王 偉，但斌斌，容芷君，陳 剛，牛清勇，楊春雷

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學(xué)機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢，430081；3.寶鋼股份中央研究院武漢分院(武鋼有限技術(shù)中心)，湖北 武漢，430080；4.中石化江鉆石油機械有限公司，湖北 武漢，430223)

鉆柱是鉆井設(shè)備的核心部件，其受地面設(shè)備驅(qū)動，在充滿液體或氣體的狹長井眼中轉(zhuǎn)動，帶動鉆頭破碎井底巖石并形成井筒。鉆柱在井眼中的運動狀態(tài)是鉆柱、鉆井液與井壁或井底相互作用的結(jié)果。在鉆井過程中，每段鉆柱都有各自的固有振動頻率，當(dāng)鉆柱受迫振動頻率與鉆柱固有振動頻率重合時就會發(fā)生共振[1]。鉆柱失效除了因為鉆具本身的質(zhì)量問題之外，還有一個重要原因是鉆柱振動導(dǎo)致的鉆具疲勞失效[2]，而鉆柱的橫向振動是導(dǎo)致鉆柱磨損和疲勞破壞的主要因素。鉆柱的橫向振動一直是相關(guān)領(lǐng)域的研究熱點。Heisig等[3]考慮了鉆柱與井壁的碰撞影響，推導(dǎo)出鉆柱的橫向振動模型，研究了鉆柱與井壁接觸的振動規(guī)律，并計算了鉆柱橫向振動固有頻率。韓春杰等[4]在考慮軸向動態(tài)載荷和靜態(tài)載荷的情況下分析了受激狀態(tài)下鉆柱的橫向振動規(guī)律。韓春杰等[5]還利用有限元軟件研究了水平井鉆柱橫向振動，得出鉆柱橫向振動的頻率分布規(guī)律。王寶金等[6]考慮到鉆井液和鉆柱的耦合作用，建立了水平鉆柱橫向振動數(shù)學(xué)模型。鄧昌松等[7]利用單根鉆桿模型分析了其在不同工況下的振動特性，得到橫向振動的振型和應(yīng)力-應(yīng)變圖。Ritto等[8-9]基于非線性Timoshenko梁理論建立了鉆柱動力學(xué)非線性有限元方程。陳樂平[10]利用同倫分析法求解鉆柱橫向非線性振動方程，得到了非線性振動的頻率和主振動的一階近似解。李國慶等[11]考慮鉆柱的縱向振動、橫向振動、扭轉(zhuǎn)振動之間的耦合關(guān)系，研究了鉆柱振動的固有頻率及振型。

目前基于有限元分析的鉆柱動力學(xué)模型大致分為兩種，即整體鉆柱模型和底部鉆具模型，模型的選取對鉆柱振動分析十分重要。鉆柱振動往往與鉆柱的整體長度和結(jié)構(gòu)形狀密切相關(guān)，而上述研究大多沒有從鉆柱整體角度全面考慮軸向力對鉆柱橫向振動的影響。軸向力對鉆柱橫向振動的影響實質(zhì)上是應(yīng)力剛化效應(yīng)的作用，因此本文根據(jù)幾何非線性問題中的有限變形理論建立基于應(yīng)力剛化效應(yīng)的鉆柱動力學(xué)方程，通過有限元仿真對比分析整體鉆柱和底部鉆具的橫向振動差異，并選擇合適的研究對象分析軸向力的應(yīng)力剛化效應(yīng)對鉆柱模態(tài)、諧響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)的影響。

1 鉆柱動力學(xué)模型的建立

1.1 不考慮應(yīng)力剛化效應(yīng)的鉆柱動力學(xué)方程

建立鉆柱動力學(xué)模型時根據(jù)實際情況作如下假設(shè)：由于井筒中柔性鉆柱很長，假定鉆柱處于線彈性變形狀態(tài)；不考慮鉆柱的縱向振動和扭轉(zhuǎn)振動；忽略軸向移動、溫度變化、鉆井液浮力的影響；忽略鉆柱和井壁碰撞產(chǎn)生的多支點，鉆柱未發(fā)生螺旋扭曲；鉆柱軸線與井筒軸線重合；鉆柱上端固定，鉆柱下端滾動鉸支。鉆柱簡化模型如圖1所示。

圖1 鉆柱簡化模型Fig.1 Simplified drill string model

在有限元計算中，鉆柱通常采用梁或管單元進(jìn)行離散。三維管單元是空間上的一維線單元，每個單元包含2個節(jié)點，每個節(jié)點具有6個自由度，即有6個廣義位移和6個廣義力[12]。將鉆柱沿著z軸方向離散為若干管單元，任取一單元，以單元軸線為oz軸，ox、oy為截面主慣性軸，如圖2所示。

圖2 鉆柱單元受力與變形示意圖Fig.2 Schematic diagram of force and deformation of drill string element

單元節(jié)點位移矩陣為

xe=(x1x2)T

(1)

其中xi=(uiviwiθxiθyiθzi)Τ,i=1,2。

單元節(jié)點力矩陣為

Re=(R1R2)Τ

(2)

其中Ri=[NxiNyiNziMxiMyiMzi]Τ,i=1,2。

上式中:ui、vi、wi分別為節(jié)點i在局部坐標(biāo)系中三個方向的線位移；θxi、θyi、θzi分別為節(jié)點i處橫截面繞三個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動角位移；Nxi為節(jié)點i的軸向力；Nyi、Nzi分別為節(jié)點i在xy、xz坐標(biāo)面的剪力；Mxi為節(jié)點i處橫截面上的轉(zhuǎn)矩；Myi、Mzi分別為節(jié)點i在xz、xy坐標(biāo)面內(nèi)的彎矩。

考慮單元總能量和耗散函數(shù)，整理得到微元段在隨體坐標(biāo)系下的單元運動方程為

(3)

大地坐標(biāo)(x,y,z)和隨體坐標(biāo)(X,Y,Z)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(4)

式中：α為大地坐標(biāo)系繞x軸的旋轉(zhuǎn)角度；θ為大地坐標(biāo)系繞z軸的旋轉(zhuǎn)角度。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后，全井鉆柱系統(tǒng)動力學(xué)方程可表示為

(5)

1.2 考慮應(yīng)力剛化效應(yīng)的鉆柱動力學(xué)方程

在實際鉆進(jìn)作業(yè)中，鉆柱自重大，且其下部會受到巖層的軸向反作用力。直井鉆柱軸向力對鉆柱產(chǎn)生的應(yīng)力會直接影響鉆柱的橫向剛度，即產(chǎn)生應(yīng)力剛化效應(yīng)。應(yīng)力剛化效應(yīng)可以用考慮初應(yīng)力剛度的有限元方法來實現(xiàn)，因此本文將初應(yīng)力剛度矩陣添加到結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣中，形成考慮應(yīng)力剛化后的切線剛度矩陣：

(6)

考慮應(yīng)力剛化效應(yīng)的全井鉆柱系統(tǒng)運動學(xué)方程則可表示為

(7)

當(dāng)激勵矢量R(t)=0時，可對鉆柱進(jìn)行模態(tài)分析；當(dāng)激勵矢量R(t)為簡諧載荷時，可對鉆柱進(jìn)行諧響應(yīng)分析；當(dāng)激勵矢量R(t)為任意的隨時間變化的載荷結(jié)構(gòu)時，可對鉆柱進(jìn)行瞬態(tài)動力學(xué)分析。

2 鉆柱橫向振動仿真分析

2.1 有限元模型的建立

以一個全長1580 m的直井為例，所用鉆井工具主要由鉆桿和底部鉆具構(gòu)成。鉆桿段包括普通鉆桿和加重鉆桿，底部鉆具則包括鉆鋌、穩(wěn)定器、鉆頭及井下特殊工具。

為了方便研究整體鉆柱的橫向振動特性，將復(fù)雜的鉆具組合簡化成鉆桿部和鉆鋌部，形成變截面管模型。鉆柱參數(shù)具體如表1所示。

表1 鉆柱參數(shù)Table 1 Drill string parameters

在實際工況中，鉆柱是管狀結(jié)構(gòu)，承受拉伸、壓縮、彎曲和扭轉(zhuǎn)的共同作用，同時會受到管內(nèi)及管外流體的力學(xué)影響。在有限元分析中，Pipe59單元為單軸三維彈性直管單元，其在每個節(jié)點上擁有6個自由度，即分別沿著坐標(biāo)軸x、y、z方向上的平移自由度和分別繞著這3個軸的旋轉(zhuǎn)自由度，適用于考慮應(yīng)力剛化和大變形的建模場景，因此本文采用Pipe59單元模擬鉆柱系統(tǒng)在軸向力的應(yīng)力剛化作用下的橫向振動情況。

考慮到1500 m長的鉆桿和80 m長的鉆鋌都是等截面管，形狀簡單，因此采用直接建模的方法建立鉆柱有限元模型，即先生成節(jié)點，再通過節(jié)點生成單元，最后進(jìn)行網(wǎng)格劃分，得到鉆柱有限元模型如圖3所示。

圖3 鉆柱有限元模型

整體鉆柱模型的總長為1580 m(1500 m鉆桿+80 m鉆鋌)。建立底部鉆具模型時，鉆桿長度由1500 m縮短為150 m，鉆鋌長度仍為80 m，故底部鉆具模型總長為230 m。分別對整體鉆柱和底部鉆具進(jìn)行仿真分析。

2.2 整體鉆柱和底部鉆具的橫向振動模態(tài)差異

將鉆柱水平放置，在不考慮應(yīng)力剛化效應(yīng)的情況下分析整體鉆柱和底部鉆具橫向振動模態(tài)的差異。邊界條件為：鉆柱頂端設(shè)置為固定端，鉆柱下端設(shè)置滾動鉸支，限制軸向移動和扭轉(zhuǎn)，只考慮鉆柱的橫向振動。利用Block Lanczos法提取前10階橫向振動固有頻率和前6階振型，由于x-z方向和x-y方向振動相同，因此只提取x-z方向上的頻率和振型。整體鉆柱和底部鉆具的前10階橫向振動固有頻率如圖4所示，整體鉆柱和底部鉆具的前6階振型如圖5所示。

圖4 整體鉆柱與底部鉆具的橫向振動固有頻率Fig.4 Inherent frequencies of transverse vibration of the whole drill string and the bottom drill

(a)底部鉆具

從圖4可以看出，整體鉆柱和底部鉆具的橫向振動固有頻率相差很大，前者普遍較低。整體鉆柱和底部鉆具的低階固有頻率較為接近，階數(shù)越高，整體鉆柱固有頻率低于底部鉆具固有頻率的幅度越大，這表明整體鉆柱大部分發(fā)生的是低頻橫向振動，而且相鄰階的頻率差距非常小，因此共振區(qū)較寬，鉆柱整體橫向振動很難避免。

從圖5可以看出，整體鉆柱與底部鉆具的振型基本相同，但在鉆鋌部有較大差異，整體鉆柱鉆鋌部位的位移明顯小于底部鉆具鉆鋌部位的位移，表明不考慮自重和鉆壓產(chǎn)生的軸向力時，鉆桿長度會影響鉆鋌的橫向振動。這主要是因為鉆桿越長，鉆桿與鉆鋌的剛度差距越大，鉆鋌振動越不明顯。

模態(tài)階數(shù)越低，模態(tài)有效質(zhì)量越大，在鉆進(jìn)時越容易被激勵而引起振動，因此需要格外關(guān)注鉆柱的低階振動。建立鉆柱局部力學(xué)模型時通常只截取底部鉆具作為研究對象。與整體鉆柱相比，底部鉆具的剛度大得多，造成鉆柱的橫向固有頻率過大，其低階振動容易被忽視，導(dǎo)致整體鉆柱的低階固有頻率和固有振型丟失。由此可見，分析鉆柱的橫向振動時，整體鉆柱模型可以更準(zhǔn)確地反映鉆柱的低階固有頻率和振型，更符合鉆柱的實際振動狀態(tài)。

2.3 軸向力對整體鉆柱橫向振動模態(tài)的影響

鑒于整體鉆柱模型的優(yōu)勢，以下分析都是以整體鉆柱作為研究對象。整體鉆柱受到的軸向力主要包括整體自重產(chǎn)生的拉力以及鉆壓引起的軸向壓力，在有限元計算中只要給出鉆柱軸向的重力加速度就可以確定自重產(chǎn)生的拉力。用考慮初應(yīng)力剛度的有限元法對整體鉆柱進(jìn)行軸向力影響下的模態(tài)分析，由于研究的是不發(fā)生彎曲的豎直鉆柱，為保證鉆柱豎直鉆進(jìn)的穩(wěn)定性，設(shè)置的鉆壓應(yīng)小于鉆鋌重力。經(jīng)計算，鉆鋌重力為125.552 kN，鉆壓范圍為0～125.552 kN，鉆壓分別取值0、50、100 kN，分析重力和鉆壓對鉆柱橫向振動固有頻率的影響，結(jié)果如圖6所示。為考慮軸向力對鉆柱振型的影響，提取重力和50 kN鉆壓作用下的振型，如圖7所示。

從圖6可以看出：軸向力對整體鉆柱橫向振動固有頻率的影響很大；自重會顯著提高鉆柱的橫向振動頻率；隨著鉆壓的提高，鉆柱的橫向振動固有頻率不斷下降，但還是遠(yuǎn)高于無軸向力時的頻率值，這是因為鉆壓與自重相比過小，鉆柱總體還是受拉應(yīng)力，在應(yīng)力剛化的作用下，鉆柱橫向振動固有頻率大幅提高。

圖6 不同軸向力下整體鉆柱的橫向振動固有頻率Fig.6 Inherent frequencies of transverse vibration of the whole drill string subjected to different axial forces

一般認(rèn)為，鉆柱中性點附近的橫向振動最為劇烈[13]，因此將中性點作為評價鉆柱橫向振動的參考點。根據(jù)鉆壓和鉆鋌的單位質(zhì)量可以計算出中性點的位置離井底26.8 m，即圖7中A點(橫坐標(biāo)為1553.2 m)所示。從圖7可以看出，靠近中性點附近的鉆柱振幅最大，同時鉆桿與鉆鋌連接處振型有偏折現(xiàn)象，因此需要加重鉆桿進(jìn)行過渡，避免過大的交變應(yīng)力；另外，鉆桿部分從靠近中性點處到井口處的振幅不斷降低，對比圖5(b)可知，軸向力不僅會影響鉆柱的橫向振動振型，也是鉆柱橫向振動從井底到井口逐漸減弱的原因之一。

圖7 重力和50 kN鉆壓下的整體鉆柱橫向振動振型Fig.7 Transverse vibration modes of the whole drill string subjected to gravity and 50 kN drill pressure

2.4 鉆柱的預(yù)應(yīng)力諧響應(yīng)分析

鉆柱在工作過程中會受到穩(wěn)定器的作用，從圖7中找到前幾階振型中最大振幅出現(xiàn)的位置(如圖7中B點所示)安裝穩(wěn)定器，選取該位置為諧響應(yīng)激振力作用點?？紤]不同預(yù)應(yīng)力的作用，設(shè)置自重及鉆壓(0、50、100 kN)，采用模態(tài)疊加法進(jìn)行預(yù)應(yīng)力諧響應(yīng)分析?？紤]鉆柱轉(zhuǎn)速處于低檔區(qū)(0～90 r/min)，所以諧響應(yīng)頻率范圍定為0～1.5 Hz。給鉆柱施加10 kN徑向激勵載荷，以中性點為整體鉆柱的重要考察點，研究鉆柱在激勵載荷作用下的振動響應(yīng)，結(jié)果如圖8所示。

為了研究預(yù)應(yīng)力下的鉆柱諧響應(yīng)特點，下面重點分析在自重和50 kN鉆壓作用下的仿真結(jié)果。從圖8(b)可以看出，鉆柱橫向振動的共振區(qū)很寬，中性點的橫向位移響應(yīng)曲線波動劇烈，在0～1.5 Hz范圍內(nèi)發(fā)生了多次位移突變，尤其在0.15、0.65、1.15 Hz時的位移變化更加劇烈，響應(yīng)幅值很大，最大振幅為5.3 mm。上述3個頻率值對應(yīng)的轉(zhuǎn)速分別為9、39、69 r/min，均處于鉆機正常工作轉(zhuǎn)速范圍之內(nèi)。當(dāng)激勵頻率為0.4～0.6 Hz(對應(yīng)的轉(zhuǎn)速為24～36 r/min)時，位移響應(yīng)幅值明顯小于其余頻段響應(yīng)幅值，即存在共振微弱區(qū)。共振時鉆柱位移過大，鉆柱會與井壁碰撞，造成井壁損壞，并且鉆柱的交變應(yīng)力增大，容易疲勞失效，因此鉆柱工作時應(yīng)避開危險共振區(qū)，當(dāng)無法避免時要盡量選取共振微弱區(qū)。

(a)鉆壓為0

另外，由圖8可知：鉆壓為0時，共振微弱區(qū)頻率范圍為0.45～0.7 Hz；鉆壓為50 kN時，共振微弱區(qū)頻率范圍為0.4～0.6 Hz；鉆壓為100 kN時，共振微弱區(qū)頻率范圍為0.3～0.5 Hz。也就是說，不同的鉆壓分別對應(yīng)一個共振微弱區(qū)，而且鉆壓越大，共振微弱區(qū)越前移，因此，當(dāng)鉆壓較大時，應(yīng)選擇較低的鉆柱轉(zhuǎn)速以避開危險共振區(qū)。

2.5 鉆柱的預(yù)應(yīng)力瞬態(tài)分析

鉆柱工作時易與井壁發(fā)生碰撞，為了研究應(yīng)力剛化對鉆柱與井壁撞擊時的鉆柱瞬態(tài)響應(yīng)的影響，將自重和50 kN鉆壓共同產(chǎn)生的軸向力作為預(yù)應(yīng)力設(shè)置，分別進(jìn)行有、無預(yù)應(yīng)力下模態(tài)疊加的瞬態(tài)動力學(xué)分析。由圖7可以看出，鉆柱與井壁最可能發(fā)生碰撞的位置距井口1400 m左右，因此在此處設(shè)置碰撞載荷10 kN、碰撞時間為0.01 s，然后分析中性點處10 s內(nèi)的動態(tài)響應(yīng)。無預(yù)應(yīng)力和有預(yù)應(yīng)力時中性點處y方向的位移響應(yīng)曲線和加速度響應(yīng)曲線分別如圖9和圖10所示。

(a)無預(yù)應(yīng)力

從圖9可以看出：鉆柱在井下1400 m處與井壁發(fā)生碰撞時，下部的中性點發(fā)生伴隨振動；有預(yù)應(yīng)力時，鉆柱中性點最大振幅為55.2 mm；無預(yù)應(yīng)力時，鉆柱中性點最大振幅為142 mm。這是因為軸向力會顯著提高鉆柱的剛度，即產(chǎn)生應(yīng)力剛化效應(yīng)，鉆柱抵抗變形的能力更強，不易發(fā)生較大的橫向變形，從而降低了中性點與井壁發(fā)生碰撞的可能性。

(a)無預(yù)應(yīng)力

由圖10可以看出：無預(yù)應(yīng)力時，鉆柱與井壁碰撞后中性點的加速度較小，其變化范圍為-0.9～0.823 m/s2；在鉆壓和鉆柱自重產(chǎn)生的應(yīng)力剛化作用下，中性點的橫向加速度相對較大，在-1.4～2.132 m/s2之間波動，且加速度波動頻率明顯提高。這表明在預(yù)應(yīng)力作用下，鉆柱與井壁碰撞后中性點處的沖擊載荷更大、振動更加劇烈且橫向振動能量更大。

3 結(jié)論

(1)與底部鉆具相比，整體鉆柱的橫向振動共振區(qū)較寬，同時頻率大都很低，可以更準(zhǔn)確地反映出鉆柱的低頻振動情況，故研究鉆柱的橫向振動時以整體鉆柱作為研究對象更為適合。

(2)鉆柱自重產(chǎn)生的軸向力會顯著提高鉆柱的橫向振動固有頻率，鉆壓會降低該頻率，增大鉆壓會使鉆柱的橫向振動不斷減弱。軸向力會改變鉆柱的橫向振動固有振型，同時導(dǎo)致鉆桿部從中性點附近到井口的振幅不斷降低，振動越來越弱。

(3)基于預(yù)應(yīng)力的諧響應(yīng)分析表明，鉆壓為50 kN、鉆柱處于0～90 r/min的轉(zhuǎn)速區(qū)段時，存在頻率為0.4～0.6 Hz(對應(yīng)轉(zhuǎn)速為24～36 r/min)的共振微弱區(qū)，此時鉆柱的振幅較?。汇@壓越大，共振微弱區(qū)對應(yīng)的激勵頻率越低，因此當(dāng)鉆壓較大時，應(yīng)選擇較低的轉(zhuǎn)速避開共振危險區(qū)。

(4)基于預(yù)應(yīng)力的瞬態(tài)動力學(xué)分析表明，在軸向力產(chǎn)生的應(yīng)力剛化作用下，鉆柱與井壁發(fā)生碰撞后產(chǎn)生的應(yīng)力波使鉆柱中性點處的振動能量增大但振幅降低，與不考慮預(yù)應(yīng)力時相比，鉆柱與井壁發(fā)生碰撞的可能性降低了。