楔橫軋內(nèi)直角小臺(tái)階精確軋齊曲線(xiàn)

張凱利，王寶雨，沈謹(jǐn)霞

北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京 100083

在楔橫軋成形工藝中，楔橫軋模具一般由楔入段、展寬段、精整段三部分組成[1?3].當(dāng)成形內(nèi)臺(tái)階時(shí)，為避免產(chǎn)生螺旋臺(tái)階，在展寬段和精整段間新設(shè)計(jì)一個(gè)過(guò)度段— —軋齊段，即內(nèi)臺(tái)階成形階段[4?6].用與內(nèi)臺(tái)階相同的曲面去截成形面，所得曲面稱(chēng)為軋齊曲面，它與軋輥基面的交線(xiàn)稱(chēng)為軋齊曲線(xiàn)[7].內(nèi)直角小臺(tái)階也是內(nèi)直角臺(tái)階的一種，但是其與一般直角臺(tái)階在軋齊過(guò)程中的接觸面不同，螺旋體體積的變化過(guò)程也不同.應(yīng)用一般內(nèi)直角臺(tái)階軋齊曲線(xiàn)公式指導(dǎo)小臺(tái)階軸的生產(chǎn)，會(huì)出現(xiàn)臺(tái)階無(wú)法軋齊，需反復(fù)修模的問(wèn)題.

在內(nèi)直角臺(tái)階軋齊問(wèn)題上，已經(jīng)提出了許多簡(jiǎn)化算法和公式[8?15].張康生和胡正寰[5]通過(guò)分析軋件轉(zhuǎn)角與滾動(dòng)半徑[16]的關(guān)系推導(dǎo)出了直角臺(tái)階軋齊曲線(xiàn)，是目前一般內(nèi)直角臺(tái)階軋齊的主流應(yīng)用方法.杜慧萍等[6?7]利用解析法得到的軋齊曲線(xiàn)公式是隱函數(shù)，需計(jì)算多個(gè)點(diǎn)后再擬合曲線(xiàn)，不方便應(yīng)用.胡發(fā)國(guó)等[8]不考慮二輥楔橫軋內(nèi)直角臺(tái)階軋齊過(guò)程中軋輥與軋件接觸面方程，得到形式簡(jiǎn)單的軋齊曲線(xiàn)計(jì)算公式，但是將螺旋體過(guò)于簡(jiǎn)化，計(jì)算結(jié)果不精確.目前這些算法求得的公式不適合內(nèi)直角小臺(tái)階的實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用.為此，本文提出了一種針對(duì)內(nèi)直角小臺(tái)階精確軋齊計(jì)算的新方法，而且所得軋齊曲線(xiàn)的表達(dá)式相對(duì)簡(jiǎn)單，方便實(shí)際應(yīng)用.

1 內(nèi)直角小臺(tái)階判斷條件

楔橫軋軸類(lèi)零件，當(dāng)斷面收縮率較大時(shí)，軋輥與軋件接觸面形狀如圖1（a）所示.當(dāng)軋件軋制前后半徑r0與r1相差不大，或展寬角與成形角較大時(shí)，軋輥與軋件接觸面形狀如圖1（b）所示.

圖1 不同情況下軋輥與軋件接觸面形狀.（a）大斷面收縮率工況；（b）小斷面收縮率工況Fig.1 Shape of the contact surface between the roll and rolled part under different conditions: (a) large area reduction; (b) small area reduction

軋輥和軋件接觸面不同，導(dǎo)致軋件表面的螺旋體形狀存在差異，因此在計(jì)算螺旋體體積時(shí)的計(jì)算公式要有針對(duì)性.目前軋齊曲線(xiàn)的計(jì)算方法多是針對(duì)圖1（a）形狀的一般直角臺(tái)階軋齊過(guò)程提出來(lái)的，對(duì)圖1（b）形狀的螺旋體體積的計(jì)算還需要進(jìn)一步研究.在求解之前需要對(duì)一般臺(tái)階和小臺(tái)階的軋制條件進(jìn)行初步劃分.在軸類(lèi)零件軋制過(guò)程中，軋輥楔頂部會(huì)在軋件軸向方向形成半徑為R的圓弧，以圓弧端點(diǎn)與軋件圓心的距離r為半徑做輔助圓，如圖2所示.

圖2 半徑 r 輔助圓示意圖Fig.2 Auxiliary circle diagram of radius r

由于軋輥的成形角 α，展寬角 β和軋制時(shí)壓下量不同，軋件在與模具頂圓交點(diǎn)處半徑r與軋件初始半徑r0的關(guān)系也不同，以此為區(qū)分條件將一般內(nèi)直角臺(tái)階和內(nèi)直角小臺(tái)階進(jìn)行粗略劃分.軋件轉(zhuǎn)一圈的展寬量L= π ·rk·tanβ，模具楔高 ?h=L·tanα；軋件在與模具頂圓交點(diǎn)處半徑r=r1+?h.由于r0，r1相差不大，旋轉(zhuǎn)半徑.所以：

當(dāng)r≥r0時(shí)，螺旋體形狀如圖1（b），可視為內(nèi)直角小臺(tái)階軋齊情況；當(dāng)r

2 內(nèi)直角小臺(tái)階軋齊過(guò)程

由于大端半徑隨軋件旋轉(zhuǎn)角度變化，導(dǎo)致螺旋體各部分體積變化過(guò)程存在差異，需要對(duì)軋齊過(guò)程分階段分析.根據(jù)楔橫軋內(nèi)直角小臺(tái)階成形過(guò)程中螺旋體的變化情況，整個(gè)軋齊過(guò)程從進(jìn)入軋齊到軋齊結(jié)束可分為如下三個(gè)階段.

第一階段：如圖3（a），螺旋體有一部分已經(jīng)進(jìn)入軋齊，隨著軋件旋轉(zhuǎn)外圓不斷進(jìn)入軋齊.當(dāng)大端半徑變?yōu)閞1時(shí) (A點(diǎn)的半徑變?yōu)閞1)，則進(jìn)入第一階段與第二階段的臨界狀態(tài)，如圖3（b），此時(shí)外圓周還未完全進(jìn)入軋齊（B點(diǎn)還未進(jìn)入軋齊）.

圖3 內(nèi)直角小臺(tái)階軋齊過(guò)程示意圖.（a）第一階段；（b）第一階段和第二階段的臨界狀態(tài)；（c）第二階段；（d）第二階段和第三階段的臨界狀態(tài)；（e）第三階段Fig.3 Diagrams of rectangular small steps in the rolling process: (a) the first stage; (b) the critical state of the first and second stages; (c) the second stage; (d) the critical state of the second and third stages; (e) the third stage

第二階段：如圖3（c），螺旋體的外圓不斷進(jìn)入軋齊(C點(diǎn)不斷向B點(diǎn)靠近)，內(nèi)圓周的半徑不斷軋至r1.當(dāng)螺旋體的外圓周全部進(jìn)入軋齊時(shí)（C點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)），則進(jìn)入第二階段與第三階段的臨界狀態(tài)，如圖3（d）.

第三階段：如圖3（e），整個(gè)螺旋體全部進(jìn)入軋齊，內(nèi)圓周的半徑逐漸減小，當(dāng)螺旋體內(nèi)圓周半徑全部軋至r1時(shí)，軋齊結(jié)束.

3 螺旋體體積計(jì)算

3.1 螺旋體體積劃分

在楔橫軋生產(chǎn)工藝中，軋件是通過(guò)軋輥的擠壓成型，由于軋輥上成形角 α 和展寬角 β的存在，軋件受到軋輥的擠壓后螺旋體變形區(qū)幾何形狀是一個(gè)復(fù)雜的曲面.該復(fù)雜曲面難以用解析法準(zhǔn)確表達(dá)，所得出的表達(dá)式非常復(fù)雜，不利于實(shí)際應(yīng)用，所以對(duì)軋件的螺旋體進(jìn)行幾何近似，如圖4所示.

圖4 軋件螺旋體幾何近似簡(jiǎn)圖Fig.4 Simplified geometric approximation of a helix

軋件螺旋體可分為楔頂變形區(qū)V1、楔側(cè)變形區(qū)V2和楔側(cè)變形區(qū)V3三部分.楔頂變形區(qū)V1是將模具楔頂部與軋件接觸面上的曲線(xiàn)邊線(xiàn)簡(jiǎn)化成直線(xiàn)，模具咬入的頂點(diǎn)向先前的成形區(qū)邊界引垂線(xiàn)，構(gòu)成底面為平行四邊形的四棱錐.楔側(cè)變形區(qū)V2是將模具楔側(cè)與軋件接觸面上的曲線(xiàn)邊線(xiàn)簡(jiǎn)化成直線(xiàn)，曲面接觸面簡(jiǎn)化成平面，構(gòu)成三棱柱與四棱錐的結(jié)合體.楔側(cè)變形區(qū)V3簡(jiǎn)化成三棱臺(tái).

兩輥楔橫軋是軸對(duì)稱(chēng)軋制過(guò)程，所以以半周為對(duì)象對(duì)螺旋體體積進(jìn)行計(jì)算.根據(jù)文獻(xiàn)[8]的推導(dǎo)，螺旋體的大端半徑r(φ)隨 軋件轉(zhuǎn)角 φ的變化規(guī)律為：

當(dāng)大端半徑r(φ)等于目標(biāo)半徑r1時(shí)，外徑減徑結(jié)束，此時(shí)軋件旋轉(zhuǎn)角為φc.

3.2 軋齊第一階段體積計(jì)算

軋齊第一階段大端半徑逐漸減小，如圖5所示，M點(diǎn)不斷向A點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)M移動(dòng)到A點(diǎn)，即r(φ)=r1時(shí)第一階段結(jié)束.在第一階段軋件只有部分進(jìn)入軋齊，進(jìn)入軋齊部分的半徑在r1和r0之間.在軋齊第一階段中，楔頂變形區(qū)V1沒(méi)有進(jìn)入軋齊，故此階段楔頂變形區(qū)體積VI?1沒(méi)有變化.隨著大端半徑r(φ)的 改變，此階段楔側(cè)變形區(qū)VI?2、VI?3的體積不斷減小，在第一階段結(jié)束時(shí)，VI?2的體積變?yōu)?.

圖5 軋齊第一階段軸向示意圖Fig.5 Schematic of the first stage

第一階段楔頂變形區(qū)VI?1沒(méi)有進(jìn)入軋齊，故此值為定值，幾何近似如圖6，其體積計(jì)算公式為：

圖6 V I?1示意圖Fig.6 V I?1 schematic

式中，?h=r0?r1；P=?h/tanα ；l=r1?η.η為從軋件軸向上看，軋輥與軋件接觸曲線(xiàn)端點(diǎn)和軋件中心的連線(xiàn)與水平線(xiàn)所形成的夾角，如圖5所示.軋件初始半徑r0、軋輥半徑R和r1+R構(gòu)成三角形，根據(jù)三角形余弦定理可知.

第一階段楔側(cè)變形區(qū)VI?2在第一階段體積逐漸減小，其中P值視為以 φ/φc的速率減少，?h隨軋件旋轉(zhuǎn)角度增大而減小.在 ?h減小過(guò)程中，初始三棱柱體積形狀改變，以三棱柱體積公式對(duì)其進(jìn)行近似計(jì)算，如圖7.

圖7 V I?2示意圖Fig.7 V I?2 schematic

其中，φ的取值范圍為 0≤ φ ≤ φc，l=r1·η.

第一階段楔側(cè)變形區(qū)VI?3只有部分螺旋斜錐體進(jìn)入軋齊，幾何形狀如圖8所示，其橫截面分別為直角三角形和直角梯形，可以采用積分方法求解.

圖8 V I?3示意圖Fig.8 V I?3 schematic

式中，t為中間變量，用于螺旋錐體體積的積分運(yùn)算，φ的取值范圍為 0≤φ≤φc.

3.3 軋齊第二階段體積計(jì)算

軋齊第二階段開(kāi)始時(shí)軋齊內(nèi)圓周的大端半徑r(φ)到 達(dá)r1.隨著軋制的進(jìn)行，楔側(cè)變形區(qū)V3的體積不斷減小，第二階段在螺旋體外圓周全部進(jìn)入軋齊時(shí)結(jié)束.

在軋齊的第二階段V1的 體積不變，所以VII?1=VI?1.在軋齊的第二階段的體積VII?2為0，即VII?2=0.VII?3部分螺旋體內(nèi)圓半徑軋至r1，已經(jīng)完成軋齊，部分還尚未進(jìn)入軋齊，如圖9所示.

圖9 軋齊第二階段軸向示意圖Fig.9 Schematic of the second stage

第二階段楔側(cè)變形區(qū)VII?3的幾何形狀如圖10所示，其橫截面分別為直角三角形和直角梯形，前半部分為三棱錐，體積為定值，不隨軋件轉(zhuǎn)角 φ改變，采用積分方法求解.

圖10 V II?3示意圖Fig.10 V II?3Schematic

其中，φ的取值范圍為 φc≤φ≤π?η.

3.4 軋齊第三階段體積計(jì)算

第三階段開(kāi)始時(shí)，螺旋體全部進(jìn)入軋齊.隨著內(nèi)圓周半徑r(φ)的 變化，楔頂變形區(qū)VIII?1、楔側(cè)變形區(qū)VIII?3的體積不斷減小，如圖11所示.當(dāng)內(nèi)圓周半徑到都達(dá)r1時(shí)，VIII?1、VIII?3的體積變?yōu)?，軋齊結(jié)束.

圖11 軋齊第三階段軸向示意圖Fig.11 Schematic of the third stage

第三階段圖5中的B點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)入軋齊，?h隨φ變化，變?yōu)閞(φ)?r1，VIII?1如圖12所示.

圖12 V III?1示意圖Fig.12 V III?1 schematic

其中，φ的取值范圍為 π?η≤φ≤φc+π?η.

第三階段V3的體積是一個(gè)三棱錐，如圖13所示.

圖13 V III?3示意圖Fig.13 V III?3 schematic

其中，φ的取值范圍為 π?η≤φ≤φc+π?η.

4 軋齊曲線(xiàn)的求解

楔橫軋是一種塑性成形工藝，軋制過(guò)程滿(mǎn)足體積平衡原理：在軋齊過(guò)程中任意位置，未軋齊的軋件螺旋體體積恒等于軋件軸頸處還需伸長(zhǎng)的體積.其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中：V(φ)i為軋齊過(guò)程中螺旋斜錐體各部分體積之和；Vx為軸頸處需伸長(zhǎng)部分的體積.軸頸處需伸長(zhǎng)部分的體積：

式中，X為軸頸軸向延伸距離，即軋齊曲線(xiàn)X坐標(biāo).

軋齊曲線(xiàn)示意圖如圖14所示.X0為軋件待軋齊長(zhǎng)度，Y0為軋件待軋齊長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的模具長(zhǎng)度，Xt為軋齊第二階段與第三階段臨界狀態(tài)對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)橫坐標(biāo).

圖14 精確軋齊曲線(xiàn)示意圖Fig.14 Diagram of the precise shaping curve

在軋齊第一階段，根據(jù)模具的設(shè)計(jì)規(guī)則，軋齊曲線(xiàn)上任意點(diǎn)的坐標(biāo)值均滿(mǎn)足式（15）的幾何關(guān)系.

將第一階段的體積代入

其中，φ的取值范圍為 0≤φ≤φc.

在軋齊的第二階段，軋件需轉(zhuǎn)過(guò)的角度為φ=π ?η?φc，軋件還未滾過(guò)的的長(zhǎng)度記為l2，當(dāng)φ=φc時(shí)，l2有最小值l2.

其中，XI為 φ=φc時(shí)XI的值；

其中，φ的取值范圍為 φc≤φ≤π ?η.

在軋齊第三階段，由簡(jiǎn)單軋齊曲線(xiàn)所得的計(jì)算公式[1]近似精確軋齊曲線(xiàn)的縱向長(zhǎng)度，其計(jì)算起點(diǎn)為軋齊第二段結(jié)束點(diǎn)，可得：

其中，φ的取值范圍為 π ?η≤φ≤φc+π?η.

5 有限元模擬

5.1 對(duì)不同斷面收縮率的適應(yīng)性

利用MATLAB軟件根據(jù)本文推導(dǎo)的軋齊曲線(xiàn)公式編寫(xiě)計(jì)算程序，在定義的function函數(shù)中依次輸入 α、β、r0、r1、R五 個(gè)參數(shù)，運(yùn)行之后可以得出對(duì)應(yīng)的軋齊曲線(xiàn)，用得到的軋齊曲線(xiàn)修模.采用剛塑性有限元軟件Deform-3D分別對(duì)斷面收縮率ψ為27.75%、19%和9.75%的軋件進(jìn)行臺(tái)階軋齊仿真，主要工藝參數(shù)為α=34°，r0=100 mm，R=1000 mm.仿真結(jié)果對(duì)應(yīng)圖15各圖.

圖15 不同斷面收縮率仿真結(jié)果.（a）ψ =27.75%，β =6? ；（b）ψ =19%，β =4? ；（c）ψ =9.75%，β=2?Fig.15 Simulation results obtained using different sectional shrinkage rates: (a)ψ =27.75%, β=6? ; (b)ψ =19%，β=4? ; (c)ψ =9.75%, β=2?

為了進(jìn)一步說(shuō)明軋齊效果，對(duì)仿真情況進(jìn)行定量描述.在DEFORM-3D軟件中，將仿真結(jié)果的三維圖形以.stl的格式輸出，然后導(dǎo)入U(xiǎn)G軟件，進(jìn)行尺寸測(cè)量.對(duì)軋件進(jìn)行等量劃分，每30°取一個(gè)平面，共得到12組數(shù)據(jù)，測(cè)量切面臺(tái)階處的直徑d和臺(tái)階的角度 θ，如圖16所示.為方便表述，將直徑d轉(zhuǎn)換成半徑r繪制在圖中，得到臺(tái)階角度 θ和半徑r在軋件周向的尺寸變化圖，計(jì)算測(cè)量值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差S，如圖17所示.

圖16 軋件劃分切面示意圖Fig.16 Schematic of the workpiece section

圖17 臺(tái)階角度和半徑尺寸變化圖.（a）ψ =27.75%，β=6?；（b）ψ =19%，β=4?；（c）ψ =9.75%，β=2?Fig.17 Results obtained with changes in step angle and radius values: (a)ψ=27.75%，β =6?; （b） ψ =19%，β =4?; (c) ψ =9.75%，β=2?

5.2 展寬角的影響

展寬角是楔橫軋工藝的關(guān)鍵參數(shù)之一.為從本質(zhì)上說(shuō)明展寬角對(duì)直角臺(tái)階成形的影響，暫不考慮由成形面形成的螺旋斜錐體的螺旋體部分，這樣在軋齊過(guò)程中任意位置的內(nèi)臺(tái)階將都是回轉(zhuǎn)體.根據(jù)這種簡(jiǎn)化了的臺(tái)階模型導(dǎo)出的軋齊曲線(xiàn)稱(chēng)為簡(jiǎn)單軋齊曲線(xiàn)[1].

對(duì)比分析一般斷面收縮率和小斷面收縮率的簡(jiǎn)單軋齊曲線(xiàn).為使展寬角對(duì)直角臺(tái)階成形的影響效果顯著，選擇大直徑的軸類(lèi)零件進(jìn)行分析.對(duì)主要工藝參數(shù)為α=34°，r0=100 mm，展寬角分別為2°、4°和 7°，斷面收縮率分別為 43.75% 和 19% 的軋件進(jìn)行簡(jiǎn)單軋齊曲線(xiàn)計(jì)算，結(jié)果如圖18所示.

圖18 簡(jiǎn)單軋齊曲線(xiàn)實(shí)例.（a）斷面收縮率 43.75%；（b）斷面收縮率 19%Fig.18 Examples of the simple shaping curve: (a) the area reduction is 43.75%; (b) the area reduction is 19%

為使軋齊充分，軋齊過(guò)程應(yīng)至少繞軋件一周.所以軋齊曲線(xiàn)的Y值應(yīng)不小于軋件內(nèi)圓半周長(zhǎng)Lc，Lc=π ·r1.由圖18（a）中可以看出，一般斷面收縮率軸類(lèi)件的展寬角取值較大時(shí)，如 β=7?時(shí)，簡(jiǎn)單軋齊曲線(xiàn)的Y值大于內(nèi)圓半周長(zhǎng)，滿(mǎn)足軋齊的條件.由圖18（b）可以看出，小斷面收縮率軸類(lèi)件的展寬角取值較大時(shí)，如 β=7?，簡(jiǎn)單軋齊曲線(xiàn)的Y值遠(yuǎn)小于內(nèi)圓半周長(zhǎng)，軋齊段過(guò)早結(jié)束，臺(tái)階無(wú)法軋齊；展寬角小時(shí)，如 β=2?時(shí)，Y值遠(yuǎn)大于內(nèi)圓半周長(zhǎng)，滿(mǎn)足軋齊條件；展寬角較小時(shí)，如 β=4?時(shí)，Y值與內(nèi)圓半周長(zhǎng)相近.因此可以得出結(jié)論：小斷面收縮率軸類(lèi)件內(nèi)直角臺(tái)階軋齊時(shí)應(yīng)選用小的展寬角.

由圖14可以看出，按本文計(jì)算方法軋齊曲線(xiàn)得到延長(zhǎng)，Y值范圍擴(kuò)大，因而對(duì)應(yīng)的展寬角 β取值范圍相對(duì)簡(jiǎn)單軋齊而言稍有擴(kuò)大.綜合分析得到表1不同斷面收縮率直角小臺(tái)階軋齊對(duì)應(yīng)的展寬角闕值.

表1 斷面收縮率與直角小臺(tái)階軋齊展寬角的關(guān)系Table 1 Relationship between the area reduction and stretching angle

6 結(jié)論

（1）二輥軋制過(guò)程中內(nèi)直角小臺(tái)階成形的判斷條件：軋輥在軋件軸向形成的圓弧端點(diǎn)與軋件圓心的連線(xiàn)距離大于軋件初始半徑時(shí)，可視為屬于小臺(tái)階軋齊情況.

（2）將復(fù)雜的螺旋斜錐體幾何近似，用數(shù)學(xué)幾何推導(dǎo)出螺旋斜錐體體積隨軋件轉(zhuǎn)角變化的關(guān)系，得到了內(nèi)直角小臺(tái)階不同階段的軋齊曲線(xiàn)公式.

（3）通過(guò)仿真驗(yàn)證，本文提出的軋齊曲線(xiàn)的推導(dǎo)公式適合一定斷面收縮率范圍內(nèi)的內(nèi)直角小臺(tái)階成形.

（4）小斷面收縮率軸類(lèi)產(chǎn)品（尤其是較大直徑的零件）直角臺(tái)階成形，應(yīng)盡量選擇小的展寬角，同時(shí)給出了不同斷面收縮率下臺(tái)階軋齊的展寬角取值范圍.