活動(dòng)。從學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知因素與非認(rèn)知因素知識(shí)維度看，函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)接觸到的全新概念，函數(shù)具有高度抽象性特點(diǎn)，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解有一定的困難。教師課堂教學(xué)過(guò)程中，結(jié)合學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)與函數(shù)知識(shí)相聯(lián)結(jié)，建構(gòu)函數(shù)知識(shí)。從教育心理學(xué)中情感、意志、動(dòng)機(jī)、興趣、性格等非認(rèn)知因素來(lái)看，學(xué)生學(xué)習(xí)的非認(rèn)知因素主要受教師在課堂教學(xué)中的教師教學(xué)組織策略、教學(xué)方法、教育機(jī)制的影響。單元教學(xué)模式從知識(shí)結(jié)構(gòu)上由淺入深，由簡(jiǎn)到難，由具體到抽象，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自我效能感。

從學(xué)習(xí)環(huán)境的知識(shí)維度看，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的環(huán)境不僅體現(xiàn)在班級(jí)全體學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體態(tài)度上，關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)教師給學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)環(huán)境。數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，生活中處處存在數(shù)學(xué)教育現(xiàn)象，教師引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)環(huán)境中的數(shù)學(xué)之美。函數(shù)是描述生活中運(yùn)動(dòng)與變化的關(guān)系模型，游樂場(chǎng)中絢爛宏偉的摩天輪也存在著某種函數(shù)關(guān)系，將摩天輪抽象成一個(gè)圓，圓上一點(diǎn)離地面的高度與旋轉(zhuǎn)實(shí)踐之間具有函數(shù)關(guān)系。

4.4教育技術(shù)知識(shí)（TK）

TK包含兩個(gè)維度，分別是有關(guān)傳統(tǒng)教學(xué)媒體的知識(shí)以及有關(guān)現(xiàn)代教育技術(shù)的知識(shí)。

傳統(tǒng)教學(xué)媒體主要是在教師口頭語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，一些輔助教學(xué)的教科書、黑板、模型、實(shí)物等簡(jiǎn)單的媒體材料。隨著現(xiàn)在科技的高速發(fā)展，現(xiàn)代教育技術(shù)是教師必備技能之一。2011版課標(biāo)提出，數(shù)學(xué)課程的實(shí)施要合理運(yùn)用現(xiàn)代信息，注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合。技術(shù)與課堂教學(xué)的整合是提高教學(xué)與學(xué)習(xí)效率必經(jīng)之路。函數(shù)單元教學(xué)的活動(dòng)設(shè)計(jì)結(jié)合現(xiàn)代教育技術(shù)，除了運(yùn)用ppt多媒體展示，教師學(xué)習(xí)使用幾何畫板、GeoGebra等動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)演示軟件，在課堂上展示變量與變量之間的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，直觀形象地展示出函數(shù)的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)軟件準(zhǔn)確描繪出函數(shù)圖象形成過(guò)程，易于學(xué)生理解一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

5.結(jié)語(yǔ)

教師MPCK是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的具體要求，結(jié)合不同的課程內(nèi)容，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中有不同的課堂組織、呈現(xiàn)、調(diào)整等教學(xué)行為;單元教學(xué)能夠體現(xiàn)教師對(duì)教學(xué)內(nèi)整體邏輯思維上的把握，集課程、教學(xué)、評(píng)價(jià)為一體的單元教學(xué)設(shè)計(jì)，更加考察教師的學(xué)科教學(xué)能力。函數(shù)知識(shí)抽象化的特點(diǎn)使得學(xué)生難以理解函數(shù)本質(zhì)，對(duì)函數(shù)概念的理解浮于表面，認(rèn)為函數(shù)就是y值，將初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)進(jìn)行單元整合教學(xué)，促進(jìn)了教師MPCK的發(fā)展。同時(shí)，教師運(yùn)用MPCK做出最有效的教學(xué)決策，設(shè)計(jì)最佳的函數(shù)單元教學(xué)活動(dòng)思路，在課堂教學(xué)實(shí)踐中，彌補(bǔ)自身學(xué)科專業(yè)發(fā)展方面的不足，不斷豐富自己的學(xué)科教學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)水平。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：潘家叆（1995年3月-），女，漢族，遼寧省渤海大學(xué)，研究生，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)。