劉 亮,龍 飛,楊 靖

(1.貴州大學(xué)電氣工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025；2.貴州理工學(xué)院人工智能與電氣工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550003)

0 引言

符號(hào)穩(wěn)定的概念來(lái)源于生態(tài)系統(tǒng)。生態(tài)領(lǐng)域的生物數(shù)量繁多且物種龐雜，受大自然等各種因素干擾卻一直維持著生態(tài)平衡，呈現(xiàn)出巨大的穩(wěn)定性與魯棒性。研究人員把矩陣的符號(hào)與生態(tài)系統(tǒng)聯(lián)系到一起，通過(guò)分析不同生態(tài)物種間的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程來(lái)研究符號(hào)穩(wěn)定[1-2]，從而得出了符號(hào)穩(wěn)定的概念，并且取得了一定的研究成果[3-4]。

不少研究者已經(jīng)得出了符號(hào)穩(wěn)定的必要條件，并將其與生態(tài)系統(tǒng)中的關(guān)系一一對(duì)應(yīng)[5]。Jeffries等從矩陣主對(duì)角線(xiàn)元素符號(hào)出發(fā)，提出了一種涂色測(cè)試法[6]來(lái)判斷矩陣的符號(hào)穩(wěn)定，但該方法只對(duì)不可約矩陣有效。有相關(guān)學(xué)者從非對(duì)角線(xiàn)元素符號(hào)出發(fā)，分析一般矩陣符號(hào)穩(wěn)定的充分條件[7]。由于符號(hào)穩(wěn)定與矩陣元素大小無(wú)關(guān)，具有一種天然的魯棒穩(wěn)定性，所以許多研究人員把符號(hào)穩(wěn)定運(yùn)用到不確定動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中。例如，將符號(hào)穩(wěn)定運(yùn)用到凸多面體不確定系統(tǒng)中，利用符號(hào)穩(wěn)定配置系統(tǒng)矩陣的元素符號(hào)，實(shí)現(xiàn)不確定系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定[8-10]。

上述研究成果充分體現(xiàn)了符號(hào)穩(wěn)定的優(yōu)越性。本文利用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)分析矩陣符號(hào)型，得到了相應(yīng)符號(hào)穩(wěn)定的充分條件。最后對(duì)符號(hào)穩(wěn)定進(jìn)行了拓展，以便更好地運(yùn)用到一些混雜系統(tǒng)中。

1 符號(hào)穩(wěn)定的概念

1.1 符號(hào)穩(wěn)定的定義

實(shí)矩陣可以用一個(gè)有向圖簡(jiǎn)單、直觀(guān)地描述符號(hào)矩陣。

圖1 實(shí)矩陣A的有向圖

定義1[8]：如果與實(shí)矩陣A=(aij)n×n有相同符號(hào)型的任意實(shí)矩陣B都是赫爾維茨穩(wěn)定的，則稱(chēng)實(shí)矩陣A是符號(hào)穩(wěn)定的，實(shí)矩陣A的符號(hào)矩陣sgnA也是符號(hào)穩(wěn)定的。

1.2 符號(hào)穩(wěn)定的必要條件

定理1[8]：實(shí)矩陣A=(aij)n×n符號(hào)穩(wěn)定的必要條件如下。

(1)?i,aii≤0。

(2)至少存在一個(gè)i，使得aii<0。

(3)?i≠j,aijaji≤0。

(4)對(duì)于階數(shù)為三或三以上的實(shí)矩陣，都有aij·ajk· … ·aqr·ari=0。其中,i,j,k,…,q,r為元素的任意下標(biāo)序列。

(5)detA≠0。

(1)

根據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)[11](線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是特征方程各項(xiàng)系數(shù)為正)，可知實(shí)矩陣A=(aij)n×n赫爾維茨穩(wěn)定的必要條件為a11+a22+a33<0，(a11a22+a11a33+a22a33-a13a31-a21a12-a23a32)>0、(-a11a22a33-a13a32a21-a12a23a31+a13a31a22+a21a12a33+a23a32a11)>0。

若實(shí)矩陣A=(aij)n×n為符號(hào)穩(wěn)定矩陣，可知符號(hào)穩(wěn)定必要條件⑤必然滿(mǎn)足。

由a11+a22+a33<0可得aii≤0，且至少有1個(gè)為負(fù)，即符號(hào)穩(wěn)定必要條件(1)和必要條件(2)。

由必要條件(1)和必要條件(2)可知a11a22+a11a33+a22a33≤0，而(a11a22+a11a33+a22a33-a13a31-a21a12-a23a32)>0，所以a13a31+a21a12+a23a32≤0，則aijaji≤0，即符號(hào)穩(wěn)定必要條件(3)。

由必要條件(1)、必要條件(2)、必要條件(3)和必要條件(5)可知,(-a11a22a33+a13a31a22+a21a12a33+a23a32a11)>0，而(-a11a22a33-a13a32a21-a12a23a31+a13a31a22+a21a12a33+a23a32a11)>0，所以a13a32a21+a12a23a31≤0，即a13a32a21≤0且a12a23a31≤0。當(dāng)a12a23a31<0時(shí)，有以下2種情況。

①3個(gè)元素全為負(fù):假設(shè)a12<0、a23<0、a31<0，由必要條件(3)可知這3個(gè)元素分別關(guān)于主對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的元素a21≥0、a32≥0、a13≥0。當(dāng)3個(gè)元素全部為正時(shí)，則a13a32a21>0，而a13a32a21+a12a23a31符號(hào)不確定，a13a32a21+a12a23a31≤0不一定成立。

②3個(gè)元素2正1負(fù)：假設(shè)a12>0、a23>0、a31<0，由必要條件(3)可知這3個(gè)元素分別關(guān)于主對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的元素a21≤0、a32≤0、a13≥0，則a13a32a21≥0。當(dāng)a13a32a21>0時(shí)，a13a32a21+a12a23a31的符號(hào)不確定，a13a32a21+a12a23a31≤0不一定成立。

綜上所述，得a13a32a21=0，同理可證a12a23a31=0，即必要條件(4)。

1.3 符號(hào)穩(wěn)定的充分條件

定理2：如果符號(hào)矩陣sgn[A=(aij)n×n]滿(mǎn)足以下3個(gè)條件，那么sgn[A=(aij)n×n]是符號(hào)穩(wěn)定的。

①?i,aii<0。

②?i≠j,aijaji=0。

③對(duì)于階數(shù)為3以及3以上的實(shí)矩陣，都有aij·ajk· … ·aqr·ari=0。其中,i,j,k,…,q,r為元素的任意下標(biāo)序列。

-|A-λI|=λ3-(a11+a22+a33)λ2+(a11a22+a11a33+a22a33-a13a31-a21a12-a23a32)λ+(-a11a22a33-a13a32a21-a12a23a31+a13a31a22+a21a12a33+a23a32a11)=λ3-(a11+a22+a33)λ2+(a11a22+a11a33+a22a33)λ-a11a22a33=(λ-a11)(λ-a22)(λ-a33)

(2)

那么λi=aii<0(i=1,2,3)。

此結(jié)論可以擴(kuò)展到任意階矩陣。此符號(hào)穩(wěn)定充分條件太過(guò)于嚴(yán)格，適用范圍狹窄。下面將從必要條件出發(fā)，分析符號(hào)穩(wěn)定充分條件的一般性結(jié)論。

2 符號(hào)穩(wěn)定的定性分析

由定義1可知，對(duì)符號(hào)穩(wěn)定進(jìn)行定性分析，即分析符號(hào)矩陣的赫爾維茨穩(wěn)定。因此，從赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)入手，對(duì)符號(hào)穩(wěn)定進(jìn)行定性分析。

2.1 赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)

以3階實(shí)矩陣A=(aij)3×3為例，由式(1)和赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)可知，實(shí)矩陣A赫爾維茨穩(wěn)定的充要條件是a11+a22+a33<0、(a11a22+a11a33+a22a33-a13a31-a21a12-a23a32)>0、(-a11a22a33-a13a32a21-a12a23a31+a13a31a22+a21a12a33+a23a32a11)>0，且需滿(mǎn)足：

-(a11+a22+a33)(a11a22+a11a33+a22a33-a13a31-a21a12-a23a32)-(-a11a22a33-a13a32a21-a12a23a31+a13a31a22+a21a12a33+a23a32a11)>0

(3)

定理3:當(dāng)實(shí)矩陣A=(aij)3×3有符號(hào)矩陣sgn[A=(aij)3×3]時(shí)，實(shí)矩陣A=(aij)3×3符號(hào)穩(wěn)定的充要條件如下。

①實(shí)矩陣A=(aij)3×3滿(mǎn)足定理1。

②-(a11+a22+a33)(a11a22+a11a33+a22a33-a13a31-a21a12-a23a32)-(-a11a22a33-a13a32a21-a12a23a31+a13a31a22+a21a12a33+a23a32a11)>0成立。

由定理1的必要條件(4)可知，式(3)可以簡(jiǎn)寫(xiě)為：

(4)

結(jié)合定理1和式(4)可知，對(duì)符號(hào)穩(wěn)定進(jìn)行定性分析，即分析矩陣主對(duì)角線(xiàn)元素aii的符號(hào)與關(guān)于主對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的元素aijaji的符號(hào)的關(guān)系，也就是對(duì)應(yīng)定理1中的必要條件(2)和必要條件(3)。

2.2 不可約矩陣的符號(hào)穩(wěn)定充分條件

針對(duì)主對(duì)角線(xiàn)的元素符號(hào)，Jeffries等給出了1種涂色測(cè)試法[5-6]，用來(lái)判斷矩陣的符號(hào)穩(wěn)定。但此法局限于不可約矩陣。

定義2：如果矩陣A是不可約矩陣(不可分解)，對(duì)于所有的i≠j，在矩陣A的有向圖中，有且僅有一條路徑從i到j(luò)。

定義3：矩陣A=(aij)n×n是1個(gè)可約矩陣，如果將1,2,…,n分成2個(gè)不相交的非空集合{i1,i2,…,iμ}和 {j1,j2,…,jv}，且μ+v=n，就使得aiαjβ=0，α=1,2,...,n,β=1,2,...,v。

定理4：如果符號(hào)矩陣的主對(duì)角線(xiàn)元素全為負(fù)數(shù)且滿(mǎn)足符號(hào)穩(wěn)定的必要條件，則此符號(hào)矩陣是符號(hào)穩(wěn)定的。

對(duì)于三階符號(hào)矩陣，由定理1的必要條件(3)和aii<0可知，式(4)必然成立。此3階符號(hào)矩陣為符號(hào)穩(wěn)定矩陣。對(duì)于n階符號(hào)矩陣，可依據(jù)此方法進(jìn)行證明。

定理5：對(duì)于不可約的符號(hào)矩陣，如果滿(mǎn)足符號(hào)穩(wěn)定的必要條件且涂色測(cè)試法失效，則此符號(hào)矩陣是符號(hào)穩(wěn)定的。

涂色測(cè)試法主要針對(duì)符號(hào)矩陣主對(duì)角線(xiàn)元素。矩陣主對(duì)角線(xiàn)元素為負(fù)數(shù)時(shí)，定義為黑色節(jié)點(diǎn)，表示為aib,ib；矩陣主對(duì)角線(xiàn)元素為0時(shí)，定義為白色節(jié)點(diǎn)，表示為aiw,iw。當(dāng)矩陣主對(duì)角線(xiàn)元素僅有黑色節(jié)點(diǎn)或僅有白色節(jié)點(diǎn)時(shí)，不必進(jìn)行涂色測(cè)試。因?yàn)橹鲗?duì)角線(xiàn)元素僅有黑色節(jié)點(diǎn)時(shí)，可用定理4進(jìn)行判定; 僅有白色節(jié)點(diǎn)時(shí)，不滿(mǎn)足符號(hào)穩(wěn)定的必要條件，不是符號(hào)穩(wěn)定的。因此，涂色測(cè)試主要針對(duì)黑色節(jié)點(diǎn)與白色節(jié)點(diǎn)共存的情況。在進(jìn)行涂色測(cè)試之前，已確定矩陣滿(mǎn)足符號(hào)穩(wěn)定的必要條件。進(jìn)行涂色測(cè)試法的具體操作步驟如下。

①如果1個(gè)符號(hào)矩陣涂色測(cè)試成功，則表示所有aiw,jwajw,iw形式的乘積中，至少有1個(gè)此形式的乘積結(jié)果為負(fù)數(shù)。如果僅有1個(gè)白色節(jié)點(diǎn)，無(wú)法構(gòu)成形如aiw,jwajw,iw的乘積形式，則涂色測(cè)試失效。如果僅有2個(gè)白色節(jié)點(diǎn)，可以構(gòu)成1個(gè)形如aiw,jwajw,iw的乘積形式且乘積結(jié)果為負(fù)數(shù)，則涂色測(cè)試成功。

②所有ajb,iwaiw,jb形式的乘積中，對(duì)于黑色節(jié)點(diǎn)jb，當(dāng)ajb,iwaiw,jb的乘積結(jié)果為負(fù)數(shù)，且ajb,kwakw,jb的乘積結(jié)果也為負(fù)數(shù)(iw≠kw)時(shí)，則涂色測(cè)試成功。

以3階矩陣為例，對(duì)于1個(gè)不可約的3階符號(hào)矩陣sgn[A=(aij)3×3]，如果它是符號(hào)穩(wěn)定的，則其滿(mǎn)足定理1且式(4)成立，即式(5)～式(10)成立。

a11+a22+a33<0

(5)

(a11a22+a11a33+a22a33-a13a31-a21a12-a23a32)>0

(6)

-a11a22a33+a13a31a22+a21a12a33+a23a32a11>0

(7)

a13a32a21=0

(8)

a12a23a31=0

(9)

(10)

其中，式(5)～式(9)式是符號(hào)矩陣sgn[A=(aij)3×3]符號(hào)穩(wěn)定的必要條件，式(5)～式(10)是矩陣sgn[A=(aij)3×3]符號(hào)穩(wěn)定的充要條件。在使用涂色測(cè)試法之前，已知矩陣滿(mǎn)足式(5)～式(9)，所以涂色測(cè)試法是從定理1中的必要條件(2)入手，針對(duì)式 (10)而設(shè)計(jì)的。

2.3 一般矩陣符號(hào)穩(wěn)定的充分條件

涂色測(cè)試法雖然提供了完整的、判斷符號(hào)穩(wěn)定的充分條件，但方法復(fù)雜，使用繁瑣，且局限性大。因此，研究者提出了1種比較簡(jiǎn)單的充分條件來(lái)驗(yàn)證符號(hào)穩(wěn)定。與涂色測(cè)試法不同的是，此方法是從定理1的必要條件(3)入手，針對(duì)式(10)而設(shè)計(jì)的。

分析一般矩陣符號(hào)穩(wěn)定充分條件的預(yù)備知識(shí)點(diǎn)[7]如下。

①關(guān)于主對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的2個(gè)元素的乘積算式稱(chēng)為相互作用對(duì)，即aijaji(i≠j)。如果aijaji<0，則稱(chēng)aijaji為OS對(duì)。如果aijaji=0，則稱(chēng)aijaji為ZS對(duì)。在aijaji=0中，如果2個(gè)元素符號(hào)分別為正和零，則稱(chēng)aijaji為ZSp對(duì)。如果2個(gè)元素符號(hào)分別為負(fù)和零，則稱(chēng)aijaji為ZSn對(duì)。如果2個(gè)元素符號(hào)都為零，則稱(chēng)aijaji為ZZ對(duì)。

②滿(mǎn)足定理1條件的矩陣定義為ISS矩陣；滿(mǎn)足符號(hào)穩(wěn)定充分條件的矩陣定義為QLSS矩陣。

③矩陣的主對(duì)角線(xiàn)上，關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的2個(gè)元素相加的形式定義為MIDMT,如4階矩陣中的a11+a44和a22+a33。主對(duì)角線(xiàn)任意2個(gè)元素的相加定義為MT，如4階矩陣中的a11+a22、a33+a44和a11+a33等。

n階ISS矩陣最多有(n-1)個(gè)OS對(duì)，當(dāng)超過(guò)(n-1)個(gè)OS對(duì)時(shí)，將不滿(mǎn)足定理1中的必要條件(4)。由定義2可知，n階不可約矩陣有且僅有(n-1)個(gè)OS對(duì)，其余全為ZZ對(duì)。

下面將從OS對(duì)的個(gè)數(shù)來(lái)分析符號(hào)穩(wěn)定的充分條件。

定理6：1個(gè)n階ISS矩陣的OS對(duì)個(gè)數(shù)為0，則為QLSS矩陣。

證明：以3階矩陣為例，n階矩陣可按照此方法證明。

3階ISS矩陣sgn[A=(aij)3×3]必滿(mǎn)足式(5)～式(9)。3階QLSS矩陣sgn[A=(aij)3×3]必滿(mǎn)足式(5)～式(10)。如果3階ISS矩陣sgn[A=(aij)3×3]中OS對(duì)的個(gè)數(shù)是0，則由式(5)和式(7)可知a11<0、a22<0,a33<0，式(10)必然成立。

定理7：如果1個(gè)n階ISS矩陣的OS對(duì)個(gè)數(shù)小于(n-1)個(gè)，且滿(mǎn)足下列任意1個(gè)條件，則為QLSS矩陣。

①n階ISS矩陣中所有QS對(duì)使得相應(yīng)的MT非零。

②n階ISS矩陣中所有ZSp對(duì)使得相應(yīng)的MT非零。

定理8：如果1個(gè)n階ISS矩陣的OS對(duì)個(gè)數(shù)是(n-1)，且滿(mǎn)足下列任意1個(gè)條件，則為QLSS矩陣。

①反主對(duì)角線(xiàn)上至少存在1個(gè)OS對(duì)，使得相應(yīng)的MIDMT非零。

②反主對(duì)角線(xiàn)上至少存在1個(gè)ZZ對(duì)，使得相應(yīng)的MIDMT非零。

定理5和定理8描述的是同一種符號(hào)矩陣。不同的是，定理5中的涂色測(cè)試法是從主對(duì)角線(xiàn)元素的符號(hào)來(lái)分析符號(hào)穩(wěn)定，定理8是從反主對(duì)角線(xiàn)相互作用對(duì)的符號(hào)來(lái)分析符號(hào)穩(wěn)定。

定理9：一個(gè)可約的ISS矩陣A可以分解為q個(gè)Ai，即detA=detA1×detA2×…×detAq。當(dāng)且僅當(dāng)Ai(i=1,2,...,q)全為QLSS矩陣時(shí)，A是QLSS矩陣。

注1：對(duì)于1個(gè)n階ISS矩陣，如果OS對(duì)的個(gè)數(shù)小于(n-1)個(gè)，且可分解為多個(gè)矩陣。根據(jù)定理9可知，分析n階ISS矩陣的符號(hào)穩(wěn)定性，等同于分析分解的多個(gè)矩陣的符號(hào)穩(wěn)定性。

圖2 A和B的有向圖(I)

3 符號(hào)穩(wěn)定的驗(yàn)證示例

驗(yàn)證：矩陣A是1個(gè)5階ISS矩陣，有4個(gè)OS對(duì)，是1個(gè)不可約矩陣?？捎枚ɡ?和定理8進(jìn)行判斷。運(yùn)用定理5對(duì)其進(jìn)行涂色測(cè)試，a11、a22、a44、a55是黑色節(jié)點(diǎn)，a33是白色節(jié)點(diǎn)。使用涂色測(cè)試法進(jìn)行驗(yàn)證，涂色測(cè)試成功，所以A不是1個(gè)QLSS矩陣。運(yùn)用定理8，不滿(mǎn)足條件①和條件②，所以A不是一個(gè)QLSS矩陣。

驗(yàn)證：矩陣A是1個(gè)5階ISS矩陣，有4個(gè)OS對(duì)，是1個(gè)不可約矩陣?？捎枚ɡ?和定理8進(jìn)行判斷。運(yùn)用定理5對(duì)其進(jìn)行涂色測(cè)試，a22、a33、a44、a55是黑色節(jié)點(diǎn)，a11是白色節(jié)點(diǎn)。使用涂色測(cè)試法進(jìn)行驗(yàn)證：涂色測(cè)試失效，所以A是1個(gè)QLSS矩陣。運(yùn)用定理8，因?yàn)榫仃嘇滿(mǎn)足條件②，所以A是1個(gè)QLSS矩陣。

驗(yàn)證：矩陣A是1個(gè)4階ISS矩陣，有2個(gè)OS對(duì)?？捎枚ɡ?進(jìn)行判斷：矩陣A不滿(mǎn)足條件①，而條件②不適用于矩陣A，所以A不是1個(gè)QLSS矩陣。通過(guò)有向圖可知，矩陣A可以分解為2個(gè)矩陣，用定理9進(jìn)行判斷。因?yàn)槠渲?個(gè)分解矩陣不是QLSS矩陣，所以A不是1個(gè)QLSS矩陣。

驗(yàn)證：矩陣A是1個(gè)4階ISS矩陣，有2個(gè)OS對(duì)和2個(gè)ZSn對(duì)。可用定理7進(jìn)行判斷：矩陣A滿(mǎn)足條件①，而條件②不適用于矩陣A，所以A是1個(gè)QLSS矩陣。

4 符號(hào)穩(wěn)定的相關(guān)結(jié)論

定理10：如果1個(gè)矩陣的有向圖結(jié)構(gòu)與1個(gè)QLSS矩陣的有向圖結(jié)構(gòu)相同，則這個(gè)矩陣也是QLSS矩陣。

圖3 A和B的有向圖(II)

證明：假設(shè)A為QLSS矩陣;P為1個(gè)與A階數(shù)相同的置換矩陣，B=PTAP,因此A與B合同。由合同的性質(zhì)可知，A和B有相同的正負(fù)慣性指數(shù)，即正負(fù)特征值個(gè)數(shù)相同。因?yàn)锳是QLSS矩陣，所以B也是QLSS矩陣。此時(shí)，A和B的有向圖結(jié)構(gòu)相同。

對(duì)A作初等變換，不會(huì)改變A的有向圖結(jié)構(gòu)。一次初等行變換和一次對(duì)應(yīng)的初等列變換對(duì)應(yīng)著有向圖2個(gè)對(duì)應(yīng)位置處的節(jié)點(diǎn)交換。

定義4：由具有相同有向圖結(jié)構(gòu)的符號(hào)矩陣組成的1個(gè)符號(hào)矩陣集合，如果其中任意1個(gè)符號(hào)矩陣是符號(hào)穩(wěn)定的，則稱(chēng)這個(gè)集合為穩(wěn)定集。如果矩陣的階數(shù)是n，其子集個(gè)數(shù)為n!，則稱(chēng)這個(gè)集合為完整穩(wěn)定集。

這個(gè)矩陣的有向圖結(jié)構(gòu)相同的矩陣構(gòu)成的1個(gè)完整穩(wěn)定集為：

定理11[8]：對(duì)于所有符號(hào)穩(wěn)定且主對(duì)角線(xiàn)元素均為負(fù)數(shù)的n階矩陣A=(aij)n×n，其所有特征值的實(shí)部有界且滿(mǎn)足以下要求。特征值實(shí)部絕對(duì)值的下界是所有對(duì)角線(xiàn)元素絕對(duì)值的最小值，特征值實(shí)部絕對(duì)值的上界是所有對(duì)角線(xiàn)元素絕對(duì)值的最大值，即：

|aii|min≤|Re(λi)|min≤|Re(λi)|max≤|aii|max

(11)

對(duì)于A(yíng)=(aij)n×n部分主對(duì)角線(xiàn)元素為0的情況，有：

0<|Re(λi)|min≤|Re(λi)|max≤|aii|max

(12)

給定1個(gè)n階矩陣An×n和1個(gè)m階矩陣Bm×m，?表示Kronecker積[12]，⊕表示Kronecker和[12]。

(13)

引理12[12]：矩陣An×n的特征值是λi(i=1,2,…,n)，矩陣Bm×m的特征值是μj(j=1,2,…,m)，則An×n⊕Bm×m的特征值為λi+μj(i=1,2,…n;j=1,2,…,m)。

定理13：如果sgn[A=(aij)n×n]和sgn[B=(aij)m×m]都是符號(hào)穩(wěn)定的，則sgn[A=(aij)n×n]?sgn[B=(aij)m×m]也是符號(hào)穩(wěn)定的。

證明：假設(shè)sgn[A=(aij)n×n]的特征值是λi，sgn[B=(aij)m×m]的特征值是μj。因?yàn)閟gn[A=(aij)n×n]和sgn[B=(aij)m×m] 都是符號(hào)穩(wěn)定的，所以Re(λi)<0、Re(μj)<0，可得Re(λi+μj)<0。由引理12可知，sgn[A=(aij)n×n]?sgn[B=(aij)m×m]也是符號(hào)穩(wěn)定的。

赫爾維茨穩(wěn)定和Schur穩(wěn)定是2種非常重要的穩(wěn)定概念。符號(hào)穩(wěn)定是1種打破傳統(tǒng)數(shù)值型的赫爾維茨穩(wěn)定。下面將進(jìn)一步分析符號(hào)矩陣與Schur穩(wěn)定之間的聯(lián)系。

如果矩陣A=(aij)n×n滿(mǎn)足aijaji=0(i≠j)，且對(duì)于階數(shù)為3或3以上的矩陣都有aij·ajk· … ·aqr·ari=0(i,j,k,…,q,r為元素的任意下標(biāo)序列)，那么矩陣A=(aij)n×n的特征值為主對(duì)角線(xiàn)元素。

定理14：當(dāng)符號(hào)矩陣sgn[A=(aij)n×n]滿(mǎn)足以下條件時(shí)，矩陣A=(aij)n×n是Schur穩(wěn)定的。

①|(zhì)aii|<1。

②aijaji=0(i≠j)。

③對(duì)于階數(shù)為3或3以上的矩陣都有aij·ajk· … ·aqr·ari=0。其中i,j,k,…,q,r為元素的任意下標(biāo)序列。

定理15：當(dāng)符號(hào)矩陣sgn[A=(aij)n×n]滿(mǎn)足以下條件時(shí)，矩陣A=(aij)n×n是Schur穩(wěn)定的。

①0≤aii<1。

②aijaji=0(i≠j)。

③對(duì)于階數(shù)為3或3以上的矩陣都有aij·ajk·…·aqr·ari=0。其中，i,j,k,…,q,r為元素的任意下標(biāo)序列。

定理14和定理15分別對(duì)一般矩陣和正矩陣定義了1種符號(hào)型Schur穩(wěn)定。在一般矩陣中，其相互作用對(duì)可以是ZSp對(duì)、ZSn對(duì)或 ZZ對(duì)。在正矩陣中，其相互作用對(duì)只能是ZSp對(duì)或ZZ對(duì)。

定理16：當(dāng)符號(hào)矩陣sgn[A=(aij)n×n]滿(mǎn)足以下條件時(shí)，則矩陣A=(aij)n×n既是Schur穩(wěn)定的，又是赫爾維茨穩(wěn)定的。

①-1

②aijaji=0(i≠j)。

③對(duì)于階數(shù)為3或3以上的矩陣都有aij·ajk·…·aqr·ari=0。其中,i,j,k,…,q,r為元素的任意下標(biāo)序列。

定理17：如果符號(hào)矩陣sgn[A=(aij)n×n]是正矩陣，則以下2個(gè)條件等價(jià)。

①sgn[A=(aij)n×n]是Schur穩(wěn)定的。

②sgn[A=(aij)n×n]-In×n是赫爾維茨穩(wěn)定的。

證明：條件①→條件②。由定理15可知，如果sgn[A=(aij)n×n]是Schur穩(wěn)定的，則0≤aii<1。對(duì)于矩陣sgn[A=(aij)n×n]-In×n，其對(duì)角線(xiàn)元素aii-1<0。由定理16可知，sgn[A=(aij)n×n]-In×n是赫爾維茨穩(wěn)定的。

條件②→條件①。由定理16可知，如果sgn[A=(aij)n×n]-In×n是赫爾維茨穩(wěn)定，則aii-1<0，得aii<1。由正矩陣sgn[A=(aij)n×n]得aii>0，所以0≤aii<1。由定理15可知,sgn[A=(aij)n×n]是Schur穩(wěn)定的。

5 結(jié)論

本文通過(guò)定義符號(hào)穩(wěn)定，首先從符號(hào)穩(wěn)定的必要條件出發(fā)，利用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)分析了符號(hào)穩(wěn)定的充分條件。然后，用具體例子來(lái)驗(yàn)證所得的充分條件，對(duì)符號(hào)穩(wěn)定充分條件作出了一般性結(jié)論。最后，將符號(hào)穩(wěn)定推廣到符號(hào)Schur穩(wěn)定，使其在一些不確定系統(tǒng)(例如隨機(jī)系統(tǒng)、切換系統(tǒng)等)中的應(yīng)用更加廣泛。