基于調(diào)制FFT的諧振式SAW傳感器快速頻率估計(jì)算法

王威威

1,2，盧孜筱2,3，李紅浪2,3，田亞會1,2，柯亞兵2,3

（1.中國科學(xué)院聲學(xué)研究所，北京 100190；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3.國家納米科學(xué)中心，中國科學(xué)院納米科學(xué)卓越創(chuàng)新中心，北京 100190）

0 引 言

隨著聲表面波傳感器技術(shù)的發(fā)展，諧振式SAW傳感器由于無線無源、高Q值、抗干擾能力強(qiáng)、靈敏度高等優(yōu)點(diǎn)，在高動態(tài)復(fù)雜應(yīng)用環(huán)境中得以廣泛使用[1]。例如，在列車輪軸、船舶傳動軸、航天發(fā)動機(jī)等高速環(huán)境中[2-4]，要求對應(yīng)變、扭矩等參量實(shí)現(xiàn)快速檢測，因此需要研究一種諧振式 SAW傳感器快速頻率估計(jì)算法。

諧振式SAW傳感器常使用FFT譜估計(jì)的頻率估計(jì)算法對回波信號進(jìn)行快速頻率估計(jì)，但FFT譜估計(jì)的頻率估計(jì)精度受回波信號序列長度的限制[5]，無法滿足諧振式SAW傳感器的頻率估計(jì)精度。為了提高FFT譜估計(jì)的頻率估計(jì)精度，人們基于FFT譜估計(jì)提出了很多頻譜修正方法，其中Rife算法是基于FFT譜估計(jì)的經(jīng)典算法[6]，該算法通過最大譜線與相鄰次大譜線估計(jì)頻率偏移量，對頻率估計(jì)進(jìn)行修正，計(jì)算量小。但當(dāng)實(shí)際頻率在譜線最大值頻率附近時(shí)，頻率估計(jì)精度較差且容易受環(huán)境影響。文獻(xiàn)[7]使用頻譜細(xì)化與搬移技術(shù)對Rife算法的頻譜修正方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出I_Rife算法。該算法很大程度上提高了頻率估計(jì)精度，但因其需要計(jì)算4個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的離散傅里葉變換對頻譜進(jìn)行細(xì)化，使得計(jì)算量增大。文獻(xiàn)[8]提出了一種針對實(shí)信號進(jìn)行快速頻率估計(jì)的調(diào)制FFT算法，克服了FFT譜估計(jì)頻譜有一半是冗余的缺點(diǎn)，在保證算法計(jì)算量增加不大的同時(shí)，將頻譜分辨率提高了一倍，但頻率偏移的存在影響了頻率估計(jì)精度。針對調(diào)制FFT的不足，本文結(jié)合頻譜修正方法，提出一種諧振式SAW 傳感器快速精確的頻率估計(jì)算法，對諧振式SAW傳感器回波信號進(jìn)行調(diào)制FFT計(jì)算獲取頻譜，再使用頻譜最大譜線的兩相鄰譜線取代I_Rife算法頻譜細(xì)化后的譜線，估算頻率偏移因子，對頻率估計(jì)進(jìn)行修正。

1 SAW傳感器快速頻率估計(jì)算法

1.1 調(diào)制FFT算法原理

調(diào)制FFT算法是針對時(shí)間長度為T的N點(diǎn)實(shí)序列，首先通過時(shí)域調(diào)制實(shí)現(xiàn)頻譜搬移，使頻譜不再具有對稱性，然后對時(shí)域調(diào)制后的實(shí)序列進(jìn)行FFT變換，最后根據(jù)實(shí)序列頻域的對稱性進(jìn)行倒序插值，重構(gòu)出N條獨(dú)立的譜線表示原始實(shí)序列的正頻率成分[8]。

與直接FFT頻譜的對應(yīng)關(guān)系為[8]

1.2 快速頻率估計(jì)算法

諧振式SAW傳感器的回波信號是由一段等幅值的正弦信號和一段指數(shù)衰減的正弦信號組成的混合信號，其頻率特性主要受等幅振蕩正弦信號持續(xù)時(shí)間的影響，衰減因子對回波信號頻譜的影響可以忽略不計(jì)[9]。對等幅振蕩正弦信號x（n）進(jìn)行N點(diǎn)采樣，獲取離散時(shí)間信號序列：

其中：A為信號的振幅，f0為信號的頻率，fs為信號的采樣頻率，φ為初相位。根據(jù)式（3）與N點(diǎn)離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform,DFT）公式，計(jì)算式（4）的調(diào)制FFT頻譜為

最終求得估計(jì)頻率為

2 計(jì)算量分析

圖1 兩種算法計(jì)算量與信號長度關(guān)系Fig.1 The relationship between the calculation amounts of two algorithms and the signal length

3 性能仿真分析

根據(jù)現(xiàn)有諧振式SAW傳感器參數(shù)，取SAW傳感器中心頻率為fSAW=4 33 MHz，品質(zhì)因數(shù)為Q=10 000。在信號接收端，433 MHz的回波信號經(jīng)過兩次下變頻后頻率下降到1 MHz附近，工作頻率在1 MHz±0.3 MHz范圍內(nèi)。設(shè)定信號采樣頻率為fs=3.125 MHz，信號采樣點(diǎn)數(shù)N=100，此時(shí)回波信號的采樣時(shí)長為32 μs。為了提高頻率分辨率，將信號補(bǔ)零到512點(diǎn)再進(jìn)行調(diào)制FFT變換，此時(shí)頻譜分辨率為Δf′=3.0 518 kHz。取SAW傳感器回波信號頻率為f0=320Δf′=976.362 5 kHz，當(dāng)回波信號正常接收時(shí)，其等幅占比在10%～50%之間[9]，取等幅占比30%的回波信號進(jìn)行模擬仿真，其波形如圖2所示。

為了驗(yàn)證本文算法的頻率估計(jì)速度，將本文算法與I_Rife算法在不同信號長度下使用Matlab軟件進(jìn)行10 000次仿真實(shí)驗(yàn)，取頻率估計(jì)平均運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行對比，結(jié)果如圖3所示。

由圖3數(shù)據(jù)可知，在信號長度較小時(shí)，算法運(yùn)行時(shí)間很短，此時(shí)Matlab軟件統(tǒng)計(jì)時(shí)間誤差較大，隨著信號長度的增加，統(tǒng)計(jì)時(shí)間較算法運(yùn)行時(shí)間相對誤差減小，此時(shí)隨著信號長度的增加，本文算法較I_Rife算法計(jì)算量優(yōu)勢逐漸增大，與理論分析吻合。當(dāng)N=512時(shí)，本文算法的運(yùn)算速度是 I_Rife算法速度的2.5倍，與理論分析結(jié)論一致。

圖2 SAW模擬回波信號（f0=976.362 5 kHz）Fig.2 Simulated SAW response signal（f0=976.362 5 kHz）

圖3 兩種算法運(yùn)算時(shí)間與信號長度關(guān)系對比Fig.3 Comparison of the relationships between the running times of two algorithms and the signal length

為了驗(yàn)證本文算法對SAW傳感器的頻率估計(jì)性能，在不同信噪比（Signal Noise Ratio,SNR）下，對SAW模擬回波信號f0進(jìn)行1 000次重復(fù)仿真實(shí)驗(yàn)，計(jì)算頻率估計(jì)的均方根誤差，與I_Rife算法進(jìn)行對比，結(jié)果如表1所示。

表1 在不同信噪比下兩種算法的頻率估計(jì)均方根誤差對比Table 1 RMSEs of frequency estimation of two algorithms under different SNRs

由表1數(shù)據(jù)可知，在不同SNR下，本文算法對無頻率偏移的SAW回波信號的頻率估計(jì)精度優(yōu)于I_Rife算法。

圖4 在不同頻率偏移因子下兩種算法的頻率估計(jì)均方根誤差對比（SNR為?5 dB）Fig.4 RMSEs of frequency estimation of two algorithms under different frequency offset factors （SNR=?5 dB）

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的可行性，在不同信噪比下，在SAW傳感器1 MHz±0.3 MHz工作頻帶內(nèi)隨機(jī)選取1 000個(gè)回波信號頻率進(jìn)行1000重復(fù)仿真實(shí)驗(yàn)，計(jì)算頻率估計(jì)平均的均方根誤差，與I_Rife算法進(jìn)行對比，結(jié)果如圖5所示。

圖5 在不同信噪比下2種算法在1 MHz±0.3 MHz的頻率估計(jì)均方根誤差對比Fig.5 RMSEs of frequency estimation in 1MH±0.3 MHz of two algorithms under different SNRs

圖5結(jié)果表明，信噪比為?5～21 dB時(shí)，在SAW傳感器的工作頻率帶寬內(nèi)，本文算法的頻率估計(jì)均方根誤差優(yōu)于I_Rife算法。對不同信噪比下的均方根誤差求平均值，本文算法均方根誤差的平均值為1.716 9 kHz，I_Rife算法的均方根誤差的平均值為2.328 7 kHz，本文算法較I_Rife算法頻率估計(jì)精度提高了26%，驗(yàn)證了本文算法的可行性。

4 結(jié) 論

針對高動態(tài)環(huán)境下的諧振式SAW傳感器快速精確頻率估計(jì)，提出了一種基于調(diào)制FFT的SAW傳感器快速頻率估計(jì)算法。通過算法計(jì)算量分析，本文算法較I_Rife算法減少了3N次復(fù)數(shù)乘法、4（N?1）次復(fù)數(shù)加法，同時(shí)不需要判斷修正方向，減小了算法的空間復(fù)雜度與時(shí)間復(fù)雜度。針對SAW傳感器回波信號，進(jìn)行信號長度為512點(diǎn)的仿真實(shí)驗(yàn)，本文算法的運(yùn)算速度是I_Rife算法的2.5倍，同時(shí)頻率估計(jì)精度提高了26%。本文算法在提高SAW傳感器頻率估計(jì)精度的同時(shí)，提升了頻率估計(jì)速度，是一種實(shí)現(xiàn)諧振式SAW傳感器快速頻率估計(jì)的新方法。