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      跨中橫隔板對(duì)箱形梁畸變效應(yīng)影響研究

      2022-02-01 15:07:58張?jiān)?/span>龍均翊陳東亮王晨光
      鐵道學(xué)報(bào) 2022年12期
      關(guān)鍵詞:角點(diǎn)隔板畸變

      張?jiān)#埦?,陳東亮,王晨光

      (蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

      隨著箱壁厚度的日趨減小,箱形梁在偏心荷載作用下扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面變形即畸變不容忽視,由此產(chǎn)生的附加翹曲應(yīng)力往往大于剛性扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力,而且畸變使箱板產(chǎn)生橫向彎曲,因此,箱形梁的畸變效應(yīng)分析受到許多學(xué)者的廣泛關(guān)注。近年來(lái),有些學(xué)者運(yùn)用三維有限元數(shù)值模擬方法分析箱形梁的畸變效應(yīng),并分析了不同荷載形式、橫隔板間距、高跨比、高寬比及板厚等參數(shù)變化對(duì)箱形梁畸變翹曲應(yīng)力的影響[1-5],其中,文獻(xiàn)[1-2]對(duì)偏心荷載進(jìn)行分解后,直接在有限元模型上施加分解后的畸變荷載,因而求得的應(yīng)力即為畸變翹曲應(yīng)力;文獻(xiàn)[3-5]通過(guò)分別計(jì)算偏心荷載和相應(yīng)對(duì)稱荷載作用下的應(yīng)力然后相減的途徑,間接得出偏載作用下的翹曲應(yīng)力,顯然這樣得到的應(yīng)力包含了扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力與畸變翹曲應(yīng)力,并未得出獨(dú)立的畸變翹曲應(yīng)力。除三維有限單元法外,一維梁段有限單元法也常被用于分析箱形梁的畸變效應(yīng)及其他空間效應(yīng)[6-8],如,文獻(xiàn)[6]建立的梁段單元可對(duì)箱形梁的彎曲、扭轉(zhuǎn)、畸變及剪力滯效應(yīng)等進(jìn)行統(tǒng)一分析。雖然有限元數(shù)值解法特別是三維有限元法可用于任意邊界條件下復(fù)雜箱梁的空間分析,但獲得的變形、應(yīng)力或內(nèi)力不便于設(shè)計(jì)人員對(duì)結(jié)構(gòu)的特定剛度進(jìn)行判斷或采取相應(yīng)構(gòu)造措施,而解析法卻可以針對(duì)箱形梁的某種單一變形狀態(tài)如畸變狀態(tài)進(jìn)行針對(duì)性分析,并直觀反映各種影響因素,因此,解析法也被許多學(xué)者用于分析箱形梁畸變效應(yīng)。王晨光等[9]基于廣義坐標(biāo)法原理,針對(duì)雙軸對(duì)稱矩形截面箱梁,用總勢(shì)能變分法建立了畸變控制微分方程,并分析了剪切變形對(duì)畸變效應(yīng)的影響;張?jiān)5萚10]在箱梁橫截面的畸變中心處定義畸變角并建立控制微分方程,分析了頂板和底板兩側(cè)均設(shè)置外伸懸臂板的箱形梁畸變效應(yīng)。近年來(lái),波形鋼腹板組合箱梁的畸變效應(yīng)分析也受到關(guān)注。李運(yùn)生等[11]用總勢(shì)能變分法推導(dǎo)了波形鋼腹板曲線箱梁的彎扭及畸變控制微分方程;文獻(xiàn)[12-13]在分析箱梁各板元的面內(nèi)和面外力系平衡條件的基礎(chǔ)上,建立了波形鋼腹板箱梁的畸變控制微分方程,分析了幾何參數(shù)對(duì)畸變翹曲正應(yīng)力的影響。然而,上述文獻(xiàn)中的畸變效應(yīng)解析法只能用于無(wú)跨內(nèi)橫隔板的箱梁。文獻(xiàn)[14-15]提出了一種分析有跨內(nèi)橫隔板的箱形梁畸變效應(yīng)解析法,可考慮橫隔板的面內(nèi)變形影響。部分學(xué)者對(duì)箱形梁畸變效應(yīng)開展了試驗(yàn)研究[16-17]。

      本文提出一種分析有跨內(nèi)橫隔板時(shí)箱梁的畸變效應(yīng)解析法,首先解除跨內(nèi)橫隔板對(duì)畸變變形的約束作用,并代入相應(yīng)的未知畸變矩,然后利用畸變變形協(xié)調(diào)關(guān)系求解未知畸變矩,繼而在無(wú)跨內(nèi)橫隔板的初參數(shù)解基礎(chǔ)上獲得有跨內(nèi)橫隔板箱梁的畸變效應(yīng)解析解,最后以承受均布畸變荷載的簡(jiǎn)支箱梁為例,分析跨中橫隔板布置對(duì)箱形梁畸變效應(yīng)的影響。

      1 箱梁畸變變形描述

      具有豎向?qū)ΨQ軸的單室梯形箱梁橫截面示意見圖1。圖1中,A、B、C、D分別為4個(gè)角點(diǎn)位置,b1、b2、b3分別為頂板、底板、懸臂板寬度,bw為腹板的斜高,h為梁高,θ為斜腹板的傾角,t1、t2、tw分別為頂板、底板及腹板的厚度。

      圖1 箱梁橫截面示意

      圖2為箱梁橫截面發(fā)生畸變變形后的示意圖,角點(diǎn)A、B、C分別位移至A′、B′、C′。圖2中,P為豎向反對(duì)稱分布荷載,P1、P2、Pw分別為反對(duì)稱荷載分解后作用于頂板、底板及腹板的分布畸變荷載。選取角點(diǎn)B處腹板與底板夾角的改變量γ作為畸變角,并以使∠ABC減小時(shí)為正。

      圖2 荷載及變形簡(jiǎn)圖

      由圖2可以看出,截面畸變角γ由腹板的偏轉(zhuǎn)角γ1和底板的偏轉(zhuǎn)角γ2兩部分組成,即

      ( 1 )

      式中:uAB為角點(diǎn)A、B的相對(duì)水平位移;vBC為角點(diǎn)B、C的相對(duì)豎向位移。

      若用f1、f2、fw分別表示箱梁頂板、底板及腹板在畸變荷載P1、P2、Pw作用下各自的面內(nèi)位移,則有

      uAB=f1+f2

      ( 2 )

      圖3為角點(diǎn)B、C處變位示意圖,根據(jù)圖3所示角點(diǎn)B、C處的變位關(guān)系,可得

      ( 3 )

      將式( 2 )和式( 3 )代入式( 1 ),可得

      ( 4 )

      圖3 角點(diǎn)B、C處變位示意

      2 畸變微分方程初參數(shù)解

      根據(jù)總勢(shì)能變分法[18],可得箱梁的畸變控制微分方程為

      ( 5 )

      根據(jù)總勢(shì)能變分要求的邊界條件可知,與畸變角γ及其一階導(dǎo)數(shù)γ′(廣義翹曲位移)相應(yīng)的畸變內(nèi)力分別為

      Md=-EJdγ?Bd=-EJdγ″

      ( 6 )

      式中:Md為畸變矩;Bd為畸變雙力矩。

      令微分方程( 5 )中md=0,即先不考慮跨內(nèi)畸變荷載作用,可得相應(yīng)齊次微分方程的通解為

      γ(z)=[C1sin(λz)+C2cos(λz)]sinh(λz)+

      [C3sin(λz)+C4cos(λz)]cosh(λz)=

      C4Φ1(λz)+(C2+C3)Φ2(λz)+2C1Φ3(λz)+

      2(C3-C2)Φ4(λz)

      ( 7 )

      式中:C1~C4為積分常數(shù);Φ1(λz)~Φ4(λz)為克雷洛夫函數(shù),即

      Φ1(λz)=cos(λz)cosh(λz)

      Φ2(λz)=0.5[sin(λz)cosh(λz)+cos(λz)sinh(λz)]

      Φ3(λz)=0.5sin(λz)sinh(λz)

      Φ4(λz)=0.25[sin(λz)cosh(λz)-cos(λz)sinh(λz)]

      選取4個(gè)初參數(shù)為γ0、γ′0、Md0、Bd0,分別為箱梁起始端(z=0)的畸變角、畸變翹曲、畸變矩、畸變雙力矩,由式( 6 )和式( 7 )建立各積分常數(shù)與各初參數(shù)之間的關(guān)系后,可將箱梁的畸變位移和內(nèi)力通過(guò)初參數(shù)表達(dá)為

      ( 8 )

      ( 9 )

      Bd(z)=4λ2EJdγ0Φ3(λz)+4λEJdγ′0Φ4(λz)+

      (10)

      Md(z)=4λ3EJdγ0Φ2(λz)+4λ2EJdγ′0Φ3(λz)-

      4λBd0Φ4(λz)+Md0Φ1(λz)

      (11)

      當(dāng)箱梁沿全跨承受均布畸變矩荷載md作用時(shí),只需在式(8)~(11)的初參數(shù)解基礎(chǔ)上按Md0所在項(xiàng)補(bǔ)充相應(yīng)的荷載項(xiàng),從而可得初參數(shù)解為

      (12)

      (13)

      Bd(z)=4λ2EJdγ0Φ3(λz)+4λEJdγ′0Φ4(λz)+

      (14)

      Md(z)=4λ3EJdγ0Φ2(λz)+4λ2EJdγ′0Φ3(λz)-

      (15)

      式(12)~式(15)中,4個(gè)初參數(shù)可根據(jù)箱梁兩端的邊界條件確定。剛性固定端或梁端設(shè)置面內(nèi)面外均為無(wú)限剛性的橫隔板時(shí),滿足γ=γ′=0,即截面不變形且不產(chǎn)生翹曲位移;當(dāng)梁端設(shè)置面內(nèi)無(wú)限剛性但面外無(wú)限柔性的橫隔板時(shí),滿足γ=γ″=0,即截面不變形且不產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力;當(dāng)梁端不設(shè)置橫隔板時(shí),滿足γ″=γ?=0,即不產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力。

      3 跨內(nèi)橫隔板的處理

      橫隔板位置及其約束畸變矩簡(jiǎn)圖見圖4。圖4中,跨內(nèi)第1道和第i道橫隔板所在截面的縱向坐標(biāo)分別為z1和zi,任一計(jì)算截面的縱向坐標(biāo)為z;若將跨內(nèi)各道橫隔板解除,其對(duì)畸變變形的約束作用可分別用相應(yīng)的未知畸變矩L1、Li代替。

      圖4 橫隔板位置及其約束畸變矩簡(jiǎn)圖

      根據(jù)初參數(shù)解,箱梁在畸變外荷載及未知畸變矩共同作用下的畸變位移和內(nèi)力可表達(dá)為

      (16)

      (17)

      Bd(z)=4λ2EJdγ0Φ3(λz)+4λEJdγ′0Φ4(λz)+

      (18)

      Md(z)=4λ3EJdγ0Φ2(λz)+4λ2EJdγ′0Φ3(λz)-

      (19)

      式中:n為計(jì)算截面至箱梁起始端之間的跨內(nèi)橫隔板總數(shù)。

      根據(jù)跨內(nèi)各道橫隔板所在截面zj處畸變角為零的變形協(xié)調(diào)條件,可建立補(bǔ)充方程為

      γ(zj)=0j=1, 2,…,N

      (20)

      式中:N為跨內(nèi)橫隔板總數(shù)。

      根據(jù)箱梁兩端4個(gè)邊界條件及式(20),即可求得4個(gè)初參數(shù)及N個(gè)未知畸變矩Lj(j=1, 2,…,N)。

      4 畸變翹曲應(yīng)力及橫向彎矩計(jì)算

      箱梁發(fā)生畸變時(shí),除在其橫截面上產(chǎn)生畸變翹曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力外,由于組成閉合箱室的各板件還發(fā)生橫向彎曲變形,故在各箱板內(nèi)還產(chǎn)生橫向彎矩?;儥M向彎矩可在沿箱梁縱向截取的單位長(zhǎng)度梁段所形成的閉合框架上按結(jié)構(gòu)力學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算,注意到橫向彎矩關(guān)于橫截面豎向?qū)ΨQ軸呈反對(duì)稱分布,且在各角點(diǎn)處有最大值,故只需計(jì)算角點(diǎn)A和B處的橫向彎矩MA和MB,可利用畸變角γ表示為

      MA=ψAγMB=ψBγ

      (21)

      式中:ψA、ψB分別為角點(diǎn)A、B處的畸變橫向彎曲系數(shù)。

      箱梁橫截面上任一點(diǎn)的畸變翹曲正應(yīng)力σd為

      σd=-Eωdγ″

      (22)

      式中:ωd為畸變扇性坐標(biāo)。

      利用式( 6 )中畸變雙力矩Bd的表達(dá)式,則式(22)可表示為

      (23)

      定義ξ為角點(diǎn)A和B處的翹曲正應(yīng)力之比,即ξ=σdA/σdB,ξ可根據(jù)畸變翹曲正應(yīng)力的自平衡條件確定,其大小只取決于橫截面的幾何尺寸。根據(jù)畸變翹曲正應(yīng)力分布特征,只要求得角點(diǎn)B處的畸變翹曲正應(yīng)力σdB,則箱梁全截面的翹曲正應(yīng)力即可確定。角點(diǎn)B處的畸變扇性坐標(biāo)ωdB為

      (24)

      為了計(jì)算畸變翹曲剪力流qd,需利用箱板微元體的平衡條件。箱板上任一點(diǎn)P處的微元體受力簡(jiǎn)圖見圖5。圖5中,t為箱板厚度,s為沿板厚中心線度量的周邊坐標(biāo),在箱梁正面上以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎8鶕?jù)微元體的縱向平衡可得

      (25)

      圖5 箱板微元體受力簡(jiǎn)圖

      將式(22)代入式(25)并對(duì)s積分,可得

      qd=qd0+Eγ?Sdω

      (26)

      利用畸變翹曲剪力流qd在箱梁橫截面上不合成扭矩的條件,可求得qd0為

      (27)

      將式(27)代入式(26),并利用式( 6 )中畸變矩Md的表達(dá)式,可得畸變翹曲剪力流qd計(jì)算式為

      (28)

      必須注意,式(28)中的積分應(yīng)在箱梁全截面上進(jìn)行計(jì)算,即對(duì)于帶懸臂板的箱梁,積分區(qū)域包括閉口箱室和懸臂板。有些文獻(xiàn)中只在閉口箱室范圍內(nèi)進(jìn)行積分計(jì)算,這顯然是錯(cuò)誤的,只對(duì)無(wú)懸臂板的純閉口截面箱梁才適用。

      為便于實(shí)際應(yīng)用,給出畸變翹曲慣性矩Jd和橫向框架慣性矩JR的表達(dá)式為

      b2t2+2bwtw(ξ2-ξ+1)]

      (29)

      (30)

      式中:I1、I2、Iw分別為頂板、底板、腹板的橫向單寬抗彎慣性矩。

      5 數(shù)值算例分析

      預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支箱梁計(jì)算跨徑l為40 m,梁端和跨中均布置有橫隔板,其厚度均為0.3 m,箱梁橫截面尺寸見圖6。箱梁采用C50混凝土,其彈性模量E為35 GPa,反對(duì)稱豎向均布荷載10 kN/m作用于兩側(cè)腹板與頂板交接處,其方向與圖2相同。

      圖6 箱梁橫截面尺寸(單位:m)

      按本文解析法和有限元軟件Ansys中的殼單元Shell63分別對(duì)箱梁的畸變翹曲應(yīng)力進(jìn)行了計(jì)算,跨中截面和1/4跨截面角點(diǎn)A處的畸變翹曲正應(yīng)力見表1。有限元計(jì)算時(shí),全梁共離散為3 350個(gè)殼單元,3 378個(gè)節(jié)點(diǎn);從反對(duì)稱荷載中分解出各板件的畸變荷載后,以集中力方式施加在各相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上。由表1可以看出,本文解析解與Ansys有限元數(shù)值解總體上吻合良好。

      表1 角點(diǎn)A處畸變翹曲正應(yīng)力比較

      為考察跨中布置橫隔板后對(duì)箱梁畸變效應(yīng)的影響,按本文解析法分別計(jì)算了有跨中橫隔板和無(wú)跨中橫隔板時(shí)箱梁的畸變效應(yīng),圖7~圖9分別繪出了畸變雙力矩、畸變矩及角點(diǎn)A處橫向彎矩沿跨度分布曲線。

      圖7 畸變雙力矩分布

      圖8 畸變矩分布

      圖9 角點(diǎn)A處畸變橫向彎矩分布

      由圖7~圖9可以看出,在跨中截面布置橫隔板后,雖然使跨中截面的畸變橫向彎矩變?yōu)榱悖姆种豢缃孛娴臋M向彎矩也減小了34.4%,然而,跨中截面的畸變雙力矩絕對(duì)值卻增大了27.2倍(由22.39 kN·m2變?yōu)?631.23 kN·m2),四分之一跨截面的畸變雙力矩也增大了1.02倍,而且畸變矩內(nèi)力也顯著增大了(如跨中截面由零變?yōu)椤?85.98 kN·m)??梢钥闯?,要通過(guò)設(shè)置跨中橫隔板的方式減小畸變變形和畸變橫向彎矩,必須以顯著增加畸變雙力矩和畸變矩從而顯著增加畸變翹曲應(yīng)力為代價(jià)。對(duì)預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁,畸變翹曲應(yīng)力的顯著增加必然會(huì)降低正截面和斜截面的抗裂性。進(jìn)一步計(jì)算表明,與僅在跨中截面布置橫隔板相比,若同時(shí)在1/4跨和3/4跨處也布置橫隔板時(shí),畸變內(nèi)力分布才能得到明顯改善。因此,在實(shí)際箱形梁的設(shè)計(jì)中,是否需要布置橫隔板以及在哪些位置布置橫隔板,必須根據(jù)具體情況決定。

      跨中布置橫隔板時(shí)箱梁跨中右截面的畸變翹曲剪應(yīng)力分布見圖10,圖10中79.6 kPa為腹板上的畸變翹曲剪應(yīng)力最大值,箭頭表示剪應(yīng)力方向。由圖10可以看出,本例箱梁全截面最大剪應(yīng)力發(fā)生在懸臂板根部,在底板中點(diǎn)及腹板內(nèi)也存在較大的畸變翹曲剪應(yīng)力。

      圖10 跨中右截面畸變翹曲剪應(yīng)力分布(單位:kPa)

      為了考察懸臂板寬度變化對(duì)畸變翹曲應(yīng)力的影響,引入懸臂板相對(duì)寬度概念。定義懸臂板相對(duì)寬度κ為懸臂板寬度與頂板寬度之比,即κ=b3/b1,在維持頂板寬度b1不變的條件下,令懸臂板寬度從0增大至4.7 m,則相應(yīng)κ從0增大至1.0,用本文解析法得到設(shè)置跨中橫隔板的箱梁跨中截面角點(diǎn)A和角點(diǎn)B處畸變翹曲正應(yīng)力隨κ變化曲線見圖11。由圖11可以看出,隨著懸臂板相對(duì)寬度的增大,角點(diǎn)A處畸變翹曲正應(yīng)力迅速減小,而角點(diǎn)B處畸變翹曲正應(yīng)力絕對(duì)值雖然逐漸增大,但其增大幅度很小??梢?,角點(diǎn)A處畸變翹曲正應(yīng)力對(duì)懸臂板寬度的變化很敏感。

      圖11 畸變翹曲正應(yīng)力隨懸臂板相對(duì)寬度變化曲線

      6 結(jié)論

      (1) 本文提出了一種適用于跨內(nèi)有橫隔板箱梁的畸變效應(yīng)解析法,將跨內(nèi)橫隔板用相應(yīng)的約束畸變矩代替并根據(jù)變形協(xié)調(diào)關(guān)系確定其大小,從而在初參數(shù)解基礎(chǔ)上獲得有跨內(nèi)橫隔板的箱梁畸變效應(yīng)解析解,通過(guò)Ansys有限元數(shù)值解驗(yàn)證了本文解析法的正確性。

      (2) 布置跨中橫隔板雖然可以減小箱梁的畸變變形及畸變橫向彎矩,但同時(shí)顯著改變了箱梁的畸變雙力矩和畸變矩大小及其分布規(guī)律,從而使橫截面內(nèi)畸變翹曲應(yīng)力顯著增大,設(shè)計(jì)中應(yīng)充分重視。

      (3) 懸臂板寬度變化對(duì)頂板與腹板交接處的畸變翹曲應(yīng)力有顯著影響;隨著懸臂板寬度的增大,頂板與腹板交接處的畸變翹曲應(yīng)力迅速減小,而腹板與底板交接處的畸變翹曲應(yīng)力變化很小。

      (4) 算例箱梁的畸變翹曲剪應(yīng)力最大值發(fā)生在懸臂板根部,在底板中心處及腹板內(nèi)也有較大的畸變翹曲剪應(yīng)力,在驗(yàn)算預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁斜截面抗裂性時(shí)應(yīng)充分考慮畸變翹曲剪應(yīng)力影響。

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