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      四元數(shù)矩陣的直積分解及最佳逼近①

      2022-01-28 04:04:40黃敬頻白瑞徐云趙耿威
      關(guān)鍵詞:方根分塊范數(shù)

      黃敬頻,白瑞,徐云,趙耿威

      廣西民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院,南寧 530006

      四元數(shù)在圖像處理及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的研究方面均有重要作用[1-2]. 作為矩陣關(guān)聯(lián)運(yùn)算的普通乘積和直積(也稱Kronecker積或張量積),具有廣泛的應(yīng)用性和普適性[3-5]. 文獻(xiàn)[6]利用直積理論提出了群對(duì)稱原子或分子軌道中產(chǎn)生對(duì)稱軌道的標(biāo)準(zhǔn)方法與封閉公式. 文獻(xiàn)[7]根據(jù)Toeplitz矩陣可分解為Kronecker積的和的性質(zhì),提出了一種基于卷積核矩陣的圖像迭代復(fù)原方法. 文獻(xiàn)[8]以直積為主要工具研究了四元數(shù)矩陣方程AXB+CXD=E的M自共軛解. 文獻(xiàn)[9-10]討論了有關(guān)Kronecker積的最小二乘問題及其在二元多項(xiàng)式回歸中的應(yīng)用. 多年來,關(guān)于矩陣Kronecker積性質(zhì)的研究已有豐富的成果[11-13]. 關(guān)于矩陣方根的求解方面,文獻(xiàn)[14-15]分別采用Schur分解和牛頓迭代方法給出了實(shí)矩陣的方根計(jì)算,文獻(xiàn)[16]運(yùn)用冪法給出了復(fù)矩陣的方根計(jì)算,文獻(xiàn)[17]利用拉直算子討論了復(fù)矩陣Kronecker方根的存在性,文獻(xiàn)[18]利用牛頓迭代方法給出了Einstein積意義下實(shí)張量的方根計(jì)算. 目前未見關(guān)于四元數(shù)矩陣的Kronecker積分解問題的研究報(bào)導(dǎo),針對(duì)這一問題,本文著重考慮直積意義下四元數(shù)矩陣的分解及最佳逼近問題.

      定義1設(shè)X=(xij)∈Qm×n,Y=(yij)∈Qs×t,稱

      (1)

      是X與Y的Kronecker積. 當(dāng)X,Y中有一個(gè)是實(shí)矩陣時(shí),稱X?Y為弱直積[2].

      本文具體討論如下2個(gè)問題:

      問題1給定四元數(shù)矩陣A∈Qm2×n2,尋找X,Y∈Qm×n使得A=X?Y. 當(dāng)此分解式不存在時(shí),求F(X,Y)=‖X?Y-A‖的最佳逼近值.

      問題2對(duì)問題1給定的四元數(shù)矩陣A,求直積意義下滿足X?X=A的二次方根X的存在條件及計(jì)算公式.

      1 主要結(jié)果

      引理1設(shè)四元數(shù)q=a0+a1i+a2j+a3k∈QR,則q的方根總存在,并可表示為

      (2)

      證設(shè)x=x0+x1i+x2j+x3k,且q=x2,直接展開比較可得

      (3)

      (4)

      對(duì)A∈Qm2×n2作如下分塊

      (5)

      L=(Vec(A11),…,Vec(A1n),…,Vec(Am1),…,Vec(Amn))∈Qmn×mn

      (6)

      于是關(guān)于問題1的解,有如下結(jié)果:

      定理1設(shè)非零矩陣A∈Qm2×n2有分塊式(5),則存在X,Y∈Qm×n,使得A=X?Y的充要條件是rank(L)=1,其中L如(6)式所示.

      證若存在X0=(xij),Y0∈Qm×n,使得A=X0?Y0,則由Kronecker積的定義及(5)式可得

      Aij=xijY0i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

      當(dāng)且當(dāng)

      Vec(Aij)=xijVec(Y0)

      因此

      L=(x11Vec(Y0),…,x1nVec(Y0),…,xm1Vec(Y0),…,xmnVec(Y0))∈Qmn×mn

      由于A≠0,因此X0≠0,Y0≠0,從而rank(L)=1. 反之,若rank(L)=1,不妨設(shè)Vec(A11)≠0,則L各列有比例關(guān)系

      Vec(Aij)=kijVec(A11)

      因此有

      Aij=kijA11i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

      取X0=(kij),Y0=A11,則存在分解式A=X0?Y0. 證畢.

      注2由定理1的證明過程可知,當(dāng)A的Kronecker積分解存在時(shí),只要確定Y0以及所有Aij的左比例系數(shù)kij,那么X0=(kij)和Y0就是A的一組分解.

      同時(shí)可得如下推論:

      推論1在定理1的條件下,四元數(shù)矩陣A存在Kronecker積分解的充要條件是存在四元數(shù)向量u,v∈Qmn×1使得L=uvT.

      證根據(jù)定理1及rank(L)=1可知,存在可逆矩陣P,Q∈Qmn×mn,使得

      當(dāng)A的Kronecker積分解不存在時(shí),我們討論它的最佳逼近問題. 對(duì)此,假設(shè)(6)式中L的奇異值分解為

      (7)

      其中U,V∈Umn×mn均為四元數(shù)酉陣,r=rank(L),Σr=diag(d1,…,dr),d1≥…≥dr>0. 根據(jù)推論1可知,求F(X,Y)=‖X?Y-A‖的最佳逼近值,等價(jià)于求u,v∈Qmn×1使得

      ‖uvT-L‖=min

      (8)

      定理2設(shè)非零矩陣A∈Qm2×n2有分塊式(5)和(6),則存在u,v∈Qmn×1使得(8)式成立,其中

      (9)

      U(·,1),V*(1,·)分別是(7)式中U,V*的第1列和第1行,d1是L的最大奇異值.

      證根據(jù)L的奇異值分解(7)式以及Frobenius范數(shù)酉乘積不變性得

      (10)

      ‖(u1,u2,…,umn)T(v1,v2,…,vmn)-diag(d1,…,dr,0,…,0)‖2=min

      (11)

      根據(jù)diag(d1,…,dr,0,…,0)的對(duì)稱半正定性,可取

      ui=vi∈Ri=1,…,r

      ui=vi=0i=r+1,…,mn

      因此由(11)式得

      (12)

      其中δij∈{0,1}. 對(duì)(12)式中函數(shù)f(u1,…,ur)求偏導(dǎo)數(shù),得

      (13)

      方程組(13)等價(jià)于

      由此可得

      ui=0

      再由U*u=(u1,u2,…,umn)T,vTV=(v1,v2,…,vmn),可得

      即表達(dá)式(9)成立. 證畢.

      根據(jù)四元數(shù)方根總存在的特點(diǎn),可得問題2的解如下:

      Ast=bstBs=1,2,…,m;t=1,2,…,n

      (14)

      這時(shí)X0=B∈Qm×n就是A的二次方根.

      證充分性是顯然的. 下證必要性. 若存在X0=B=(bij)∈Qm×n使得A=B?B,則由分塊式(5)可得

      Ast=bstBs=1,2,…,m;t=1,2,…,n

      (15)

      注3當(dāng)(14)式成立時(shí),顯然有rank(L)=1,因此rank(L)=1是A的二次方根存在的必要條件,但不是充分的(見算例1).

      2 數(shù)值算例

      例1已知四元數(shù)矩陣

      試討論是否存在X,Y∈Q2×3,使得A具有Kronecker積分解.

      解對(duì)A作分解式(5),得

      其中

      直接計(jì)算可知

      rank(L)=rank(Vec(A11),Vec(A12),Vec(A13),Vec(A21),Vec(A22),Vec(A23))=1

      因此,根據(jù)定理1可知,存在X0,Y0∈Q2×3,使得A=X0?Y0. 事實(shí)上,由

      得Kronecker積分解

      例2已知四元數(shù)矩陣

      試討論A的二次方根的存在性.

      解對(duì)A作分解式(5),得

      其中

      直接計(jì)算可知

      Ast=bstBs=1,2;t=1,2,3

      根據(jù)定理3,A存在二次方根X0=B,即

      3 結(jié)論

      對(duì)于給定的m2×n2四元數(shù)矩陣A,利用A的分塊矩陣(5)式,并由Vec構(gòu)造的mn×mn矩陣L的秩,獲得A具有直積分解的充要條件及其分解方法. 當(dāng)此類分解不存在時(shí),由L的奇異值分解,以及求F(X,Y)=‖X?Y-A‖的最佳逼近解等價(jià)于求極小范數(shù)問題(8),得到了問題1的解. 對(duì)于問題2,應(yīng)用四元數(shù)方根的存在性與Kronecker積的定義,得到了X?X=A成立的充要條件及其直積意義下二次方根X的計(jì)算公式.

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