和式極限的一致等價(jià)替換定理

王德榮， 黃永忠， 邵 琨

(華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢 430074)

1 引 言

2 和式極限的相關(guān)定理及應(yīng)用

|βkn/αkn-1|<ε(k=1，2，…，n)，

則稱αkn與βkn在n→∞時(shí)關(guān)于k=1，2，…，n為一致等價(jià)的.簡(jiǎn)稱αkn與βkn關(guān)于k一致等價(jià)，也稱αkn的一致等價(jià)量為βkn.

由定義1可直接得到以下兩個(gè)引理，用于判別一致等價(jià)性.

定理2若f(x)在[0，1)上有m階導(dǎo)數(shù)，且

f(0)=f′(0)=…=f(m-1)(0)=0，f(m)(0)=c≠0，

證x∈(0,1)時(shí)，利用Taylor公式

注 參考文獻(xiàn)[3-4]中僅考慮到α,β為正整數(shù)的情形，定理2給出的是更一般的結(jié)論.

例1計(jì)算以下和式極限.

解(i)令f(x)=x-sinx，則

f(0)=f′(0)=f″(0)=0，f?(0)=1，

因此

應(yīng)用定理1與定理3計(jì)算以下極限.

錢泰吉(1791—1863)《曝書雜記》：“余昔有明初抄本，即《解題》所載本”。可見宋末新出現(xiàn)的這個(gè)本子在明初尚有鈔本，且至少流傳到清錢泰吉(1791—1863)之世。

3 和式極限的收斂階

以下以命題的形式給出一些和式極限的收斂階.

(i)若β>-1，

(ii)若β=-1，

(iii)若β<-1，

當(dāng)α>-1時(shí)，

利用定理1可得

而α=-1時(shí)，

3 結(jié) 論

給出了求和式極限的一致等價(jià)替換原理，得到了極限

致謝作者非常感謝參考文獻(xiàn)[2-4]對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.